平面向量的線性運(yùn)算

一、單選題（共15小題）

1.在△ABC中，點M為邊BC的中點，點N在線段AM上，并且3AN=2NM,則際=（）

A.一看屈+《菽B.A'S-i-ACc.ACD.-IAB-4-AC

55555555

【答案】A

【分析】可畫出圖形，根據(jù)B為邊BC的中點即可得山薪=萩+品，而根據(jù)3AN=2NM可得出正二萩+AC

25

從而根據(jù)幣5=AN-標(biāo)進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得HlBN.

【解答】解:如圖,

??M為BC的中點，AM=AB+AC

2

又3AN=2NM,.??福章贏”:AC,

???BN=AN-AB二等5寺

故選：A.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是線段AE二靠近點A的三等分點，則而=（）

A，WAB4AD4-AB^-AEC4-AB-7-ADD?

33333634

【答案】C

【分析】利用平面向量的基本定理，用標(biāo)和專線性表示幣向量即可.

【解答】解:由可知,DF=DA+AF=-AD-4AE=-標(biāo)出（標(biāo)+在）=?標(biāo)"版+4標(biāo)=春標(biāo)415,

333636

故選：C.

【知識點】平面向量的基本定理、向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

3.在AABC所在平面上有三點P、Q、R,滿足強(qiáng)+而+氏=標(biāo)，QA+QB+QC=BC?而+近十菽=取，

則△PQR的面積與△ABC的面積之比為（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】B

【分析】將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡得到元二2屈，利用向量共線的充要條件得到P

是AC的三等分點，同理得到Q、R分別是AB,BC的三等分點；利用三角形的面積公式求出三角

形的面積比.

【解答】解：由蘇+強(qiáng)+玩=屈，得而+云=標(biāo)?而，

即江+玩=標(biāo)+而，

即江+玩=.，

:.PC=2AP，

P為線段AC的一個三等分點，

同理可得Q、R的位置，

△PQR的面積為AABC的面積減去三個小三角形面積，

工面積比為1：3；

故選：B.

【知識點】相似三角形的性質(zhì)、向量加減混合運(yùn)算

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AB=DCB.AE+AB=ACC.BC+DC=CA1）.同百=

【答案】C

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：由平行四邊形的性質(zhì)，可得

AB=DC?選項A正確；

由向量加法的平行四邊形法則，可得

AD+AB=AC?選項B正確：

VAD+-S^+DA^

???選項D正確；

,：BC+DC=BC+AB=AC*

???選項C錯誤.

故選：C.

【知識點】向量加減混合運(yùn)算

5.如圖，在△ABC中，AN=2NC.P是BN上一點，若"S=t標(biāo)+工菽，則實數(shù)t的值為（）

3

02/21

N

B

A.AB.2c.AD.旦

6324

【答案】C

【分析】根據(jù)右二2.即可得出正=|五，進(jìn)而可得出屈一盅得而，然后根據(jù)B,P,N三點共線即

可得出t的值.

【解答】解：???祈:2.，

-e-AP=tABAC=tABAN*且B,P,N三點共線，

???t」=l，解得

X2112

故選：C.

【知識點】向晟加減混合運(yùn)算

6.設(shè)0為兩個非零向量，的夾隹，已知對任意實數(shù)t,|-t|的最小值為1,則()

A.若0確定，則||唯一確定B.若0確定，則||唯一確定

C.若||確定，則0唯一確定D.若||確定，則0唯一確定

【答案】B

【分析】先將I-ll平方，化簡后可看成關(guān)于I的二次函數(shù)，然后求出其最小值，觀查分析最小值中含有

哪些量，再進(jìn)一步分析即可！

【解答】解：易知IE』后|2-2t|；||3|cose+t2|；|2,

令尸|；12t2-2t|；|E|cos8+|E|2,當(dāng)時,y取得最小值L

IaI

2222

即l；|^^-2x^^x|；||b|coSe+|b|=|b|sine=r

Ia|IaI

可見當(dāng)0確定時，II唯一確定下來；但I(xiàn)I確定時，0的值在(0,n)可能有兩個.

故選:B.

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

7.設(shè)，，為非零不共線向量，若|-t+(l?t)|》|-|(teR),則()

A.(+)±(-)B.(+)_L(+)C.(+)_L(+)D.(-)±(+)

【答案】D

【分析】因為對任意的實數(shù)t￡R,不等式|?t+(l?t)|^|-|(t￡R)恒成立，所以把不筆式整理成關(guān)

于t一元二次不等式.

【解答】解.：設(shè)，，為非零不共線向量，

若|-t+(1-t)|2|-|(tGR),

則I(a-c)+(l-t)(c+b)?l-I,

**?I(a-c)+(l?t)(b+c)『21a-c/，

化簡得，(1-t)2(b+c)2+2(1-t)(b+c)?(a-c)20，

即(b+c)2t2-2[(b+c)2+(b+c)(a-C)](b+c)?+2(b+c)(”c)20,

/.△=4[(b+7)(a-^)]2<0,

；?(b+c)(a-c)=0,

(b+c)-L(a-c)?

故選：D.

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

8.已知||=1,|+|+|-|=4,則||的最大值是()

A.V2B.2C.V6D.2V2

【答案】B

【分析】由平行四邊形法則可得,l+l，I?I為三角形的邊長，如圖所示，再由余弦定理可得IOB的表達(dá)

式，由角的三角函數(shù)的范圍可得|0B|的最大值.

【解答】解：設(shè)0A=，0B=?則0C=+，BA=-，設(shè)NA0B=a,則/0BC=n-a,

因為|OA|=|BC|=|=L|OB|=|I，|+|=|0Cl2=|0C|2,Ia-bl=|AB|,

在△OBC中，由余弦定理可得|0CI=d|OB產(chǎn)+lBC|2-2|0B|,|BC|,COS(兀-a：=

Vl+lOB|2+2|0B|-Cosa'

2=2

在AOAB'I'IABI=yj|0A1+1OBI2-2|0AI-|0B|cosaV1+|OB1-2|0B|-cosa-

因為1+1+-1=4,所以II+IOB12+2|0BI?cosa+Jl+lOB12-2|0B|?cosa=%

即Jl+lOB|2+2|0E|?cosa=4-A/1+|0B12-2|0B|-cosCf

兩邊平方整理可得：2di+|0BI2-2|0B1?cosa=4■|OB|?COSa,

再兩邊平方可得：|0B『=——e[3,4],所以|0B|的最大值為2,

4-cos4a

故選：B.

04/21

a

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

9.在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F(xiàn)為AE的中點，則正=（）

A-4-AB-7AEB.-^-AD-7ABaAB-^7-ADD-JAD^AB

24242424

【答案】A

【分析】根據(jù)條件可畫出圖形，根據(jù)向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義即可用屈，標(biāo)表示出向量而.

【解答】解：如圖，???四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點，F(xiàn)為AE的中點，

:.DF=AF-AD

=yAE-AE

1.??

=y（AB+BE）-AD

乙

1?1^^―?

=不（杷=ADA虹

乙乙

1一Q-

=-^AB4-AE-

24

故選：A.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

10.在aABC中，點D為BC中點，則而」?以=（）

2

A.ADB.-i-^DC4-ACD.-yCA

乙乙乙

【答案】C

【分析】根據(jù)共線向量的規(guī)定，即可得而=▲證,再根據(jù)向量減法的幾何意義便可得到而二或=』正

222

-4■百=《＜BC-而）=4-AC-

222

【解答】解：ZXABC中，點D為BC中點，

???BD=-BC，

2

BDBABC,嬴=￡（菽-裒）=,菽?

-^乙=乙-1乙-乙乙2

故選：C.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

11.在AABC中,AB=>菽=，M=—BC，則標(biāo)=（)

3

A.2+2Bc

33fit4

【答案】A

【分析】根據(jù)條件可得出前二EG，從而得出疝=思亨5=!七|~（5三），然后進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即

可.

【解答】解：???屈菽品

***BC=AC-AB=b-

AAD=^+BD=a-H|-BC=

故選:A.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

12.設(shè)E為△ABC所在平面內(nèi)一點，若BC=2EC，則（）

A.AE=-1AB+^ACB.AE=^AE-AC

2223

C.AE=-1AB+^ACD.AE=^AE-AC

2322

【答案】A

【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和減法求出結(jié)果.

【解答】解：E為aABC所在平面內(nèi)一點，若菽=2應(yīng)，

根據(jù)向量的線性運(yùn)算：AC-AB=2（AC-AE），

則標(biāo)總正弓'冠

故選：A.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

13.在梯形ABQ）中，AB=4DC，則正等于（）

A.-AAB+J.-SB.-AB*AEC.AB-AED.-旦標(biāo)+S標(biāo)

444444

【答案】B

【分析】根據(jù)標(biāo)=4五即可得出血=4［正標(biāo)-靛）］，然后進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可解出近.

【解答】解：???AB=4DG

AAB=4(BC-BD)，AAB=4[BC-('S-AB)],

06/21

?*-BC=-4AB+AE-

4

故選：B.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

14.在△ABC中，D點滿足麗=2巾，則布=()

A.3CD-2CAB.3CE+2CAC.2CD-3CA【).2CD+3CA

【答案】A

【分析】由題意利用平面向量的運(yùn)算即可求解.

【解答】解：無=以+屈=忌+3標(biāo)=取+3(CD-CA)=3而?2忌.

故選：A.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

15.平行四邊形ABCD中，M為CD的中點，點N滿足麗=2.，若標(biāo):入京+四訕，則人+口的值是()

A.4B.2C.AD.A

42

【答案】D

【分析】利用M為CD的中點，點N滿足而=2而,得到而』而，而N■近，再將等式屈=入高+四菽

23

轉(zhuǎn)化成標(biāo)，標(biāo)的關(guān)系，從而得到入，U的方程，求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意可得，5N=^DC?BN=-^-BC*

23

因為標(biāo)=入晶+四福，

所以屈=入(標(biāo)+而i)+H(AB+BN)

=x(AD^-DC)+|X(AB-HyBC)

1-^=0

由平面向量基本定理可得

rx=-l

解得3,

r=2

所以入+W=]?

故選；D.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算、平面向量的基本定理

二、填空題（共10小題）

16.在aABC中，AB=2,AC=1.D是BC邊上的中點，則標(biāo)?反的值為.

【分析】把標(biāo)二處變和它=正-標(biāo)代入要求的式子化詢可得結(jié)果.

2

"~~?2—?2

【解答】解：75?菽=配+AC?（AC-AB）=AC-研=上1=一旦,

2222

故答案為：一旦.

2

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

17.正五角星是一個與黃金分割有著密切聯(lián)系的優(yōu)美集合圖形，在如圖所示的正五角星中，A,B,C,D,E

是正五邊形的五個頂點，且軀=返工，若而=,則而+而=（用表示）.

AM2

【分析】根據(jù)幽巫11可得出處XL乜，進(jìn)而得出冠巫工：并且而=而，而=-水，從而可

AM2QN22

用表示出CP+NM.

??QN二MN二fT

【解答】解:

,AN'AM"2

.AN二2二遍T

**QN=V5-1=2

?啟—布+1端一述+1一

??NA=~z-QN=~--a，

乙乙

???CP+NM=MA-MN=NA=返°Z.

2

故答案為：近工：

2@

08/21

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

18.已知向量，滿足|a+b|=2>|a-b|=V3*則|Z|+|EI的最大值為一.

【分析】根據(jù)向最加法、減法、余弦定理和基本不等式求解.

【解答】解：如圖，設(shè)V,>=。，

在4ABD和AABC中分別用余弦定理得：

|1|2+|b|2-2laI?lb|cos0=^2,①

Ia|2+lbI2_2laI?lb|cos（n-o）=22,②

①+②得：|Z|2+|E|2=9

???（|；|+-1）2=|；|2+后|2+2|aI?|b|=l+2|；|?R區(qū)］+|；內(nèi)其|2=

乙乙

工—=7,（當(dāng)且僅當(dāng)|1|="|bH"=”成立.）

22

A

Ia|+|b|<^

故答案為：V7.

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

19.已知||=1,向量滿足|-|+|+|=4,則||的最小值為一.

【分析】直接利用基本不等式的應(yīng)用和向軟的數(shù)量積和平行四邊形的性質(zhì)求出結(jié)果.

2222

【解答】解：根據(jù)向量的數(shù)量積和平行四邊形的性質(zhì):|7+b|+|l-b|=2（|l|+|b|）?

22（a+b）2

根據(jù)不等式的性質(zhì)：a+b>-

2

222

由基本不等式的應(yīng)用，可得|；+b|+|；-b|>|x（|；+bhl；+b|）^當(dāng)且僅當(dāng)

Ia+bI=|a-b|時等號成立.

所以2（|；|2+后|2）〉（蜀山乎AD二

A2

整理得2（1+|b|2）>解得|b|>^

所以II的最小值為加.

故答案為：V3

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

20.已知向量彳=（2,b=（n,3），若a=2^，則m+n=.

【答案】7

【分析】根據(jù)題意，a=2b列出方程組，即可求得m和n的值，進(jìn)而求出m+n的值.

【解答】解：由題意胃=(2,m),b=(n,3)，a=2b

可得.2n2，解得m=6,n=l,

m=2X3,

貝I」m+n=6+l=7.

故答案為；7.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

21.已知四邊形ABCD中,AD/7BC,ZBAD=90°,AD=1,BC=2,M是AB邊上的動點,則|證+2而|的最

小值為一.

【答案】4

【分析】根據(jù)條件可以點B為原點，BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)AB=m,從而得出D

(1,m),C(2,0),并設(shè)M(0,t),并且te[0,m],從而可得出|死+2而|=V16+(2m-3t)24,

從而得出答案.

【解答】解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=m,M(0,t),te[0,m],由題意可知，c(2,0),D(l,m),MC=(2,-t)，

MD=(1,nrt>MC+2MD=(4,2nr3t>

**?|MC+2MD|=V16+(2m-3t)2^4,當(dāng)且僅當(dāng)1普時取等號，

即I元+2而I的最小值為4.

故答案為：4

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

22.如圖所示，ABCD是梯形，AD〃BC,AD=2BC,設(shè)標(biāo)=,CD=,用，表示菽=

【分析】由題意，放在AABC和ZkACD中，運(yùn)用向量的三角形法則，即可用之和三來表示出菽.

【解答】解：由題，AD/7BC,AD=2BC,

10/21

AC=AB+BC=AB-^AE=AB-H|AC^-CD*

AyAC=AB-^CE>

：?AC=2a+b.

故答案為：2a+b.

【知識點】向量的三角形法則

23.已知|1|=2,lb|=La+b=(2,-V3),則G-2El=一.

【答案】2

【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可直接求解.

【解答】解：因為la1=2，lbl=Ll+b=(2,-內(nèi)

所以鏟+$+2；■而7,

所以a?匕一1，

則|1-2芯|2=l2-4a*b+4b2=4-4X1+4=4,

則|a-2b|=2.

故答案為：2.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

24.已知向量=(1,0),=(入，2),|2a-bl=Ia+bl>則入=

【分析】求出甚-三和W+%的坐樂，根據(jù)模長公式列方程求出X的值.

【解答】解：旗-7=(2-入，-2),a+b=(1+入，2),

,?*I2a-bl=1a+b?

(2-x)2+4=(1+X)2+4,

解得x=l.

2

故答案為：1.

2

【知識點】兩向量的和或差的模的最值

25.計算：0P+NQ+MN-MF=.

【分析1利用向量線性運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【解答】解：OP+NQ+MN-MF=0P+PM+MN+NQ=0Q.

故答案為：0Q.

【知識點】向量加減混合運(yùn)算

三、解答題（共10小題）

26.如圖，在△0AB中，點P為直線AB上的一個動點，且滿足2標(biāo)，Q是0B中點.

3

（I）若0（0,0）,A（1,3）,B（2，0）,且示至，求前的坐標(biāo)和模？

33

（II）若AQ與0P的交點為M,又贏=1而，求實數(shù)t的值.

【分析】（【）根據(jù)題意，而=而-福，代入可求，然后結(jié)合向量模長的坐標(biāo)表示可求，

（II）由方卷旋，然后結(jié)合向量的線性表示可轉(zhuǎn)化為0P=-|-0A-ky0B?再結(jié)合0M=t0P=

,結(jié)合平面向量基本定理可求.

【解答】解.：（I）根據(jù)題意，Q是0B中點，即OQ=LOB，

2

又ON=《OA，且A（L3）,B（］,Q）,

若0（0,0）,A（1,3）,B（區(qū)，0）,且示=」正，

33

可知OQ=（―,0）,ON=<—,1），

33

ANQ=0Q-0N=-1），

且INQl=N/+（_］）2=

（II）因為和［最

O

所以而-示=］（而-而），可以化簡為：而=電24布,

又而i=t*6?=t（額X卷而），

不妨再設(shè)ET叩了，即誣-正=|1（0Q-0A），

所以萬=（1-口）忌+［100?,

12/21

由Q是OB的中點，所以而△■連，

2

即祈=（1-U）示+今而②，

由①②，可得1-U=2L,其，，

323

聯(lián)立得t=3.

4

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算、平面向量的基本定理

27.如圖，己知ZXABC中，D為BC的中點，AE=1EC,AD,BE交于點F,設(shè)菽=,標(biāo)=.

2

（I）用，分別表示向量屈，EB；

（2）若AF=tAE，求實數(shù)t的值.

【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算，即可用，分別表示向量AB，EB;

（2）若赤=t標(biāo),利用標(biāo)，標(biāo)共線，求實數(shù)t的值.

【解答】解：（1）由題意，D為BC的中點，口標(biāo)

3

V/+菽=2元,

，AB=2?，

???EB=AB-AE=2--1=-A+2；

33

（2）VAF=tAE=t,

-FB=AB-AF=-+（2-1）,

VEB=-A+2,祚，標(biāo)共線，

3

,-1_2-t

,——2，

F

t=-.

2

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算、平面向量的基本定理

28.已知平行四邊形OABC中，若P是該平面上任意一點，則滿足而二人而+以五（入，u￡R）.

（I）若P是BC的中點，求N+u的值；

（2）根據(jù)A,B,P三點共線可得出京與屈共線，從而得出至二k"S，進(jìn)而得出

OP=（l-k）OA+kOE.這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得出X+u=l.

【解答】解：⑴若P是BC的中點,則而4麗+羽）=2（而+而-贏）=-^-OA+OB'

乙乙乙

XOP=XOA+[1M

???根據(jù)平面向量基本定理得，■2,

|1=1

*,?入+四斗

（2）證明：VA,B,P三點共線,

；?族和族共線，

???存在實數(shù)k,使而二k'S，

AOP-OA=k（OBJOA），

???OP=（l-k）OA+kOB，

VOP=XOA+HOB.

，根據(jù)平面向量基本定理得，入+u=l-k+k=l.

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

29.如圖所示，在△ABO中，羽上茄，誣小布，AD與BC相交于點U,設(shè)0A=a，OB=b-

42

（1）試用向量，表示而：

（2）過點M作直線EF,分別交線段AC,BD于點E,F.記衩=入Z，OF=|1b求證：京-工為定值.

ALL

14/21

B

【分析】（1）由A,M,I）三點共線，可設(shè)方=血+（1-0）而=卷上見總由B，M,C三點共線，可設(shè)

OM=nOC+(l-n)0B=—a+(l-n)b?

4

1

由平面向量基本定理可得：因為，不共線，所以〈，解得m=>y,nJ'

1-m77

-1-n

（2）由向量表示二點共線得：設(shè)而=卜次+（1，）而=k入；+（i-k）uf，由（i）如k人」，

7

(1-k)=-|-?即(=7k，-^-=7-7k,所以得解

fA人pi

【解答】解：⑴由A,M,D三點共線，可設(shè)而;位而=m；得工，

由B,M,C三點共線，njTaOM=nOC+（l-n）OB=^-a+（l-n）h

4

因為,不共線，

1

m=^n

所以《1-m1解得m=^_,n=y*

亍=l-n

故OM[a

（2）因為E,M,F三點共線,

?OM=kOE+(l-k)OF=kXa+(l-k)|1b

由(l)知k入(1-k)

即十二7k，-^-=7-7k*

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

30.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,NBAD=60°,點E、F分別為AD、DC邊的中點，BE與AF

相交于點0.記AB=,AD=.

（1）用、表示BE，并求IBEI；

（2）若A0=入AF，求實數(shù)人的值.

2

【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算得：就=標(biāo)-標(biāo)=」標(biāo)-標(biāo)=2-二，BE=A/lu.

22V4b

⑵設(shè)菽=入房，而叩諉，由向量的線性運(yùn)算得:在△ABO中有詬=標(biāo)+正，所以XAF

［入哈J2

人h^"

5

=AB+四BE，所以入（4）=+u（▲二），又，不共線，則.入，解得：，

2

M5

得解

【解答】解：（1）BE=AE-AB=AD-AB=-i-Z

22

BEl=#-—；芯+丁=^l-4X2Xy+16=叮;

（2）設(shè)菽=XAF.BO=HBE.

在AABO中有無=屈+而,

所以入AF=AB+NBE，

所以入（v）=+\i（A.-

2

\J￡

,-2

又，不共線，貝叱

X

丁口小

、2

解得：，

|1』

M5

故實數(shù)入的值為2.

5

【知識點】向最數(shù)乘和線性運(yùn)算

31.（1）已知A、B、P三點共線，0為任意一點，若而=山贏+贏.求證m+n=l；

16/21

（2）如圖，已知△OAB中，點B關(guān)于點A的

對稱點為C,D在線段0B上，且0D=2DB,

DC和0A相交于點E.設(shè)m=,0B=.

若祈=入不，求實數(shù)人的值.

C

【分析】（1）利用三點共線得到數(shù)乘關(guān)系，再結(jié)合向量加減法用水，族表示作，即可得證；

（2）利用三點共線設(shè)而二k五，進(jìn)而用含k的式子表示肩，再結(jié)合而二人不，用含x的式

子表示肩，對比系數(shù)即可得解.

【解答】解：（1）證明：TA、B、P三點共線，

，可設(shè)歷二四靛，

???OP=OA+AP

=OA+kiAB

=0A+I1（OB-OA）

=（1-M）OA+ktOB，

又?；OP=mOA+nOB?

???112叫

,IW=n'

m+n=l；

（2）解：由C、D、E三點共線，

可設(shè)混二k亙，

V0D=2DB,

???瓦4?麗與，

33

又前二2而，

???OC=OB+BC

=OB+2BA

=OB+2（OA-OB）

=2a-E，

ACD=OD-OC

0―?——

=fb-（2a-b）

J

5——

=-fb-2a?

-?-?H——

??CE=kCD=-kb-2ks,

而OE二人OA=入a

ACE=OE-OC

=入a-（2a-b）

=b+（入-2）a?

匡1

???{3，

-2k=入-2

解得人二，

5

故實數(shù)人的值為：9.

5

【知識點】向量數(shù)乘和線性運(yùn)算

32.已知向量上（_3,2），E二（2,l）^c=（3,-l）^t￡R.

（1）求G+tE|的最小值；

（2）若Z-tE與共線，求t的值.

【分析】（1）用t表示|W+tE|，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

（2）利用向量共線的充要條件計算.

【解答】解：（1）??,短（-3,2），記⑵1），

,,a+tb=（2t-3,1+2）

***?a+t^l=7（2t-3）2+（t+2）2=75t2-8t+13(tGR)..........(R分)

18/21

?,?當(dāng)時，Ia+tbI的最小值為1匹............(5分)

55

(2)7a-tb=(-3-2t,2-t>c=(3,-1>a-tE與共線............(7分)

；?(-3-2t)X(-1)=3(2-1),......................(9分)

???t=l......................(1()分)

5

【知識點】兩向顯的和或差的模的最值

33.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)標(biāo)二￡BC=bCA=c，CM=3cCN="2b>

求：(1)2a+b-3c；

(2)滿足a=!nb+nc的實數(shù)m，n；

(3)M,N的坐標(biāo)及向量豕的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)題意，求出向量、、，計算22+石-3《即可；

(2)由向量相等，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出方程組，求出m、n的值：

(3)設(shè)出M(X,,y.),N(X2,根據(jù)向量相等，求出M、N的坐標(biāo)，再求向量誣的坐標(biāo)表

示.

【解答】解：(】)YA(