2026屆上海市楊浦區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.2．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.3．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則4．如圖，A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，且平面ABC中的小方格均為單位正方形，，，則（）A.1 B.C.2 D.5．設(shè)為直線上任意一點，過總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.6．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或118．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.9．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和 B.和C.和 D.和12．年月日，很多人的微信圈都在轉(zhuǎn)發(fā)這樣一條微信：“，所遇皆為對，所做皆稱心””．形如“”的數(shù)字叫“回文數(shù)”，即從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，則位的回文數(shù)共有（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上的一點，，分別為圓和圓上的點，則的最小值為______14．已知等差數(shù)列中，，則=_________.15．已知拋物線：，斜率為且過點的直線與交于，兩點，且，其中為坐標(biāo)原點（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值16．在平行六面體中，點P是AC與BD的交點，若，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程18．（12分）設(shè)AB是過拋物線焦點F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個焦點為、，動點P滿足（1）求動點P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交軌跡E于A、B兩點，問：線段上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請給出證明：若不存在，請說明理由20．（12分）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和，求.21．（12分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點，并且，E為劣弧上的一點，且，.（1）若E為劣弧的中點，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點（靠近點），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的兩焦點為、，P為橢圓上一點，且（1）求此橢圓的方程；（2）若點P在第二象限，，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A2、B【解析】根據(jù)空間向量的加減運算推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：B3、D【解析】根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】解：對于選項A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項A錯誤；對于選項B：若，則，故選項B錯誤；對于選項C：當(dāng)時不滿足，故選項C錯誤；綜上，可知選項D正確.故選：D.4、B【解析】根據(jù)向量的線性運算，將向量表示為，再根據(jù)向量的數(shù)量積的運算進(jìn)行計算可得答案,【詳解】因為，所以=，故選：B.5、D【解析】根據(jù)題意，判斷點與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】因為過過總能作圓的切線，故點在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.6、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，選項CD錯誤；當(dāng)時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項7、A【解析】利用平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為兩條平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A8、D【解析】，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.9、C【解析】根據(jù)點關(guān)于原點對稱的性質(zhì)即可知答案.【詳解】由點關(guān)于原點對稱，則對稱點坐標(biāo)為該點對應(yīng)坐標(biāo)的相反數(shù)，所以.故選：C10、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點處的切線方程為，即故選：C11、C【解析】利用圓的一般方程的圓心和半徑公式，即得解【詳解】可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為.故選：C12、C【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，確定這四位數(shù)的選數(shù)的種數(shù)，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)“回文數(shù)”的對稱性，只需計算前位數(shù)的排法種數(shù)即可，首位數(shù)不能放零，首位數(shù)共有種選擇，第二位、第三位、第四位數(shù)均有種選擇，因此，位的回文數(shù)共有個.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據(jù)橢圓的定義、點到圓上距離的最小值，即可得到答案；【詳解】設(shè)為橢圓的左右焦點，則，等號成立，當(dāng)共線，共線，的最小值為，故答案為：14、4【解析】由等差數(shù)列的通項公式求出公差，進(jìn)而求出.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，則，所以.故答案為：4.15、（1）（2）為定值6【解析】（1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：，，，，求得p的值，即可求得拋物線E的方程；（2）由直線的斜率公式可知：，，，代入，，即可得到：.試題解析：（1）直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，，所以，，又，所以，從而拋物線的方程為（2）因為，，所以，，因此，又，，所以，即為定值點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).16、【解析】由向量的運算法則，求得，根據(jù)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）1；（2）y＝x＋7【解析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得M點坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，從而求得參數(shù)m.【詳解】解：（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直線AB的斜率k＝＝＝1（2）由y＝，得y′＝設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時，x1，2＝2±2從而|AB|＝|x1－x2|＝由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7所以直線AB的方程為y＝x＋718、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；（2）由拋物線的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的定義，即可得到的長，同理可得的長，兩式相乘即可證明；【小問1詳解】證明：由題意設(shè)直線的方程為，代入，可得，所以；【小問2詳解】證明：如圖，不妨設(shè)弦AB的傾斜角為銳角，作垂直于拋物線準(zhǔn)線,垂足為M,N,由拋物線的定義可得，所以，同理可得，,所以，當(dāng)為直角或鈍角時，同理可證明，故.19、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點坐標(biāo)，證明出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，所以，，而，故動點P的軌跡E的方程為以點、為焦點的橢圓方程，由得：，，所以動點P的軌跡E的方程為；【小問2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程得：，設(shè)，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點D為AB垂直平分線上一點，其中，，則，故AB的中點坐標(biāo)為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無論為何值，，點D在線段上，滿足題意.20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項法”即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，若成等比數(shù)列，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.【點睛】關(guān)于數(shù)列的裂項法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項：觀察數(shù)列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；累加：將數(shù)列裂項后的各項相加；消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數(shù)列的前項和.2、消項的規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）推導(dǎo)出平面，，，由此能證明平面（2）推導(dǎo)出，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值【小問1詳解】證明：為圓錐的高，平面，又平面，，為劣弧的中點，，，平面，平面【小問2詳解】解：解：為劣弧的三等分點（靠近點，為底面圓的直徑，為圓上一點，并且，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，0，，，，，