第24講與圓有關(guān)的位置關(guān)系(5年6考)知識梳理夯基礎(chǔ)知識點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系知識梳理位置關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外幾何圖形d與r的大小關(guān)系d

r

d

r

d

r

<=>1.如圖所示,☉O的半徑是5cm.(1)點(diǎn)A在☉O外,則OA

5cm;

點(diǎn)B在☉O上,則OB

5cm;

點(diǎn)C在☉O內(nèi),則OC

5cm;

(2)若OP=6cm,則點(diǎn)P在☉O

;若OQ=2cm,則點(diǎn)Q在☉O

.

針對訓(xùn)練>=<外內(nèi)知識點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d.位置關(guān)系相離相切相交圖示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)的名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)數(shù)量關(guān)系d>r

d=rd<r知識梳理2.☉O的半徑是6.5cm,如果圓心與直線l的距離為d.(1)當(dāng)d=4.5cm時(shí),直線l和☉O

,有

個(gè)公共點(diǎn);

(2)當(dāng)d=6.5cm時(shí),直線l和☉O

,有

個(gè)公共點(diǎn);

(3)當(dāng)d=8cm時(shí),直線l和☉O

,有

個(gè)公共點(diǎn).

針對訓(xùn)練相交2相切1相離0知識點(diǎn)三切線的性質(zhì)與判定1.切線的性質(zhì):圓的切線

于過切點(diǎn)的半徑.

2.切線的判定:(1)經(jīng)過半徑的外端且

這條半徑的直線是圓的切線;

(2)到圓心的距離等于

的直線是圓的切線.

知識梳理垂直垂直于半徑3.如圖所示,點(diǎn)B在☉O上,點(diǎn)C在☉O外,OC交☉O于點(diǎn)A.(1)若BC切☉O于點(diǎn)B,∠C=20°,則∠BOC=

;

(2)若BC切☉O于點(diǎn)B,BC=4,AC=2,則☉O的半徑是

;

(3)若∠BOC=50°,當(dāng)∠C=

時(shí),BC與☉O相切.

針對訓(xùn)練70°340°知識點(diǎn)四切線長定理切線長定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長

,這一點(diǎn)和圓心的連線

兩條切線的夾角.

拓展切線長定理常與等腰三角形三線合一的性質(zhì)綜合運(yùn)用解題.知識梳理相等平分4.如圖所示,PA,PB分別切☉O于A,B兩點(diǎn),連接AB交OP于點(diǎn)C.PA=4,∠APB=60°.(1)PB=

,∠APO=

;

(2)△PAB是

三角形,AB=

;

(3)AC

OP,AC=

=

.

針對訓(xùn)練430°等邊4⊥BC2知識點(diǎn)五三角形與圓1.確定圓的條件:過一點(diǎn)可以作

個(gè)圓;過兩點(diǎn)的圓有

個(gè),其圓心在

上;

三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.

知識梳理無數(shù)無數(shù)這兩點(diǎn)連線的垂直平分線不在同一直線上的2.三角形的外接圓與內(nèi)切圓名稱三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓圖形圓心名稱外心內(nèi)心圓心的實(shí)質(zhì)三角形三邊

的交點(diǎn)

三角形三個(gè)角

的交點(diǎn)

圓心的性質(zhì)外心到三角形三個(gè)

的距離相等

內(nèi)心到三角形

的距離相等

垂直平分線平分線頂點(diǎn)三邊拓展5.如圖所示,△ABC內(nèi)接于☉O,∠A=45°,BC=2,則☉O的半徑是

.

針對訓(xùn)練6.分類討論△ABC內(nèi)接于☉O,若∠BOC=100°,則∠BAC的度數(shù)是

.

.

50°或130°7.[人教九上P103習(xí)題T14變式]如圖所示,☉I交△ABC的三邊于點(diǎn)D,E,F,∠A=40°,AB=14,AC=13,BC=9.(1)∠BIC=

°,若AD=9.5,BD=

;

(2)若☉I的半徑是2,則△ABC的面積是

.

8.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,則△ABC外接圓的半徑長是

,內(nèi)切圓的半徑長是

.

1104.5366.52重難突破提能力考點(diǎn)1點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系(5年2考)典例1如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3,AB的中點(diǎn)為M.(1)以點(diǎn)C為圓心,2為半徑作☉C,點(diǎn)A,B,M分別與☉C有怎樣的位置關(guān)系?根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定方法比較AC,CM,BC與AC的大小關(guān)系即可(2)若以點(diǎn)C為圓心作☉C,使A,B,M三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在☉C內(nèi),且至少有一點(diǎn)在☉C外,則☉C的半徑r的取值范圍是什么?利用分界點(diǎn),當(dāng)A,B,M三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在☉C內(nèi)時(shí),以及至少有一點(diǎn)在☉C外時(shí),分別求出r的范圍,最后取公共部分即時(shí)訓(xùn)練1.(2024廣州)如圖所示,在☉O中,弦AB的長為4,點(diǎn)C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,若OP=5,則點(diǎn)P與☉O的位置關(guān)系是()A.點(diǎn)P在☉O上

B.點(diǎn)P在☉O內(nèi)C.點(diǎn)P在☉O外

D.無法確定C2.(2025廣州模擬)如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB邊上的高,AB=4,若圓D是以點(diǎn)D為圓心,1.4為半徑的圓,那么圓D與直線AC的位置關(guān)系是()A.相切 B.相離C.相交 D.不能確定B3.如圖所示,在半徑為5cm的☉O中,直線l交☉O于A,B兩點(diǎn),且弦AB=8cm,要使直線l與☉O相切,則需要將直線l向下平移()A.1cm B.2cmC.3cm D.4cmB考點(diǎn)2切線的性質(zhì)(5年2考)典例2(2025廣東T17,7分)如圖所示,點(diǎn)O是Rt△ABC斜邊AC上的一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的☉O與邊BC相切于點(diǎn)D.求證:AD平分∠BAC.規(guī)范解答證明:連接OD,如圖所示.……1分∵BC是☉O的切線,∴OD⊥BC.……2分∵AB⊥BC,∴OD∥AB.…………3分∴∠ODA=∠BAD.………………4分∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.……5分∴∠DAB=∠OAD.………………6分∴AD平分∠BAC.………………7分即時(shí)訓(xùn)練4.(2025東莞模擬)如圖所示,AB為☉O的切線,切點(diǎn)為A.連接AO,BO,BO與☉O交于點(diǎn)C,延長BO與☉O交于點(diǎn)D,連接AD.若∠ABO=36°,則∠ADC的度數(shù)為()A.54° B.36° C.32° D.27°D5.如圖所示,在△ABC中.∠ACB=90°,點(diǎn)O為AC邊上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑作圓與AB相切于點(diǎn)D,連接CD.(1)求證:∠ABC=2∠ACD;(1)證明:連接OD,如圖所示,∵AB為☉O的切線,∴OD⊥AB.∴∠ODA=∠ODB=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠COD=180°.∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠ABC=∠AOD.∵∠AOD=2∠ACD,∴∠ABC=2∠ACD.(2)若AC=8,BC=6,求☉O的半徑.考點(diǎn)3切線的判定(5年2考)典例3如圖所示,在△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的☉O與底邊AB交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E.求證:DE為☉O的切線.直線與圓有公共點(diǎn),“連半徑,證垂直”即可證明:如圖所示,連接OD.∵AC=BC,∴∠A=∠B.∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.∴∠ODB=∠A.∴OD∥AC.∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.又OD為☉O的半徑,∴DE為☉O的切線.即時(shí)訓(xùn)練6.如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BO平分∠ABC,交AC于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,OC長為半徑畫☉O.求證:AB是☉O的切線.利用角平分線的性質(zhì),證明所作垂線段長等于半徑證明:如圖所示,過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H,∴∠BHO=∠BCO=90°.∵BO平分∠ABC,∴OH=OC,∴AB與☉O相切.7.如圖所示,在△ABC中,O為AC上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OC長為半徑作圓,與BC相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D,且∠AOD=∠BAD.求證:AB為☉O的切線.證明:如圖所示,過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E.∵AD⊥BO于點(diǎn)D,∴∠D=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°.∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD.又BC為☉O的切線,∴AC⊥BC.∴∠BCO=∠D=90°.∵∠BOC=∠AOD,∴∠OBC=∠OAD=∠ABD.∴OE=OC.∴OE是☉O的半徑.∵OE⊥AB,∴AB是☉O的切線.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)若OA=3,BD=2,求△OCD的面積.即時(shí)訓(xùn)練8.(2025惠州模擬)如圖所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)D是AC上一點(diǎn),以AD為直徑的☉O交BC,AB于點(diǎn)E,F,連接OF,E