成都龍泉中學(xué)2015級(jí)高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限A．B．C．D．4．在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足log2（x﹣1）＞0的概率是（A）A． B． C． D．5.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為(C)B.eqB.eq\r(2)C.eqC.eq\r(3) D.27.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有以下幾個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（B）A．1B．2C．3D．49.已知一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為5,12,13的三角形的邊上隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的地方的概率為（D）A.eqA.\f(π,60)B.eqB.eq\f(3,5)C.eqC.eq\f(π,3)D.eqD.eq\f(4,5)10.給出下列四個(gè)命題：其中真命題的個(gè)數(shù)是（B）A．0 B．1 C．2 D．3A．5B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分．第(13)～(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第(22)～(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）14.圓心在直線2x﹣y﹣7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，﹣4）、B（0，﹣2），則圓C的方程為．14.（x﹣2）2+（y+3）2=515.三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；19.隨著醫(yī)院對(duì)看病掛號(hào)的改革，網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門(mén)的就診方式，這解決了看病期間病人插隊(duì)以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問(wèn)題；某醫(yī)院研究人員對(duì)其所在地區(qū)年齡在10～60歲間的n位市民對(duì)網(wǎng)上預(yù)約掛號(hào)的了解情況作出調(diào)查，并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖，如下圖所示．（Ⅰ）若被調(diào)查的人員年齡在20～30歲間的市民有300人，求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上（含40歲）的市民人數(shù)；（Ⅱ）若按分層抽樣的方法從年齡在20,30以?xún)?nèi)及40,50以?xún)?nèi)的市民中隨機(jī)抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)研，求抽取的2人中，至多1人年齡在20,30內(nèi)的概率.【答案】（Ⅰ）250；（Ⅱ）710【解析】試題分析：（Ⅰ）結(jié)合直方圖求出求出滿足條件的人數(shù)即可；（Ⅱ）先求出年齡在[20，30）、[40，50）內(nèi)的人數(shù)，根據(jù)古典概率公式計(jì)算即可．試題解析：（Ⅰ）依題意，所求人數(shù)為3000.03×10（Ⅱ）依題意，年齡在20,30內(nèi)的有3人，記為A,B,C，年齡在40,50內(nèi)的有2人，記為1,2；隨機(jī)抽取2人，所有可能的情況為A,B，A,C，A,1,A,2,B,C,B,1，B,2,C,1,C,2,1,2,共10種.其中年齡都在20,30內(nèi)的情況為A,B，A,C，B,C，故所求概率P=1-320．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，點(diǎn)(2，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．20．解：(1)由題意有eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)證明：設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．將y＝kx＋b代入eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2kb,2k2＋1)，yM＝k·xM＋b＝eq\f(b,2k2＋1).于是直線OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(1,2k)，即kOM·k＝－eq\f(1,2).所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．21.已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝mx－eq\f(x3,6)(m為實(shí)數(shù)).(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))處的切線方程；(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若m＝1，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜g(x)＋eq\f(x3,6).21(1)解由題意得所求切線的斜率k＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).切點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))，則切線方程為y－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).即x－eq\r(2)y＋1－eq\f(π,4)＝0.(2)解g′(x)＝m－eq\f(1,2)x2.①當(dāng)m≤0時(shí)，g′(x)≤0，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，＋∞)；②當(dāng)m＞0時(shí)，令g′(x)＜0，解得x＜－eq\r(2m)或x＞eq\r(2m)，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－eq\r(2m))，(eq\r(2m)，＋∞).(3)證明當(dāng)m＝1時(shí)，g(x)＝x－eq\f(x3,6).令h(x)＝g(x)＋eq\f(x3,6)－f(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，則h(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù).故當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)＞h(0)＝0，即sinx＜x，f(x)＜g(x)＋eq\f(x3,6).請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為x=3+10cosα,y=1+10（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l:sinθ?cosθ=1ρ交曲線22.【答案】（Ⅰ）ρ=6cosθ+2sinθ；（試題解析：（Ⅰ）∵曲線C的參數(shù)方程為x