第六章圓第23講圓的有關(guān)概念與性質(zhì)(5年4考)知識梳理夯基礎(chǔ)知識點一圓的有關(guān)概念及性質(zhì)知識梳理圓心圓在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.其固定的端點O叫做圓心,線段OA叫做半徑弦連接圓上任意兩點的線段直徑經(jīng)過

的弦

弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧都叫做半圓

于半圓的弧叫做優(yōu)弧;

于半圓的弧叫做劣弧

等圓能夠重合的兩個圓等弧在同圓或

中,能夠互相

的弧

弦心距(拓展)從圓心到弦的距離小大等圓重合圓是軸對稱圖形,任何一條

所在直線都是圓的對稱軸.圓是中心對稱圖形,圓心就是它的對稱中心.把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度,所得圖形都和原圖形重合.

直徑針對訓(xùn)練1.如圖所示,點A,B,C,D在☉O上,AB是☉O的直徑.(1)寫出圖中的弦:

;

(2)☉O中最長的弦是

,寫出☉O的半徑:

;

(3)寫出圖中的劣弧:

;

(4)寫出弦BC所對的弧:

;

(5)弦BC所對的圓心角是

,

圓周角是

;

(6)☉O的對稱軸是

.

AC,BC,ABABOA,OB,OC,OD∠BOC∠BAC直徑AB所在的直線(答案不唯一)知識點二垂徑定理及其推論知識梳理定理垂直于弦的直徑

弦,并且

弦所對的兩條弧

推論平分弦(不是直徑)的直徑

于弦,并且平分弦所對的兩條弧

定理與推論的延伸弦的垂直平分線經(jīng)過

,并且平分弦所對的弧;

平分弦所對的一條弧的直徑,

弦,并且平分弦所對的另一條

平分平分垂直圓心垂直平分弧2.定理及推論辨析如圖所示,AB是☉O的弦,弦CD交AB于點P,CD=6cm.針對訓(xùn)練3⊥⊥3知識點三弧、弦、圓心角1.定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧

,所對的弦也

.

2.推論:在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,它們所對應(yīng)的其余兩組量分別對應(yīng)

.

知識梳理相等相等相等溫馨提示應(yīng)用定理時,一定要注意“在同圓或等圓中”這個條件,同時要特別注意一條弦對應(yīng)兩條弧.針對訓(xùn)練3.串題練透考點如圖所示,AB是☉O的直徑.(2)若CE=BD,∠EOD=32°,則∠COB=

;

(3)若∠AOD=∠BOE,BD=4,則AE的長是

.

66°32°4知識點四圓周角定理及其推論1.圓周角定理:同弧或等弧所對的圓周角

,等于它所對的圓心角的

.

2.推論:(1)半圓或直徑所對的圓周角是

;

(2)90°的圓周角所對的弦是

.

知識梳理相等一半直角直徑3.常見圖形及結(jié)論圖形:4.如圖所示,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦.(1)∠ADB的度數(shù)為

;

(2)若∠ACD=36°,則∠ABD的度數(shù)為

,∠BAD的度數(shù)為

.

針對訓(xùn)練90°36°54°5.[人教九上P88練習(xí)T3變式]如圖所示,OA,OB,OC都是☉O的半徑,∠AOB=2∠BOC.求證:∠ACB=2∠BAC.證明:∵∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,且∠AOB=2∠BOC,∴2∠ACB=4∠BAC,即∠ACB=2∠BAC.知識點五圓內(nèi)接四邊形1.如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上,那么這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓;2.圓內(nèi)接四邊形的對角

.

3.拓展:圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于其內(nèi)對角,如圖所示,∠C=∠DAE.知識梳理互補針對訓(xùn)練6.如圖所示,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∠BOD=100°,則∠BAD=

,∠BCD=

.

50°130°7.如圖所示,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,它的一個外角∠EBC=65°,分別連接AC,BD,若AC=AD,則∠DBC的度數(shù)為()A.50° B.55° C.65° D.70°A重難突破提能力考點1垂徑定理及其推論典例1(2025中山模擬)如圖(1)所示,平底燒瓶是實驗室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿,主要用來盛液體物質(zhì),可以輕度受熱.如圖(2)所示,它的截面圖可以近似看作是由☉O去掉兩個弓形后與矩形ABCD組合而成的圖形,其中BC∥MN,若☉O的半徑為25mm,AB=36mm,BC=14mm,MN=30mm,求該平底燒瓶的高度.解:如圖所示,連接OB,OM,過點O作EF⊥BC,交BC于點E,交MN于點F,∵BC∥MN,∴EF⊥MN.∴EF平分BC,MN.由條件可知BE=7mm,MF=15mm,∵☉O的半徑為25mm,AB=36mm,即時訓(xùn)練CA.50cm B.30cm C.25cm D.15cm2.如圖所示,小區(qū)內(nèi)有個圓形花壇O,點C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,則這個花壇的面積為

(結(jié)果保留π).

400π3.如圖所示,已知☉O的直徑AB⊥弦CD于點E,連接CO,并延長交AD于點F,CF平分AD.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦(1)求∠A的度數(shù);解:(1)∵CF過圓心O,且平分AD,∴CF⊥AD,即∠AFO=90°.∴∠A+∠AOF=90°.∵AB⊥CD,∴∠CEO=∠AED=90°.∴∠C+∠COE=90°.∵∠AOF=∠COE,∴∠A=∠C.如圖所示,連接OD,則∠A=∠ODA,∠C=∠ODC,∴∠A=∠ODA=∠ODC.又∵∠A+∠ODA+∠ODC=90°,∴∠A=30°.(2)若OE=1,求CD的長.考點2圓周角定理及其推論(5年4考)典例2(2025廣州模擬)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作☉O,交BC于點D,交CA的延長線于點E,連接AD,DE.直徑所對的圓周角是直角(1)求證:BD=CD;(1)證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∵AB=AC,∴BD=CD.(2)若AB=10,AD=6,求DE的長.∵BD=CD,∴CD=8.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠B=∠E,∴∠C=∠E.∴DE=DC=8.即時訓(xùn)練4.(2023廣東)如圖所示,AB是☉O的直徑,∠BAC=50°,則∠D等于()A.20° B.40° C.50° D.80°B5.如圖所示,AB為☉O的直徑,CD,AB交于點E,E為弦CD的中點,若∠BAD=30°,且BE=2,則BC的長是

.

46.(2022廣東T22,12分)如圖所示,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AC為☉O的直徑,∠ADB=∠CDB.直徑所對的圓周角是直角,直徑AC對著兩個圓周角,注意結(jié)合題目進行選擇(1)試判斷△ABC的形狀,并給出證明;規(guī)范解答解:(1)△ABC是等腰直角三角形.…………1分證明如下:∵AC是☉O的直徑,∴∠ABC=90°.………2分7.如圖所示,在正n邊形中,∠1=20°,則n的值是()全國視野拓思維B如圖所示,設(shè)正n邊形的中心為點O,∠AOB為中心角,將正n邊形看成一個圓A.16 B.18 C.20 D.36B9.“筒車”是一種以水流作動力,取水灌田的工具,據(jù)史料記載,它發(fā)明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的歷史,是我國古代勞動人民的一項偉大創(chuàng)造.如圖所示,“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓,已知圓心O在水面上方,且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6m時,水面下盛水筒的最大深度為1m(即水面下方圓上部分一點距離水面的最大距離).(1)求該圓的半徑.解:(1)如圖所示,過點O作OD⊥AB,