專項六最值問題(5年4考)類型一構(gòu)造“輔助圓”求最值根據(jù)題意畫出如圖所示的草圖,通過△ADG∽△ABH證得點D是定點,點C在以O(shè)D為直徑的圓上運動,進而得到點C到OD的最大距離等于OD的一半A2.(2021廣東)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.點D為平面上一個動點,∠ADB=45°,則線段CD長度的最小值為

.

線段AB是定線段,由∠ADB=45°,不妨設(shè)點D在以AB為弦的☉O上,圓心O在線段AB的垂直平分線上,根據(jù)這些信息作出如圖所示的草圖,從圖形上看,當O,D,C三點共線時,CD的值最小.結(jié)合垂徑定理、圓周角定理計算獲解類型二利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值3.[人教九下P44T14改編]如圖所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若動點D從點B出發(fā),沿線段BA運動到點A為止,運動速度為每秒2個單位長度.過點D作DE∥BC交AC于點E,則△BDE的面積最大值為

.

由DE∥BC可得到△ADE∽△ABC.用含動點D運動時間t的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長,結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例表示出△BDE中BD邊上的高,利用三角形的面積公式得到關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的增減性獲解6通過列關(guān)系式得到二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,注意自變量的取值范圍.解題策略類型三利用“垂線段最短”求最值方法1一動一定4.如圖所示,在等邊三角形ABC中,AB=6,點P是邊BC上的動點,將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ,點D是AC邊的中點,連接DQ,則DQ的最小值

是

.

點P的運動軌跡是線段BC,點Q的運動軌跡在CQ所在的直線上,長度等于BC.所以當DQ⊥CQ時,DQ的長最小條件:點A是直線l外一定點,在直線l上找一點P,使AP的長最短;解題路徑:如圖所示,過點A作AP⊥l,此時AP的長最短.解題策略方法2兩動一定5.如圖所示,菱形ABCD的邊長為4,∠ABC=45°,點P,Q分別是BC,BD上的動點,則CQ+PQ的最小值為

.

2A條件:已知定點P和∠AOB,在OA上找一點M,在OB上找一點N,使得PM+MN的值最小.解題路徑:如圖所示,作定點P關(guān)于OA的對稱點P′,過點P′作OB的垂線,分別交OA于點M,交OB于點N,此時PM+MN的值最小,最小值為P′N的長.解題策略方法3一動兩定(“胡不歸”模型)條件:如圖所示,點A為直線l上一定點,點B為直線外一定點,點P在直線l上運動.求kAP+BP的最小值.解題路徑:如圖所示,求這類帶有系數(shù)的折線最值問題,通常我們都是將折線轉(zhuǎn)化成為線段,再利用兩點之間線段最短或垂線段最短求解.該模型就是利用了垂線段最短的性質(zhì),具體解題步驟如下:解題策略一找:找?guī)в邢禂?shù)k的線段kAP;二構(gòu)造:在點B異側(cè)構(gòu)造以線段AP為斜邊的直角三角形:(1)以定點A為頂點作∠PAC,使sin∠PAC=k;(2)過動點P作垂線,構(gòu)造Rt△PAC;三轉(zhuǎn)化:化折為直,將kAP轉(zhuǎn)化為PC;四求解:使得kAP+BP=PC+BP,利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求BD的長.類型四利用軸對稱性質(zhì)求最值方法1兩定一動8.如圖所示,在等邊三角形ABC中,AB=2,點E是AB的中點,AD是高,點P是AD上的一動點,則BP+PE的最小值為

.

C和最小值問題條件:已知兩定點A,B和直線l,在直線l上求一點P,使PA+PB的值最小.解題路徑:(1)當兩定點在直線l異側(cè)時,如圖(1),連接AB交直線l于點P,此時PA+PB的值最小,最小值為線段AB的長;解題策略(2)當兩定點在直線l同側(cè)時,如圖(2),作點B關(guān)于直線l的對稱點B′,連接AB′交直線l于點P,此時PA+PB的值最小,最小值為線段AB′的長.方法2兩動一定A條件:已知定點P和∠AOB,點M是OA上一動點,點N是OB上一動點,求△PMN周長的最小值.解題路徑:如圖所示,分別作點P關(guān)于OA,OB對稱點P′,P″,連接P′P″分別交OA,OB于點M,N,此時△PMN周長最小,最小值為P′P″的長.解題策略方法3兩定兩動11.九(2)班舉行元旦文藝晚會,桌子擺成兩條直線(如圖中所示的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,坐在C處的小花先拿橘子再拿糖果,然后送給D處的小紅.請你幫助她設(shè)計一條行走路線,使其所走的總路程最短(寫出作法,無需說明理由).解:如圖所示,按圖中所示分別找出點C,D的對稱點C′,D′,連接C′D′分別與OA與OB交于點M,N,則小花所走的路線為CM-MN-ND時,所走的總路程最短.條件:已知定點P,Q和∠AOB,點M是OA上一動點,點N是OB上一動點,求四邊形PQ