第17講等腰三角形、等邊三角形、直角三角形(5年13考)知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形1.等腰三角形知識(shí)梳理定義有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,相等的邊叫做

,另一邊叫做

性質(zhì)等腰三角形的兩個(gè)底角

(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)

”)

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互

(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,頂角的平分線所在的直線是

腰底相等等角重合對(duì)稱軸2.等邊三角形定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)等邊三角形的三條邊都

三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每個(gè)角都等于

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合相等60°60°1.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6.(1)若∠BAC=50°,則∠B=

°;

(2)若AD平分∠BAC,則∠ADC=

°,BD=

;

(3)若∠C=60°,則△ABC是

三角形,△ABC的周長(zhǎng)為

,面積為

.

針對(duì)訓(xùn)練65903等邊182.串題練透考點(diǎn)如圖所示,△ABC是等邊三角形,AD⊥BC于點(diǎn)D.延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E,連接DE,AC=4.(1)∠CAD的度數(shù)為

;

(2)若BD=BE.①AE的長(zhǎng)為

;

②∠ADE的度數(shù)為

;

(3)若F是AC的中點(diǎn),連接DF,則△AFD是

三角形,△CFD是

三角形;

(4)△ABC的面積是

.

30°6120°等腰等邊知識(shí)點(diǎn)二直角三角形知識(shí)梳理定義有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形性質(zhì)直角三角形的兩銳角

兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的

斜邊上的中線等于斜邊的

互余a2+b2=c2一半一半90°互余a2+b2=c23.如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm.(1)∠B=

,AB=

cm,AC=

cm;

(2)若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則CD=

cm;

(3)若CE⊥AB,則CE=

cm,BE=

cm.

針對(duì)訓(xùn)練60°4214.下列選項(xiàng)中,不能使△ABC是直角三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3AC.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D.∠A+∠B=∠C重難突破提能力考點(diǎn)1等腰三角形(5年5考)典例1[北師大八下P5習(xí)題T6變式]如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E在邊BC上,BD=CE,連接AD,AE.求證:AD=AE.證明:法一∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE.法二過點(diǎn)A作AM⊥BC,交BC于點(diǎn)M(圖略),∵AB=AC,AM⊥BC,∴BM=CM.∵BD=CE,∴BM-BD=CM-CE,即DM=EM.又AM⊥BC,∴AD=AE(線段垂直平分線的性質(zhì)).即時(shí)訓(xùn)練1.(2025深圳模擬)如圖所示為生活中常見的折疊桌的側(cè)面圖與示意圖,已知∠ABO=60°,OC=OD,AB∥CD,則∠BOD的大小為()A.150° B.140° C.130° D.120°D2.(2025清遠(yuǎn)模擬)如圖(1)所示,將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC沿其BC邊上的高AD剪開,再把△ADC向左平移得到△A′D′C,當(dāng)D′是BD的中點(diǎn)時(shí),如圖(2)所示,兩個(gè)三角形重疊部分面積為

.

由等邊三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì),求出△EBC的邊長(zhǎng)及面積,重疊部分面積=S△EBC-S△MBD′-S△NDC3.如圖所示,在等邊三角形ABC中,D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且AD=CE.(1)求證:CD=BE;(2)若BE,CD相交于點(diǎn)Q,求證:∠BQD=60°.證明:(2)由(1),得△ACD≌△CBE.∴∠ACD=∠CBE.∴∠BQD=∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°.考點(diǎn)2直角三角形(5年8考)(1)求AB的長(zhǎng);(2)求△ABD的面積.即時(shí)訓(xùn)練4.如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD⊥AB,AB=6,則AD=

.

4.516.(2024廣州一模)如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ADC=60°,∠B=30°,若CD=3cm,則BD=

cm.

67.(2021廣東T20,6分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使CE=AB.(1)若AE=1,求△ABD的周長(zhǎng);規(guī)范解答解:(1)如圖所示,連接BD.設(shè)BC垂直平分線交BC于點(diǎn)F,……1分∵DF為BC的垂直平分線,∴BD=CD,C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC.………………2分∴AB=CE.∴C△ABD=AC+CE=AE=1.…………3分規(guī)范解答8.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,同學(xué)們以“黃金三角形”為主題展開探究活動(dòng).全國(guó)視野拓思維【動(dòng)手操作】老師展示了一張郵票,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)郵票中五角星的五個(gè)角都是36°,并制作了相同五角星如圖(1)所示,∠A的度數(shù)為36°,且AD=AB=1,于是猜測(cè)△ABD是黃金三角形.【解決問題】(1)∠CBD=

°;

36(2)求證:△ABD是黃金三角形;(3)如圖(2)所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=1