第21講矩形與菱形(5年8考)知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定知識(shí)梳理如圖所示,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O性質(zhì)邊對(duì)邊

且

角四個(gè)角都是

角

對(duì)角線兩條對(duì)角線互相

且

對(duì)稱(chēng)性矩形既是

對(duì)稱(chēng)圖形,又是

對(duì)稱(chēng)圖形,有

條對(duì)稱(chēng)軸

平行相等直平分相等中心軸2面積S=ab(a,b分別表示矩形的長(zhǎng)和寬)周長(zhǎng)C=2(a+b)(a,b分別表示矩形的長(zhǎng)和寬)判定有一個(gè)角是

角的平行四邊形是矩形(定義)

對(duì)角線

的平行四邊形是矩形

有三個(gè)角是

角的四邊形是矩形

直相等直針對(duì)訓(xùn)練1.如圖所示,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)若AB=6,BC=8,則矩形的周長(zhǎng)是

,面積是

,AC=

,BO=

;

(2)若∠BOA=60°,AB=2,則∠ACB=

,AC=

,BC=

.

284810530°42.以下條件不能判定四邊形ABCD是矩形的是()A.AB=CD,AD=BC,∠A=90°B.OA=OB=OC=ODC.AB=CD,AB∥CD,AC=BDD.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=ODD知識(shí)點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定知識(shí)梳理如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O性質(zhì)邊對(duì)邊

,四條邊都

角對(duì)角

,鄰角

性質(zhì)對(duì)角線對(duì)角線互相

,并且每一條對(duì)角線

一組對(duì)角

平行相等相等互補(bǔ)垂直平分平分底BD中心2相等相等垂直3.如圖所示,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O.(1)若四邊形ABCD是菱形,AB=4,∠BAD=60°.①菱形的周長(zhǎng)是

,∠BAC=

,BD=

;

②AC=

,菱形的面積是

;

③若BH⊥AD于點(diǎn)H,則BH的長(zhǎng)是

.

16針對(duì)訓(xùn)練30°4(2)下列四個(gè)條件:①AB∥CD;②AO=OC;③AB=AD;④AC平分∠DAB.從中選取三個(gè)條件,可以判定四邊形ABCD為菱形(O為對(duì)角線交點(diǎn)),則可以選擇的條件序號(hào)是

(寫(xiě)出所有可能的情況).

①②③或①②④或①③④或②③④重難突破提能力考點(diǎn)1矩形的性質(zhì)與判定(5年5考)典例1如圖所示,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是DC上一點(diǎn),連接AE,BE,過(guò)點(diǎn)A作BE的平行線,過(guò)點(diǎn)B作AE的平行線,兩條平行線交于點(diǎn)F,∠DAE=∠BEC.(1)求證:四邊形AFBE是矩形.(1)證明:∵AF∥BE,BF∥AE,∴四邊形AFBE是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=90°.∵∠DAE=∠BEC,∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°.∴∠AEB=180°-(∠AED+∠BEC)=90°.∴四邊形AFBE是矩形.(2)連接EF,若∠DAE=30°,DE=1,求EF的長(zhǎng).(2)解:∵∠DAE=30°,∠BAD=∠AEB=∠D=90°,DE=1,∴∠ABE=90°-∠BAE=∠DAE=30°.∵AE=2DE=2,∴AB=2AE=4.∵四邊形AFBE是矩形,∴EF=AB=4.∴EF的長(zhǎng)為4.即時(shí)訓(xùn)練1.(2024成都)如圖所示,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論一定正確的是()A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACDC2.(2025廣州模擬)如圖所示,在矩形ABCD中,若AB=3,BD=5,BC=4DE,則線段CE的長(zhǎng)為

.

3.(2025惠州模擬)如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P為AD上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AC于點(diǎn)E,PF⊥BD于點(diǎn)F,則PE+PF的值為

.4.已知,在?ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O(AC>BD),點(diǎn)E,F分別是OA,OC上的動(dòng)點(diǎn),如圖所示.若OE=OB,OF=OD,求證:四邊形EBFD是矩形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD.∵OE=OB,OF=OD,∴OE=OF.∴四邊形EBFD是平行四邊形,BD=EF.∴四邊形EBFD是矩形.考點(diǎn)2菱形的性質(zhì)與判定(5年3考)典例2(2025廣東T19,9分)如圖所示,CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線,過(guò)點(diǎn)A,C分別作AE∥DC,CE∥AB,AE與CE相交于點(diǎn)E.現(xiàn)有以下命題:命題1:若連接BE交CA于點(diǎn)F,則S△CFB=2S△CEF.命題2:若連接ED,則ED⊥AC.命題3:若連接ED,則ED=BC.任選兩個(gè)命題,先判斷真假,再證明或舉反例.命題2:如圖②所示,連接ED.∵CE∥AB,AE∥CD,∴四邊形ADCE是平行四邊形.……6分∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線,∴AD=CD=DB.………7分∴平行四邊形ADCE是菱形.……………8分∴DE⊥AC.………………9分即時(shí)訓(xùn)練5.(2025江門(mén)模擬)如圖所示,在菱形ABCD中,AC=8,DB=6,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,則DE的長(zhǎng)為()B6.菱形的邊長(zhǎng)為5,則它的周長(zhǎng)為

.

207.(2024廣東)如圖所示,菱形ABCD的面積為24,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC上的動(dòng)點(diǎn).若△BEF的面積為4,則圖中陰影部分的面積為

.

108.[人教八下P58練習(xí)T3變式]如圖(1)所示,將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起,得到四邊形ABCD.(1)試判斷四邊形ABCD的形狀,并說(shuō)明理由;解:(1)四邊形ABCD是菱形.理由如下:作CH⊥AB于點(diǎn)H,作CG⊥AD于點(diǎn)G(圖略),則CH=CG,∵兩個(gè)紙條都為矩形,∴AB∥CD,AD∥BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵S?ABCD=AB·CH=AD·CG,CH=CG,∴AB=AD.∴四邊形ABCD是菱形.(2)已知矩形紙條的寬度為2cm,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖(2)所示的位置時(shí),四邊形ABCD的面積為8cm2,求此時(shí)直線AD,CD所夾銳角∠1的度數(shù).解:(2)作AM⊥CD于點(diǎn)M(圖略),則AM=2cm,∵S菱形ABCD=CD·AM=8cm2,∴CD=4cm.由(1),得AD=CD,∴AD=4cm.全國(guó)視野拓思維D10.幾何直觀如圖所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),點(diǎn)E為直線BC下方一