2025年復(fù)變函數(shù)專項(xiàng)技能考核試卷考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2025年復(fù)變函數(shù)專項(xiàng)技能考核試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生、相關(guān)專業(yè)從業(yè)人員題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-簡答題（總共3題，每題4分）總分12分-應(yīng)用題（總共2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級(jí)數(shù)展開式的收斂域一定是圓環(huán)。3.留數(shù)定理適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算。4.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。5.所有解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。6.若函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)有限。7.瑞利定理表明，若函數(shù)f(z)在|z|>R上解析且在|z|→∞時(shí)f(z)→0，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)在|z|<R內(nèi)收斂。8.若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=0。9.所有解析函數(shù)都是全純函數(shù)。10.若函數(shù)f(z)在z?處有本性奇點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開式包含無限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z^2/(z-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.2B.-2C.1D.-12.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.0C.1/6D.1/33.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z=2i處的留數(shù)是（）。A.-i/4B.i/4C.-i/2D.i/24.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析且f(0)=1，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開式為（）。A.∑_{n=0}^∞z^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^nC.∑_{n=0}^∞z^(2n)D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n)5.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的洛朗展開式是（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n+1)/(2n+1)!B.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n)/(2n)!C.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n+1)/(2n)!D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n+1)/(2n+1)!6.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0和z=1處的極點(diǎn)分別是（）。A.一級(jí)極點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)B.二級(jí)極點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)C.一級(jí)極點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)D.二級(jí)極點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn)7.若函數(shù)f(z)在|z|>1內(nèi)解析且f(∞)=0，則f(z)的洛朗展開式是（）。A.∑_{n=0}^∞z^(-n)B.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(-n)C.∑_{n=0}^∞z^(-2n)D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(-2n)8.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在|z|<1內(nèi)的Laurent展開式中，z^(-2)項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-19.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析且f(0)=1，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開式中z^2項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/210.函數(shù)f(z)=e^z在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^4項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1/24B.1/4C.1/6D.1/12三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z^2+1B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=1/(z-1)D.f(z)=log(z)2.下列函數(shù)中，在|z|<1內(nèi)解析的有（）。A.f(z)=∑_{n=0}^∞z^nB.f(z)=∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n)C.f(z)=∑_{n=0}^∞z^(n+1)D.f(z)=∑_{n=0}^∞z^(-n)3.下列關(guān)于留數(shù)的說法正確的有（）。A.留數(shù)定理適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算。B.若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=0。C.函數(shù)f(z)在z?處的留數(shù)等于它在z?處的洛朗展開式中z^(-1)項(xiàng)的系數(shù)。D.留數(shù)只能用于計(jì)算實(shí)軸上的積分。4.下列關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)的說法正確的有（）。A.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂且一致收斂。B.泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點(diǎn)決定。C.所有解析函數(shù)都可以展開為泰勒級(jí)數(shù)。D.泰勒級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓。5.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的說法正確的有（）。A.洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣。B.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓環(huán)。C.洛朗級(jí)數(shù)可以包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。D.洛朗級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)。6.下列函數(shù)中，在z=1處有本性奇點(diǎn)的是（）。A.f(z)=e^(1/z)B.f(z)=sin(1/z)C.f(z)=log(z-1)D.f(z)=1/(z-1)^27.下列關(guān)于柯西-黎曼方程的說法正確的有（）。A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。B.柯西-黎曼方程是函數(shù)解析的必要條件。C.柯西-黎曼方程是函數(shù)解析的充分條件。D.柯西-黎曼方程與導(dǎo)數(shù)定義無關(guān)。8.下列關(guān)于積分計(jì)算的說法正確的有（）。A.若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=0。B.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分。C.柯西積分公式適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算。D.柯西積分定理只適用于單連通區(qū)域。9.下列關(guān)于解析函數(shù)的性質(zhì)正確的有（）。A.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。B.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂且一致收斂。D.解析函數(shù)的積分在任何閉合曲線上都為零。10.下列關(guān)于奇點(diǎn)的說法正確的有（）。A.函數(shù)f(z)在z?處的奇點(diǎn)可以是可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。B.若函數(shù)f(z)在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)有限，則z?是f(z)的可去奇點(diǎn)。C.若函數(shù)f(z)在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)無限，則z?是f(z)的本性奇點(diǎn)。D.函數(shù)f(z)在z?處的留數(shù)等于它在z?處的洛朗展開式中z^(-1)項(xiàng)的系數(shù)。四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述解析函數(shù)與全純函數(shù)的關(guān)系。2.簡述柯西積分定理的條件和結(jié)論。3.簡述留數(shù)定理的應(yīng)用場景。五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算積分∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)^2dz，其中C是圓周|z|=2。2.求函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在|z|<1內(nèi)的Laurent展開式，并指出其收斂域。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.×洛朗級(jí)數(shù)展開式的收斂域可能是圓環(huán)、點(diǎn)或整個(gè)復(fù)平面。3.×留數(shù)定理適用于單連通區(qū)域內(nèi)的積分計(jì)算。4.√解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。5.√解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。6.√若函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)有限。7.√瑞利定理表明，若函數(shù)f(z)在|z|>R上解析且在|z|→∞時(shí)f(z)→0，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)在|z|<R內(nèi)收斂。8.√柯西積分定理表明，若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=0。9.√所有解析函數(shù)都是全純函數(shù)。10.√若函數(shù)f(z)在z?處有本性奇點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開式包含無限多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)。二、單選題1.B.-2解析：f(z)=z^2/(z-1)在z=1處的留數(shù)為lim_{z→1}(z-1)f(z)=lim_{z→1}z^2=-2。2.C.1/6解析：e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞z^n/n!，z^3項(xiàng)的系數(shù)為1/6。3.A.-i/4解析：f(z)=1/(z^2+1)在z=2i處的留數(shù)為1/[(2i-1)i]=1/(2i^2+2i)=1/(-2+2i)=-i/4。4.A.∑_{n=0}^∞z^n解析：f(z)在|z|<1內(nèi)解析且f(0)=1，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開式為∑_{n=0}^∞z^n。5.D.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n+1)/(2n+1)!解析：sin(z)/z在z=0處的洛朗展開式為∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n+1)/(2n+1)!。6.A.一級(jí)極點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)解析：f(z)=1/(z(z-1))在z=0和z=1處各有一級(jí)極點(diǎn)。7.A.∑_{n=0}^∞z^(-n)解析：f(z)在|z|>1內(nèi)解析且f(∞)=0，則f(z)的洛朗展開式為∑_{n=0}^∞z^(-n)。8.B.-1/2解析：f(z)=z/(z^2+1)在|z|<1內(nèi)的Laurent展開式為∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n+1)，z^(-2)項(xiàng)的系數(shù)為-1/2。9.C.1/2解析：f(z)在|z|<1內(nèi)解析且f(0)=1，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開式中z^2項(xiàng)的系數(shù)為1/2。10.A.1/24解析：e^z在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z^4項(xiàng)的系數(shù)為1/24。三、多選題1.AB解析：f(z)=z^2+1在z=0處解析；f(z)=sin(z)/z在z=0處解析（可去奇點(diǎn)）；f(z)=1/(z-1)在z=0處解析；f(z)=log(z)在z=0處不解析。2.AB解析：f(z)=∑_{n=0}^∞z^n在|z|<1內(nèi)解析；f(z)=∑_{n=0}^∞(-1)^nz^(2n)在|z|<1內(nèi)解析；f(z)=∑_{n=0}^∞z^(n+1)在|z|<1內(nèi)解析；f(z)=∑_{n=0}^∞z^(-n)在|z|>1內(nèi)解析。3.AC解析：留數(shù)定理適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算；柯西積分定理表明，若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=0；函數(shù)f(z)在z?處的留數(shù)等于它在z?處的洛朗展開式中z^(-1)項(xiàng)的系數(shù)；留數(shù)可用于計(jì)算實(shí)軸上的積分。4.AB解析：解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂且一致收斂；泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點(diǎn)決定；所有解析函數(shù)都可以展開為泰勒級(jí)數(shù)；泰勒級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓。5.AC解析：洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣；洛朗級(jí)數(shù)的收斂域可能是圓環(huán)、點(diǎn)或整個(gè)復(fù)平面；洛朗級(jí)數(shù)可以包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)；洛朗級(jí)數(shù)適用于解析函數(shù)。6.AB解析：e^(1/z)在z=0處有本性奇點(diǎn)；sin(1/z)在z=0處有本性奇點(diǎn)；log(z-1)在z=1處有本性奇點(diǎn)；1/(z-1)^2在z=1處有二級(jí)極點(diǎn)。7.AB解析：解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程；柯西-黎曼方程是函數(shù)解析的必要條件；柯西-黎曼方程不是函數(shù)解析的充分條件；柯西-黎曼方程與導(dǎo)數(shù)定義無關(guān)。8.AB解析：柯西積分定理表明，若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=0；留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)軸上的積分；柯西積分公式適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算；柯西積分定理適用于單連通區(qū)域。9.ABC解析：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)；解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程；解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂且一致收斂；解析函數(shù)的積分在任何閉合曲線上不為零。10.AD解析：函數(shù)f(z)在z?處的奇點(diǎn)可以是可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)；若函數(shù)f(z)在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)有限，則z?是f(z)的極點(diǎn)；若函數(shù)f(z)在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)無限，則z?是f(z)的本性奇點(diǎn)；函數(shù)f(z)在z?處的留數(shù)等于它在z?處的洛朗展開式