2026屆上海市四區(qū)高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.2．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.4．某工廠去年的電力消耗為千瓦，由于設(shè)各更新，該工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，則從今年起，該工廠第5年消耗的電力為（）A.m千瓦 B.m千瓦C.m千瓦 D.m千瓦5．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且，則（）A. B.C. D.6．直線且的傾斜角為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.8．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A. B.C. D.9．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.10．公比為的等比數(shù)列，其前項和為，前項積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.11．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.12．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，的左、右焦點分別為、，且的焦點到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點，為弦的中點，若為坐標(biāo)原點）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是____________①；②的離心率為；③若，則的面積為2；④若的面積為，則為鈍角三角形14．等差數(shù)列前項之和為，若，則________15．過點，且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______16．若橢圓的焦點在軸上，過點作圓的切線，切點分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的上焦點和右頂點，則橢圓的方程是________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分別是AB、PC的中點（1）求證：平面MND⊥平面PCD；（2）求點P到平面MND的距離18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且，（1）求的通項公式；（2）求的最小值20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：21．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現(xiàn)對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數(shù)；（3）根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.22．（10分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因為復(fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A2、C【解析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C3、A【解析】由同角公式求出，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)余弦定理求出，根據(jù)正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義進行求解即可.【詳解】因為去年的電力消耗為千瓦，工廠計劃每年比上一年的電力消耗減少，所以今年的電力消耗為，因此從今年起，該工廠第5年消耗的電力為，故選：D5、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，由得：，即，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗：滿足，，故選：B.6、C【解析】由直線方程可知其斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.7、B【解析】根據(jù)題圖有且，結(jié)合五點法求參數(shù)，即可得的解析式.【詳解】由圖知：且，則，所以，則，即，又，可得，，則，，又，即有.綜上，.故選：B8、B【解析】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，利用中位數(shù)的定義可得結(jié)果.【詳解】將樣本中的數(shù)據(jù)由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：B.9、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D10、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項D錯誤；因為，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項都大于1，從第2022項開始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項B不正確；而，由以上分析可知其無最大值，故C錯誤；故選：A11、C【解析】設(shè)點在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點，故方程為.代入雙曲線方程，得點的坐標(biāo)為.同理可得，點的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.12、C【解析】根據(jù)橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質(zhì)，重點考查轉(zhuǎn)化與變形，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點的坐標(biāo)，再求邊長，求出可判斷④【詳解】解：設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，，，，故②正確；的焦點到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯誤，，若，不妨設(shè)在右支上，，又，，則的面積為，故③不正確；設(shè)，，，，將代入雙曲線，得，，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨取點的坐標(biāo)為，，，，，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確故答案為：②④14、【解析】直接利用等差數(shù)列前項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.15、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時，圓周長最小，由線段的中點為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時，圓周長最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16、【解析】設(shè)過點的圓的切線為，分類討論求得直線分別與圓的切線，求得直線的方程，從而得到直線與軸、軸的交點坐標(biāo)，得到橢圓的右焦點和上頂點，進而求得橢圓的方程.【詳解】設(shè)過點的圓的切線分別為，即，當(dāng)直線與軸垂直時，不存在，直線方程為，恰好與圓相切于點；當(dāng)直線與軸不垂直時，原點到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，此時直線與圓相切于點，因此，直線的斜率為，直線的方程為，所以直線交軸交于點，交于軸于點，橢圓的右焦點為，上頂點為，所以，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】（1）作出如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得、、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面、平面的法向量分別為，，和，1，，算出，可得，從而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，與向量，2，，利用點到平面的距離公式加以計算即可得到點到平面的距離【詳解】（1）證明：平面，，、、兩兩互相垂直，如圖所示，分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，設(shè)，，是平面的一個法向量，可得，取，得，，，，是平面的一個法向量，同理可得，1，是平面的一個法向量，，，即平面的法向量與平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一個法向量，，2，，得，點到平面的距離18、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行，由已知易證；（2）延長相交與點F，利用等體積法求點A到平面PCE，然后由可得.【小問1詳解】四邊形ABCD為正方形平面PAD，平面PAD平面PAD同理，，平面PAD又平面，平面平面平面PAD平面平面PAD【小問2詳解】延長相交與點F，因為，所以分別為的中點.記點到平面PCF為d，直線AB與平面PCE所成角為，則.易知，，，，因為平面ABCD，所以，所以因為，所以由得：即，得所以22.19、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，也滿足，故對任意的，.【小問2詳解】解：，所以，當(dāng)或時，取得最小值，且最小值為.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用和項可求得的通項公式，注意別漏了說明；（2）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點睛】本題主要考查給出的一個關(guān)系式求數(shù)列的通項公式以及用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設(shè)這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統(tǒng)計的有關(guān)知識，可以認(rèn)為車速在公里小時之間的小車有輛，小車速度在之間有輛，故估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰放的概率為22、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b；（2）先設(shè)直線方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設(shè)F1