甘肅省酒泉市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則實(shí)數(shù)等于（

）A．1 B．3 C． D．2．過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為（

）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．17 B．18 C．19 D．204．圓心為且與直線相切的圓的方程為（

）A． B．C． D．5．拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B．C． D．6．已知等比數(shù)列滿足，公比，則（

）A．32 B．64 C．128 D．2567．關(guān)于曲線，下列敘述不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是雙曲線 B．當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是橢圓C．當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形是雙曲線 D．無論取何值，曲線表示的圖形都不是拋物線8．班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點(diǎn)Q，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列關(guān)于直線的說法正確的是（

）A．直線的斜率為 B．直線的傾斜角為C．過點(diǎn)且與軸垂直的直線方程為 D．直線與平行10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的有（

）A． B．均是的最大值 C． D．公差11．已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則下列說法正確的是（

）A． B．點(diǎn)到軸的距離為C．的面積為 D．三、填空題12．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，寫出一個(gè)滿足條件的的通項(xiàng)公式.13．已知P，Q分別為直線與上任意一點(diǎn)，則的最小值為.14．已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是.四、解答題15．已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)求的前項(xiàng)和.16．直線與直線垂直，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求的方程；(2)若圓截直線所得弦長為4，求實(shí)數(shù)的值；(3)若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段MN中點(diǎn)的軌跡方程.17．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)不同的實(shí)數(shù)，討論直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求關(guān)于的表達(dá)式.18．已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率不為0的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)D，E都在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，軸.(1)若直線的斜率為1，求|AB|的值；(2)設(shè)是DE的中點(diǎn)，判斷AR與EF是否平行，并說明理由；(3)證明：直線BD恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

1．B結(jié)合通項(xiàng)公式，利用列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得．故選：B.2．D利用直線的方向向量求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式得到直線方程.【詳解】所求直線的方向向量為，，所求直線過點(diǎn)，所求直線的方程為，整理得.故選：D.3．C利用已知條件，由求出，從而由可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，∴．故選：C.4．A先設(shè)出圓的方程，根據(jù)相切的性質(zhì)可求半徑，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離為，即，所以.故選：A5．D根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線即可.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.拋物線，則，所以準(zhǔn)線方程是.故選：D.6．B根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B7．B由橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的定義建立不等式組，判斷ABC選項(xiàng)，由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程判斷D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)曲線為橢圓時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，曲線是圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，，則或，A、C選項(xiàng)正確；∵，∴無論取何值，曲線表示的圖形都不是拋物線，D選項(xiàng)正確.故選：B.8．C由入射光線與反射光線的關(guān)系，結(jié)合角平分線定理可解.【詳解】由橢圓定義可得，由光學(xué)性質(zhì)可知，為的角平分線，所以.故選：C9．BCD對(duì)于A：將直線方程化為斜截式即可判斷斜率；對(duì)于B：根據(jù)傾斜角的定義即可判斷；對(duì)于C：過與x軸垂直的直線方程為；對(duì)于D：斜率相等，縱截距不相等，兩直線平行．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，斜率為，并非，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：直線是垂直于軸的直線，根據(jù)傾斜角定義，其傾斜角為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：過點(diǎn)且與軸垂直的直線方程為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：直線與的斜率均為3，且縱截距（1和）不相等，故它們平行，故D正確．故選：BCD．10．ABDA：根據(jù)，結(jié)合等差數(shù)列與下標(biāo)和有關(guān)的性質(zhì)即可判斷；BD：判斷等差數(shù)列公差的正負(fù)，從而判斷該數(shù)列的增減性，結(jié)合，，即可求其前n項(xiàng)和的最值；C：結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列與下標(biāo)和有關(guān)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】選項(xiàng)A：由，得，∴，故A正確；選項(xiàng)D：由，且，得，故D正確；選項(xiàng)B：由、，知等差數(shù)列是遞減數(shù)列：∵，故前8項(xiàng)（到）均為正數(shù)，第9項(xiàng)為0，第10項(xiàng)及以后為負(fù)數(shù)；是前8項(xiàng)正數(shù)的和，，因此是的最大值，故B正確；選項(xiàng)C：，故C錯(cuò)誤；故選：ABD．11．ACD離心率得到，結(jié)合得到，由余弦定理得到，由雙曲線的定義得到，將其平方得到，通過計(jì)算得到和的值；利用三角形的面積得到，和，代入數(shù)值計(jì)算得到，即求得點(diǎn)到軸的距離.【詳解】雙曲線的離心率為，，，，，，，，，，，，點(diǎn)在雙曲線上，，，，，，，，故選項(xiàng)AD正確；設(shè)，，，，，，，，，點(diǎn)到軸的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；故選：ACD.12．（滿足公差為即可）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式寫出一個(gè)公差為的通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，即.由以上等式可知，寫出一個(gè)公差為的通項(xiàng)公式即可.若，則.故答案為：（滿足公差為即可）.13．根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】可化為.兩直線平行,的最小值即為兩平行線間距離，為.故答案為：.14．設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得到關(guān)于表達(dá)式，然后三角函數(shù)的有界性即可求解.【詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍?故答案為：.15．(1)證明見詳解(2)(3)（1）根據(jù)等式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)，并求得其比值，即可證明；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得的通項(xiàng)公式；（3）由（2）中的通項(xiàng)公式，通過等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，即，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，∴（3）.16．(1)(2)(3)（1）利用垂直可得斜率，利用點(diǎn)斜式可求直線的方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦長可求答案；（3）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找出兩動(dòng)點(diǎn)間的關(guān)系，把的坐標(biāo)代入可求軌跡方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，又因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以方程為，即.（2）圓化為標(biāo)準(zhǔn)型為，圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A截直線所得弦長為4，所以，解得.（3）設(shè)線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，即因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，所以，即，所以線段MN中點(diǎn)的軌跡方程為.17．(1)(2)當(dāng)時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)直線與橢圓沒有交點(diǎn).(3)（1）根據(jù)題意得，，即可求解.（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)；時(shí)一個(gè)交點(diǎn)；時(shí)無交點(diǎn).（3）求出線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)斜式求出直線方程，令，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）將直線與橢圓聯(lián)立得，消去得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)直線與橢圓沒有交點(diǎn).（3）設(shè)，由（2）知，，，線段的中點(diǎn)為即線段的垂直平分線方程為：，令得，所以.18．(1)，(2)（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的知識(shí)求得首項(xiàng)和公差、公比，從而求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】（1）由題意得，，，，解得（舍去）則，解得，所以.則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.（2）.所以，兩式相減得，.19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析，定點(diǎn).（1）設(shè)直線與拋物線聯(lián)立，由韋