高三年級數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意解不等式，再根據(jù)并集的定義即可求解．【詳解】由題可知，，，所以.故選：D．2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出所在象限.【詳解】，所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選：B3.已知平面向量滿足，，，則在上的投影數(shù)量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義，結(jié)合投影數(shù)量的公式即可求解．【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，解得，所以在上的投影?shù)量為，故選：C．4.想要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A.各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再把圖像向右平移個(gè)單位B.各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再把圖像向左平移個(gè)單位C.各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮侔褕D像向右平移個(gè)單位D.各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再把圖像向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)解析式之間的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)圖像變換關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】，將函數(shù)的圖像各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再把圖像向右平移個(gè)單位，即可得出函數(shù)的圖像，故選：C．5.展開式中的系數(shù)是（）A.-8 B.24 C.-24 D.16【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理結(jié)合多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則即可求解.【詳解】展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)是.故選：D6.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意知得出函數(shù)周期，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出時(shí)的解析式，結(jié)合對數(shù)恒等式即可求解．【詳解】由題意得，，對稱軸為直線，則，所以，所以，所以，則的周期，因?yàn)?，所以，又?dāng)時(shí)，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以時(shí)，，所以，故選：A．7.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，右焦點(diǎn)為，連接，則，，，由橢圓的定義可知，在和由余弦定理可得，整理得，所以，即.故選：B8.若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同構(gòu)思想變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.【詳解】不等式，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，不等式恒成立，即，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若相互獨(dú)立，則C.若相互獨(dú)立，則D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)互斥事件概率的加法公式和對立事件概率的公式可判斷A；根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式和對立事件概率的公式可判斷B；根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式和容斥原理可判斷C；根據(jù)條件概率公式可判斷D.【詳解】若，則與互斥，所以，故A正確；若相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則，故B正確；若相互獨(dú)立，則，故C錯(cuò)誤；若，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.記銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（）A. B.C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由余弦定理和，化簡得到，可判定A正確；由正弦定理得到，結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡得到，可判定B正確；設(shè)，則，得到，結(jié)合基本不等式，可判斷C不正確；化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，可判定D正確.【詳解】對于A，由余弦定理得，因?yàn)椋傻?，整理得，即，所以A正確；對于B，因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，即，所以，所以B正確；對于C，由且為銳角三角形，設(shè)，則，又由，可得，可得，解得，因?yàn)?，因?yàn)椋傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，又因?yàn)?，所以等號不成立，則，所以，所以C不正確；對于D，由選項(xiàng)C得，其中，設(shè)，可得，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為，所以D正確.故選：ABD.11.已知拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橫坐標(biāo)為的一定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，弦恰被點(diǎn)平分，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C.的周長可以為 D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用拋物線定義與梯形中位線性質(zhì)，結(jié)合弦長及中點(diǎn)橫坐標(biāo)求出的值.選項(xiàng)B，設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理與基本不等式，證明.選項(xiàng)C，結(jié)合弦長條件求出相關(guān)參數(shù)，利用拋物線定義轉(zhuǎn)化周長表達(dá)式，判斷其最小值小于14，從而確定周長可以為14.選項(xiàng)D，根據(jù)面積比得到線段長度關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，計(jì)算弦長后判斷該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，如圖，分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，又，解得，故A正確；對于B選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，又拋物線，由，可得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又，所以，由對稱性，下面只考慮的情況，，設(shè)的周長為，如圖，分別過點(diǎn)、向拋物線準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為、，則，周長的最小值為，故C正確；對于D選項(xiàng)，，，則，解得或-2(舍)，，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.有一組正整數(shù)從小到大排列為：1，2，6，7，9，m，這組數(shù)據(jù)的40％分位數(shù)等于它們的平均數(shù)，則m為________【答案】11【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的40％分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)6，則，解得.故答案為：1113.已知，若直線是曲線與曲線的公切線，則________【答案】1【解析】【分析】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線的交點(diǎn)（切點(diǎn)），然后根據(jù)切點(diǎn)在直線上求出，最后求出直線與的交點(diǎn)（切點(diǎn)）即可求出.【詳解】設(shè)直線在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，在處的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，因?yàn)橹本€是曲線和的公切線，所以，解得，則，把代入直線中可得，又，解得，把代入直線中可得，再把代入中可得，即，所以.故答案為：114.已知圓臺的上下底面積之比為1:4，與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切的球半徑為1，則圓臺的表面積為___【答案】【解析】【分析】畫出截面圖根據(jù)平面幾何知識得到，再根據(jù)圓臺的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，作出圓臺的軸截面，，分別為圓臺上、下底面的圓心，球的截面圓內(nèi)切于梯形，作于點(diǎn)，連接，則，設(shè)球的半徑為，圓臺的上下底面半徑分別為，易知圓臺的高為，母線長為，由題意可知，，因?yàn)?，，所以，把，代入方程可得，，所以圓臺的表面積.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，列出方程，求解即可；（2）由錯(cuò)位相減法求和即可．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，，由成等比數(shù)列得，，整理得，解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等差數(shù)列，所以，即，所以．【小問2詳解】由題可知，，由（1）得，，所以，則，，兩式相減得，，整理得．16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為且．（1）求角B；（2）若的面積為為AC邊上一點(diǎn)，滿足．①求的周長；②求的長．【答案】（1）（2）12；【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式即可求解；（2）由三角形面積公式及余弦定理得出為等邊三角形，即可求解①；由余弦定理即可求解．【小問1詳解】由得，，又角C為的內(nèi)角，所以，則，解得或（舍）．【小問2詳解】①因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，由及得，即為等邊三角形，所以的周長為12；②由，所以，在中，由余弦定理得，所以．17.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)在底面上的射影為底面中心．（1）證明：（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直性質(zhì)、判定推理得證.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量法求解.【小問1詳解】平行六面體中，，平面，而平面，則，在中，，則四邊形是正方形，，而平面，因此平面，又平面，所以.【小問2詳解】由平面，，得直線兩兩垂直，，又，則是正三角形，，同理，而，則，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面法向量，則，令，得，，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求雙曲線的方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)在雙曲線右支上，設(shè)的平分線分別與軸、軸交于點(diǎn)、，直線與雙曲線左、右支分別交于、兩點(diǎn)，如圖所示：①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求面積的最大值.【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線通徑的長，離心率的公式以及之間的關(guān)系列方程組求解即可；（2）①由角平分線性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義可得，再利用得出的取值范圍，解關(guān)于的不等式即可求解；②直線與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)①求出的范圍，由，最后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，把代入雙曲線方程可得，由題意可知，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】①由（1）可知，由角平分線性質(zhì)可得，又，聯(lián)立兩式可得，因在雙曲線右支上，所以且，即，所以，，所以，解得，又，所以的取值范圍為.②由①可知；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)直線的方程為，即，令，得，直線的斜率最小，，且，設(shè)，直線的方程為，則，由消去得，則，，，由圖可知，令，，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以面積的最大值為.19.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)都存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，給定滿足條件的常數(shù)，證明：當(dāng)取最小值時(shí)，.【答案】（1）當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（3）證明過程見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)的范圍進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化成對恒成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求解；（3）先用換元法簡化變量，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值去分析的最小值條件即可.【小問1詳解】已知的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)