廣東省深圳市羅湖外國語學校2026屆數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.2．等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，且則的實軸長為A.1 B.2C.4 D.83．已知直線l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－14．過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.5．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.6．已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．設雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大8．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②設有一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設具有相關關系的兩個變量的相關系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關程度越高；⑤在一個列聯(lián)表中，由計算得的值，那么的值越大，判斷兩個變量間有關聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.39．氣象臺正南方向的一臺風中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為，距臺風中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是（）A. B.C. D.10．在正方體中，分別是線段的中點，則點到直線的距離是（）A. B.C. D.11．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.12．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓，若圓的過點的三條弦的長，，構成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差的最大值是______.14．直線的傾斜角的取值范圍是______.15．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為______.16．已知曲線與曲線有相同的切線，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）圓心在點O（0，0），半徑r＝3（2）圓心在點O（0，0），且經(jīng)過點M（3，4）18．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓位置關系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計分19．（12分）如圖，在三棱錐中，，點為線段上的點.（1）若平面，試確定點的位置，并說明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為線段，的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）設函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：22．（10分）年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務小組受大會展示項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個信號源相距米，是的中點，過點的直線與直線的夾角為，機器貓在直線上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足：接收到點的信號比接收到點的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時刻時，測得機器鼠距離點為米.（1）以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系（如圖），求時刻時機器鼠所在位置的坐標；（2）游戲設定：機器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風險.如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風險？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)四種命題的關系求解.【詳解】因為否命題是否定原命題的條件和結論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C2、B【解析】設等軸雙曲線的方程為拋物線,拋物線準線方程為設等軸雙曲線與拋物線的準線的兩個交點,，則,將，代入，得等軸雙曲線的方程為的實軸長為故選3、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因為直線l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A4、A【詳解】因為所求直線垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎題.5、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質(zhì)可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D6、A【解析】求出直線斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：A.7、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.8、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個回歸方程，變量增加1個單位時，平均減少5個單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關系數(shù)為r，越接近于1，相關程度越大，故④不正確；對于觀察值來說，越大，“x與y有關系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.9、D【解析】利用余弦定理進行求解即可.【詳解】如圖所示：設臺風中心為，，小時后到達點處，即，當時，氣象臺所在地受到臺風影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺所在地受到臺風影響持續(xù)時間大約是，故選：D10、A【解析】以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，然后，列出計算公式進行求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.因為，所以，所以，則點到直線的距離故選：A11、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D12、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)題意，求得過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【詳解】圓的圓心，半徑，設點為點，因為，故點在圓內(nèi)，當直線過點，且經(jīng)過圓心時，該直線截圓所得弦長取得最大值；當直線過點，且與直線垂直時，該直線截圓所得弦長取得最小值，此時，則滿足題意的直線為，即，又，則該直線截圓所得弦長為；根據(jù)題意，要使得數(shù)列的公差最大，則，故最大公差.故答案為：.14、【解析】先求出直線的斜率取值范圍，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系，即可求出【詳解】可化為：，所以，由于，結合函數(shù)在上的圖象，可知故答案為：【點睛】本題主要考查斜率與傾斜角的關系的應用，以及直線的一般式化斜截式，屬于基礎題15、【解析】作出該不等式表示的平面區(qū)域，由的幾何意義結合距離公式得出答案.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖所示過點作直線的垂線，垂足為因為表示原點與可行域中點之間的距離，所以的最小值為.故答案為：16、0【解析】設切點分別為，．利用導數(shù)的幾何意義可得，則．由，，計算可得，進而求得點坐標代入方程即可求得結果.【詳解】設切點分別為，由題意可得，則，即因為，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：0三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根據(jù)圓心坐標和半徑，即可得到答案；（2）利用兩點間的距離公式，求出圓的半徑，即可得到答案；【小問1詳解】根據(jù)題意，圓心在點O（0，0），半徑r＝3，則要求圓的方程為x2+y2＝9；【小問2詳解】圓心在點O（0，0），且經(jīng)過點M（3，4），要求圓的半徑r＝＝5，則要求圓的方程為x2+y2＝25；18、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進行比較即可；(2)根據(jù)點到直線的距離公式，先計算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C圓心為，半徑為因為兩圓的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因為兩圓的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因為點C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為19、（1）點為MC的中點，理由見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而由三線合一得到點為MC的中點；（2）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各邊長，用余弦定理求出答案.【小問1詳解】點為MC的中點，理由如下：因為平面，平面，所以，，又，由三線合一得：點為MC的中點【小問2詳解】取AB的中點H，連接PH，CH，則由（1）知：，結合點為MC的中點，所以PA=PB，故由三線合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即為二面角的平面角，因為，，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值為20、（1）；（2）.【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.可根據(jù)題意寫出各個點的坐標，進而求出平面的法向量和的坐標，點到平面的距離.計算即可求出答案.（2）由（1）知平面的法向量，在把平面的法向量表示出來，平面與平面夾角的余弦值為，計算即可求出答案.【小問1詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系.由于正方體的棱長為2和，分別為線段，的中點知，.設平面的法向量為..則..故點到平面的距離.【小問2詳解】平面的法向量，平面與平面夾角的余弦值.21、（1）答案見詳解（2），證明見解析【解析】（1）求導得，，分類討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）設，，聯(lián)立整理得，構造得，構造函數(shù)，結合導數(shù)判斷單調(diào)性，進而得證.小問1詳解】由，，可得，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】證明：因為函數(shù)有兩個零點，由（1）得，此時的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點為，則不妨設.設，，則則，即，整理得，所以，設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.22、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設機器鼠位置為點，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點坐標.（2）轉(zhuǎn)化機器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線