5.3.1等比數(shù)列（第一課時(shí)）人教B版（2019）選擇性必修第三冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.通過(guò)生活中的實(shí)例，類比等差數(shù)列，歸納并理解等比數(shù)列的定義，并能利用定義判斷或證明一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.能夠由定義進(jìn)一步歸納出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握其推導(dǎo)證明過(guò)程，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）課程引入情境與問(wèn)題觀察下列情境中的數(shù)列，回答后面的問(wèn)題.1.如圖所示，有些細(xì)胞在分裂時(shí)，會(huì)中1個(gè)變成2個(gè)，2個(gè)變成4個(gè)，4個(gè)變成8個(gè)……，這里細(xì)胞的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列1，2，4，8，16，32，…①課程內(nèi)容教學(xué)2.《莊子》中說(shuō)：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭.”其意思是：一尺長(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完.如果記木棒的長(zhǎng)度為1，則不斷取一半的過(guò)程中，每日截去一半之后木棒的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列3.我們都知道，如果將錢存在銀行里，那么將會(huì)獲得利息，例如：如果某年年初將1000元錢存為年利率為3%的5年定期存款，且銀行每年年底結(jié)算一次利息，則這5年中，每年年底的本息和構(gòu)成數(shù)列

課程內(nèi)容教學(xué)情境與問(wèn)題觀察下列情境中的數(shù)列，回答后面的問(wèn)題.(1)數(shù)列①②③在數(shù)學(xué)中都稱為等比數(shù)列，它們有什么共同點(diǎn)？你能給等比數(shù)列下一個(gè)定義嗎？(2)你能總結(jié)出數(shù)列①②③的通項(xiàng)公式并得出一般等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？不難看出，上述數(shù)列①②③的共同特點(diǎn)是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù).數(shù)列①?gòu)牡?項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于2數(shù)列②從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于

數(shù)列③從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于1.03課程內(nèi)容教學(xué)等比數(shù)列的概念一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q，即

（q≠0）恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.①②③都是等比數(shù)列，且公比分別為2，

，1.03.

課程內(nèi)容教學(xué)思考一下：根據(jù)數(shù)列的概念，計(jì)算數(shù)列①②③的公式？如果記數(shù)列①為{an}，則可以看出，

a2等于a1（即1）的2倍；

a3等于a2的2倍，因此a3也等于a1的22倍；同樣，a4等于a1的23倍……由此可知，數(shù)列①的通項(xiàng)公式為

an=2n-1類似地，可知數(shù)列②的通項(xiàng)公式為數(shù)列③的通項(xiàng)公式為an=1000×1.03n課程內(nèi)容教學(xué)思考一下：根據(jù)上面的計(jì)算公式，總結(jié)一下等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？一般地，如果等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為q，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義可知即an+1=anqn，從而a2=a1q，a3=a2q=(a1q)q=a1q2，a4=a3q=(a1q2)q=a1q3，……由此可歸納出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1迭代法課程內(nèi)容教學(xué)思考一下：根據(jù)上面的計(jì)算公式，總結(jié)一下等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？另一種方法：由等比數(shù)列的定義可得將這n-1個(gè)式子兩邊分別相乘，則有因此同樣可以得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1累乘法課程內(nèi)容教學(xué)例1：判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列；如果是，寫出它的公比，如果不是，說(shuō)明理由.(1)1，10，100，1000，10000；因?yàn)樗允堑缺葦?shù)列，且公比為10.(2)0，1，2，4，8；因?yàn)?/p>

沒(méi)有意義，所以不是等比數(shù)列.

課程內(nèi)容教學(xué)例1：判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列；如果是，寫出它的公比，如果不是，說(shuō)明理由.(3)因?yàn)樗允堑缺葦?shù)列，且公比為-.

課程內(nèi)容教學(xué)思考一下：根據(jù)例1，思考一下如何判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列？因?yàn)閍n≠0時(shí)，

所以在已知每一項(xiàng)均不為0的前提下，可通過(guò)檢查an+1=anq是否恒成立來(lái)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.例如：例1的（3）中，因?yàn)槊恳豁?xiàng)都不為0，且除首項(xiàng)外，每一項(xiàng)都是前面一項(xiàng)-的倍，所以是公比為的等比數(shù)列.

課程內(nèi)容教學(xué)例2：已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1

=27，公比q=.(1)求a8；

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知(2)判斷18是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，說(shuō)明理由.設(shè)18是數(shù)列中的第n項(xiàng)，則，化簡(jiǎn)得32-n=18，因?yàn)檫@個(gè)方程無(wú)正整數(shù)解，所以18不是數(shù)列中的項(xiàng).課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中，

an與n的關(guān)系與以前學(xué)過(guò)的什么函數(shù)有關(guān)？因?yàn)樗匀绻泟t可以看出an=f(n).課程內(nèi)容教學(xué)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1.當(dāng)公比q=1時(shí)，

f(x)是常數(shù)函數(shù)，此時(shí)數(shù)列{an}是常數(shù)列（因此，公比為1的等比數(shù)列是常數(shù)列）；2.當(dāng)公比q≠1時(shí)，

f(x)是

與y=qx，此時(shí)，f(x)的增減性既與a1有關(guān)，也與q有關(guān).課程內(nèi)容教學(xué)例3：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3×2n，判斷這個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果是，求出公比；如果不是，說(shuō)明理由.因?yàn)樗詳?shù)列{an}是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為6，公比為2.課程內(nèi)容教學(xué)等比數(shù)列的充要條件數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是an=kqn其中k，q都是不為0的常數(shù).根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，思考一下奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)的特點(diǎn)？由任何一個(gè)非零實(shí)數(shù)的偶數(shù)次方一定是正數(shù)可知，等比數(shù)列中，所有序號(hào)為奇數(shù)的項(xiàng)的符號(hào)相同，所有序號(hào)為偶數(shù)的項(xiàng)的符號(hào)相同.課程內(nèi)容教學(xué)例4：已知等比數(shù)列{an}的公比為q，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)m，n，有an=amqn-m設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則兩式相除，整理可得即an=amqn-m.課程內(nèi)容教學(xué)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1.an=a1qn-1：確定等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比;2.an=amqn-m：已知數(shù)列的任意一項(xiàng)（不一定是首項(xiàng)）以及公比，即可求出其通項(xiàng)公式.課程內(nèi)容教學(xué)例5：已知等比數(shù)列{an}中，a3=9，a6=-243，求a8.方法一：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得a1=1，q=-3，因此a8=(-3)8-1=-2187.課程內(nèi)容教學(xué)例5：已知等比數(shù)列{an}中，a3=9，a6=-243，求a8.方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)推導(dǎo)公式an=amqn-m可得-243=a6=a3q6-3=