幾何綜合題型之最值問題：解題策略與?？碱}型適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級適用區(qū)域蘇州課時時長（分鐘）120分鐘知識點1.兩點之間線段最短。2.垂線段最短。3.三角形的三邊關(guān)系。教學(xué)目標1.能根據(jù)“兩點之間線段最短”，通過做軸對稱點求線段之和最小值。2.能根據(jù)“兩點之間線段最短”，通過構(gòu)造三角形利用三角形三邊關(guān)系求運動中某一條線段最值。3.理解兩種數(shù)學(xué)模型求最值的實質(zhì)都是幾條線段共線時得到最大值或最小值。教學(xué)重點求線段之和最小，變化中的一條線段的最值。教學(xué)難點1.求變化中的一條線段的最值。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)最值問題是初中數(shù)學(xué)中的一種常見題型，而利用勾股定理、軸對稱等知識求圖形中的最值，是近年中考的熱點問題第一。對這類問題，我們應(yīng)該學(xué)會分析、觀察圖形，從中找出解題途徑。二、知識講解1.兩條線段和的最小值。（一）、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；（1）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線同側(cè)：A、A/是關(guān)于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)：（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.（二）、一個動點，一個定點：1、動點在直線上運動：點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）（1）、兩直線在定點的同側(cè)：（2）、兩直線在定點的兩側(cè)（定點在兩直線的內(nèi)部）：求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；1、點A、B在直線m同側(cè)：解析：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。2、點A、B在直線m異側(cè)：解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’3.其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點，根據(jù)兩點之間線段最短以及點到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。三、例題精析【例題1】Q第1題圖【題干】如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值為Q第1題圖【答案】【解析】【例題2】第2題圖【題干】如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為第2題圖【答案】【解析】【例題3】第3題圖【題干】如圖所示，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是AC邊上一點.若AE=2,EM+CM的最小值為第3題圖【答案】【解析】【例題4】【題干】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.⑴求證：△AMB≌△ENB；⑵①當M點在何處時，AM＋CM的值最??；②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；⑶當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.EEADBCNM【答案】【解析】四、課堂運用【基礎(chǔ)】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB□□90°，AC□□6，BC□□8，AD是∠BAC的平分線．若P、Q分別是AD和AC上的動點，則PC□□PQ的最小值（）A．eq\s\do(\f(12,5))B．4C．eq\s\do(\f(24,5))D．5AAQCPDB第10題【答案】【解析】2.如圖，等邊△ABC中，AB=4，N是線段AB上的任意一點，∠BAC的平分線交BC于D，AD=，M是AD上的動點，連接BM、MN,則BM+MN的最小值為_________．【答案】【解析】【鞏固】1.如圖，已知△ABC，按下列語句要求用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；（1）作出BC的垂直平分線DE，垂足為D，交AC于點E；（2）作出∠ACB的角平分線CF，交AB于點F；（3）在BC上找出一點P，使△PEF的周長最?。敬鸢浮俊窘馕觥?）如圖所示：DE即為所求；（2）如圖所示：CF即為所求；（3）如圖所示：P點即為所求．2.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊在△ABC外側(cè)作等邊三角形ACD，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E，連接CE，AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的一點．連接PC、PB，若△PBC的周長最小，則最小值為（▲）第10題圖A．22cm；B．21cm；mC．24cm；co加哥mD． 27cm；第10題圖【答案】【解析】【拔高】1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，（1）求證：AE=BE（本題7分）（2）求AB的長（3）若點P是AC上的一個動點，則△BDP周長的最小值=【答案】【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠ABC=900-∠A=600∵BE平分∠ABC∴∠ABE=300∴∠ABE=∠A∴AE=BE…………2′(2)∵ED⊥AB，∠A=30°，∴ED=AE=3cm………………3′∴，∵AE=BE,DE⊥AB∴AB=2AD=………………5′（3）9+……7′2.如圖，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，點D、E分別為AM、AB上的動點，則BD＋DE的最小值是第18題第18題【答案】【解析】3．如圖，正方形ABCD的邊長是4，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值_________．【答案】【解析】課程小結(jié)求兩條線段之和最小或運動變化中的某一條線段的最值，通常依據(jù)兩點之間線段最短，借助于做對稱點或構(gòu)造三角形來解決，共同點時共線時得到最大值或最小值。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？【答案】【解析】作A點關(guān)于直線l的對稱點A',過B點作直線l的平行線m,在平行線m上截取,連接,交直線l于P點,此時的長最短.2.如圖，已知∠AOB內(nèi)有一點P，試分別在邊OA和OB上各找一點E、F，使得△PEF的周長最小。試畫出圖形，并說明理由。【答案】【解析】【鞏固】1.如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2，求EM+EC的最小值【答案】【解析】2.（1）如圖1，等腰Rt△ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值【答案】【解析】3.如圖，在四邊形中，，在上分別找一點，使的周長最小，此時的度數(shù)為.【答案】140°【解析】【拔高】已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:（1）如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3，且∠ACB=60°，則CD=