專項(xiàng)七幾何圖形的證明與計(jì)算(5年13考)類型一與三角形有關(guān)的證明與計(jì)算1.(2025茂名模擬)如圖所示,在△ABC中,AB=4,AC=5,∠ABC>90°,點(diǎn)D在AC邊上,將△ABD沿著BD折疊得△EBD,連接AE,CE.(1)用尺規(guī)作出△EBD(不寫作法,保留作圖痕跡);解:(1)如圖所示,△EBD即為所求.(2)若∠ABD=30°,CE=3,求∠BEC的度數(shù).解:(2)由折疊可得,∠ABE=2∠ABD=2×30°=60°,AB=EB,∴△ABE是等邊三角形.∴∠AEB=60°.又∵CE=3,AB=4,AC=5,∴CE2+AE2=AC2.∴△ACE是直角三角形,且∠AEC=90°.∴∠BEC=∠AEC-∠AEB=90°-60°=30°.2.(2025廣東模擬)如圖所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.(1)實(shí)踐與操作:用尺規(guī)作圖法在AB下方求作∠ADB,使得∠ADB=45°,且AD=AC(保留作圖痕跡,不要求寫作法);(1)解:∠ADB=45°,且AD=AC,如圖①所示即為所求(作法不唯一).(2)應(yīng)用與證明:在(1)的條件下,E是AB的中點(diǎn),連接DE.求證:△ADE∽△ABD.類型二與四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算3.【認(rèn)識箏形】在特殊的四邊形中,有長方形、正方形、菱形等.如圖(1)所示,在一個四邊形ABCD中,AB=AD,BC=DC.像這樣兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.(1)請根據(jù)上述條件寫出關(guān)于箏形ABCD一個正確的結(jié)論:

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AC平分∠BAD(答案不唯一)【變式拓展】我們發(fā)現(xiàn),可以通過翻折三角形構(gòu)造出箏形.(2)如圖(2)所示,在△ABC中,AD是銳角三角形ABC的高,將△ABD沿AB邊翻折后得到△ABE,將△ACD沿AC邊翻折后得到△ACF,延長EB,FC交于點(diǎn)G.求證:四邊形AEGF是箏形;(3)如圖(3)所示,在△ABC中,∠BAC=45°,AD是銳角三角形ABC的高,且AD=4,CD=2.將△ABD沿AB邊翻折后得到△ABE,將△ACD沿AC邊翻折后得到△ACF.求BE的長.類型三與圓有關(guān)的證明與計(jì)算4.(2025深圳模擬)如圖所示,在△ABC中,以AB上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的☉O與BC,AB相交于點(diǎn)D,E,連接AD.(1)從以下三個信息中選擇兩個作為條件,剩余的一個作為結(jié)論組成一個真命題,并寫出你的證明過程.解:(1)證明如下:如圖所示,連接OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC.∵∠ACB=90°,∴∠ODB=∠ACB=90°.∴BC⊥OD.∵OD為☉O的半徑,∴直線BC是☉O的切線.故答案為①②,③(答案不唯一)①AD平分∠BAC;②∠ACB=90°;③直線BC是☉O的切線.你選擇的條件是

,結(jié)論是

(均填序號);

①②③(2)在(1)的條件下,若∠B=30°,BE=2,求圖中陰影部分的面積.5.(2025廣東模擬)[主題]圓形紙片與剪紙藝術(shù).[素材]圖(1)中半徑為2的圓形紙片(☉O)若干.[實(shí)踐操作]活動一:如圖(2)所示,在該圓形紙片(☉O)上剪出一個圓周角為90°的扇形.活動二:如圖(3)所示,在另一圓形紙片(☉O)內(nèi)剪出一個內(nèi)接正六邊形,設(shè)該正六邊形ABCDEF的面積為S1,再連接AC,AE,CE,剪出△ACE,設(shè)△ACE的面積為S2.[實(shí)踐探索](1)根據(jù)剪紙要求,計(jì)算圖(2)中的扇形ABC的面積.2(3)求弧形花瓣總的周長[圖(4)中實(shí)線部分的長度].(結(jié)果保留π)類型四幾何變換(平移、旋轉(zhuǎn)、折疊)(2)求證:四邊形CDEF是黃金矩形;(3)如圖(2)所示,點(diǎn)G為AE的中點(diǎn),連接FG,折疊紙片ABCD,點(diǎn)B落在FG上的點(diǎn)H處,折痕為FP,過點(diǎn)P作PQ⊥EF于點(diǎn)Q.四邊形BFQP是否為黃金矩形?如果是,請證明;如果不是,請說明理由.7.(2024廣東T22節(jié)選)[知識技能](1)如圖(1)所示,在△ABC中,DE是△ABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A′DC′.當(dāng)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)E′與點(diǎn)A重合時,求證:AB=BC.證明:(1)由題意,可得DE′=DA=DE,∴∠DAE=∠DEA.∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC.∴∠DEA=∠BCA.∵∠DAE=∠DEA,∴∠DAE=∠BCA.∴AB=BC.[數(shù)學(xué)理解](2)如圖(2)所示,在△ABC中(AB<BC),DE是△ABC的中位線.連接CD,將△ADC繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A′DC′,連接A′B,C′C,作△A′BD的中線DF.求證:2DF·CD=BD·CC′.圖①法二如圖②所示,延長DF至點(diǎn)G,使GF=DF,連接BG.由題意,可知DA=DA′,DC=DC′.∵DE是△ABC的中位線,∴D是AB的中點(diǎn),BD=DA.∴BD=DA′.∴∠A′DF=∠BDF.∵DF是△A′BD的中線,∴A