2026屆上海市徐匯區(qū)上海師大附中高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運(yùn)送到形狀為四邊形區(qū)域的農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)中確定一條界線(xiàn)，使位于界線(xiàn)一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，而另一側(cè)的點(diǎn)沿道路運(yùn)送蔬菜較近，則該界線(xiàn)所在曲線(xiàn)為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)2．若等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.3．已知，，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足，則l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C D.4．“冰雹猜想”數(shù)列滿(mǎn)足：，，若，則（）A.4 B.3C.2 D.15．“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件6．若，則（）A.1 B.2C.3 D.47．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.20708．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程為A. B.C. D.9．如果雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.10．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（）A.14 B.28C.36 D.4811．春秋時(shí)期孔子及其弟子所著的《論語(yǔ)·顏淵》中有句話(huà)：“非禮勿視，非禮勿聽(tīng)，非禮勿言，非禮勿動(dòng).”意思是：不符合禮的不看，不符合禮的不聽(tīng)，不符合禮的不說(shuō)，不符合禮的不做.“非禮勿聽(tīng)”可以理解為：如果不合禮，那么就不聽(tīng).從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，“合禮”是“聽(tīng)”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿(mǎn)足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則_____14．已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則______15．已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________16．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是___________.①直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直；②直線(xiàn)與直線(xiàn)相交；③直線(xiàn)與直線(xiàn)平行；④直線(xiàn)與直線(xiàn)異面；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）有一種魚(yú)的身體吸收汞，當(dāng)這種魚(yú)身體中的汞含量超過(guò)其體重的1.00ppm（即百萬(wàn)分之一）時(shí)，人食用它，就會(huì)對(duì)人體產(chǎn)生危害．現(xiàn)從一批該魚(yú)中隨機(jī)選出30條魚(yú)，檢驗(yàn)魚(yú)體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并估計(jì)這批魚(yú)該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個(gè)水池，兩水池之間有8個(gè)完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時(shí)通過(guò)2條魚(yú)①將其中汞的含量最低的2條魚(yú)分別放入A水池和B水池中，若這2條魚(yú)的游動(dòng)相互獨(dú)立，均有的概率進(jìn)入另一水池且不再游回，求這兩條魚(yú)最終在同一水池的概率；②將其中汞的含量最低的2條魚(yú)都先放入A水池中，若這2條魚(yú)均會(huì)獨(dú)立地且等可能地從其中任意一個(gè)小孔由A水池進(jìn)入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚(yú)由不同小孔進(jìn)入B水池的概率18．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線(xiàn)的斜率19．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線(xiàn)l的方程20．（12分）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，再?gòu)臈l件①：；②：；③：這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，解答下列問(wèn)題：（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：22．（10分）如圖，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)是界限上的一點(diǎn)，則，即，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義即可得出答案.【詳解】解：設(shè)是界限上的一點(diǎn)，則，所以，即，在中，，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)，即該界線(xiàn)所在曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn).故選：C.2、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，所以，解得，故選：D3、A【解析】根據(jù)題意，求得直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合只需求得線(xiàn)段與直線(xiàn)有交點(diǎn)時(shí)的斜率，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)直線(xiàn)，變形為，故其恒過(guò)定點(diǎn)，若直線(xiàn)存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足，只需直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)即可.數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)傾斜角；當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，此時(shí)，對(duì)應(yīng)傾斜角為.根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，要滿(mǎn)足題意，直線(xiàn)的傾斜角的范圍為：.故選：A.4、A【解析】根據(jù)題意分別假設(shè)為奇數(shù)、偶數(shù)的情況，求出對(duì)應(yīng)的即可.【詳解】由題意知，因?yàn)?，若為奇?shù)時(shí)，，與為奇數(shù)矛盾，不符合題意；若為偶數(shù)時(shí)，，可得，符合題意.不符合故選：A5、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，則，解得或，則“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的充分非必要條件.故選：A.6、C【解析】由二項(xiàng)分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?故選：C.7、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足；所以，.所以.故選：A8、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線(xiàn)與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線(xiàn)垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線(xiàn)的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，然后將點(diǎn)代入，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，所以設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，將代入得：，即雙曲線(xiàn)方程為.故選：D.10、D【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的計(jì)算以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較易題.11、B【解析】如果不合禮，那么就不聽(tīng).轉(zhuǎn)化為它的逆否命題.即可判斷出答案.【詳解】如果不合禮，那么就不聽(tīng)的逆否命題為：如果聽(tīng)，那么就合理.故“合禮”是“聽(tīng)”的必要條件.故選：B.12、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)椋裕?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)相等，求出，的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè)，則，則由得，即，則，得，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵14、7【解析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支，如下圖所示：由雙曲線(xiàn)定義有，又，所以.故答案為：15、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：2516、①④【解析】畫(huà)出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯(cuò)誤，根據(jù)，與相交得到③錯(cuò)誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，則四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，不成立，②錯(cuò)誤；，與相交，故直線(xiàn)與直線(xiàn)不平行，③錯(cuò)誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點(diǎn)共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，④正確；故答案為：①④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）眾數(shù)為0.82，8％分位數(shù)約為1.34（2）①；②【解析】（1）根據(jù)題中表格數(shù)據(jù)即可求得答案；（2）①兩條魚(yú)有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根據(jù)互斥事件的概率結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算求得答案；②先求出這兩條魚(yú)由同一個(gè)小孔進(jìn)入B水池的概率，然后根據(jù)對(duì)立事件的概率計(jì)算方法，求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，估計(jì)這批魚(yú)該項(xiàng)數(shù)據(jù)的80％分位數(shù)約為【小問(wèn)2詳解】①記“兩魚(yú)最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚(yú)最終均在B水池”為事件B，則，∵事件A與事件B互斥，∴兩條魚(yú)最終在同一水池的概率為②記“兩魚(yú)同時(shí)從第一個(gè)小孔通過(guò)”為事件，“兩魚(yú)同時(shí)從第二個(gè)小孔通過(guò)”為事件，…依次類(lèi)推，而兩魚(yú)的游動(dòng)獨(dú)立，∴，記“兩條魚(yú)由不同小孔進(jìn)入B水池”為事件C，則C與對(duì)立，又由事件，事件，…，事件互斥，∴，即18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得直線(xiàn)的斜率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問(wèn)2詳解】由題意，設(shè)．設(shè)直線(xiàn)的斜率為，又，則直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線(xiàn)的斜率．在中，令，得，所以直線(xiàn)的斜率為由，得，化簡(jiǎn)得，從而所以，直線(xiàn)的斜率為或19、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，進(jìn)而求得離心率；（2）設(shè)直線(xiàn)，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，從而求得直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，解得，，由弦長(zhǎng)公式知，，解得，故直線(xiàn)或20、（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓與直線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】（1）解：由題意解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由題意知直線(xiàn)的斜率不為0，故設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程得消去，整理得，∴，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)：，所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題21、（1）an＝n，bn＝（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，列出方程組求解即可得答案；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消求和法求出前項(xiàng)和為，即可證明【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，q＞0，選①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；選③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝；小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，，，所以22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，在平面