第1頁(yè)/共1頁(yè)2025學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷初三數(shù)學(xué)試卷2026.1（時(shí)間：100分鐘滿(mǎn)分：150分）一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的1.下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中互為相似形的是（）A甲和乙 B.甲和丙 C.甲和丁 D.丙和丁2.在中，已知，那么的余切值為（）A. B. C. D.3.已知，，且是非零向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）A. B. C. D.4.已知點(diǎn)在同一個(gè)函數(shù)的圖像上，這個(gè)函數(shù)圖像可能是（）A. B.C. D.5.已知拋物線(xiàn)圖象如圖所示，那么下列各式中成立的是（）A. B. C. D.6.如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)I，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)G，與邊交于點(diǎn)H．則下列結(jié)論不一定成立的是（）A B.C. D.二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）7.如果，那么的值為_(kāi)_____．8.______．9.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)之比為1：4，那么它們的周長(zhǎng)之比是____________10.將拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式是_______．11.已知是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，那么______（填“”、“”或“”）．12.如圖，線(xiàn)段與相交于點(diǎn)O，已知，已知，當(dāng)_________時(shí)，．13.如圖，中，，，，為斜邊上的中線(xiàn)，則的值為_(kāi)_____．14.如圖，顧客站在某商場(chǎng)內(nèi)的自動(dòng)扶梯上從一樓移動(dòng)15.6米到二樓，已知商場(chǎng)第一層樓的高度大約為6米，那么此自動(dòng)扶梯斜坡的坡比是_______．15.如圖，小明推鉛球，已知鉛球運(yùn)行時(shí)離地面高度（米）關(guān)于水平距離（米）的函數(shù)解析式為，如果小明鉛球出手的高度為米，成績(jī)?yōu)?米，那么可以推斷鉛球在運(yùn)行中的高度最高大約為_(kāi)_______米．16.某公園有一秋千，如圖所示，將秋千從與豎直方向夾角為的位置處釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為的地方，在某次秋千釋放的過(guò)程中，已知，且兩側(cè)位置的高度差為米，根據(jù)信息可求出秋千的長(zhǎng)度為_(kāi)______米．17.我們將寬和長(zhǎng)之比為（約為）的矩形稱(chēng)為“黃金矩形”，它可以通過(guò)折紙獲得．如圖1所示，將長(zhǎng)方形紙片第一次沿折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，展開(kāi)后再將紙片沿對(duì)折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合；如圖2所示，展開(kāi)后連接，再將紙片第三次沿折疊，使得落在長(zhǎng)方形紙片的邊上且點(diǎn)落在點(diǎn)處，再次展開(kāi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)陂喿x理解的基礎(chǔ)上寫(xiě)出圖中的“黃金矩形”：_________．18.如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)分別與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，邊分別與原三角形底邊交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)________．三、解答題（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）19.如圖，中，分別是邊上的點(diǎn)，已知，且四邊形是平行四邊形．設(shè)，．（1）用向量分別表示下列向量：________________；___________________；_______________；（2）連接交于點(diǎn)，在圖中求作分別在方向上的分向量（不要求寫(xiě)作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）20.已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示．x…012…y…0m44.542.50…（1）求m的值和二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)的圖像上下或左右平移后得到新的拋物線(xiàn)，如果新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出三種平移的方式；（3）選擇（2）中一種平移方式說(shuō)明你是如何獲得解題思路的．21.如圖，在梯形中，，，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)．已知，，．（1）求與的面積之比；（2）求的正弦值．22.某餐廳在門(mén)外走廊安裝了遮陽(yáng)棚，通過(guò)實(shí)地測(cè)得相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了側(cè)面示意圖（如圖1），遮陽(yáng)棚長(zhǎng)為，其與墻面夾角為，靠墻端離地面高為．（1）求出遮陽(yáng)棚前端到墻面的距離；（2）到了旺季客流激增，走廊也要擺放餐桌加大供應(yīng)量．為了加強(qiáng)遮陽(yáng)效果，要在遮陽(yáng)棚前端加裝一塊擋板（豎直方向），示意圖如圖2所示，已知旺季當(dāng)?shù)卣绲奶?yáng)高度角（太陽(yáng)光線(xiàn)與地面夾角）為，為了走廊上用餐的顧客不受陽(yáng)光照射，走廊的遮陽(yáng)寬度至少要．根據(jù)以上信息，請(qǐng)你計(jì)算擋板至少要多長(zhǎng)才能確保遮陽(yáng)效果．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）23.如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，且．（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．若，求證：．24.如圖，拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線(xiàn)向上平移，設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，射線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)．①如果恰好平分，求平移之后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式；②如果與相似，求平移的距離．25.如圖，在中，，點(diǎn)在邊上且，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)；為腰在其右側(cè)作等腰直角三角形，射線(xiàn)與邊交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)落在內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，求的取值范圍；（3）連接，如果是直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．2025學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷初三數(shù)學(xué)試卷2026.1（時(shí)間：100分鐘滿(mǎn)分：150分）一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿(mǎn)分24分）下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的1.下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中互為相似形的是（）A.甲和乙 B.甲和丙 C.甲和丁 D.丙和丁【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似圖形，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的圖形是相似圖形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，只有甲和丙中的對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，即，，，它們的形狀相同，大小不同，是相似形，故選：B．2.在中，已知，那么的余切值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，利用勾股定理求，再根據(jù)余切定義求的余切值即可．【詳解】解：如圖，，，故選：C．3.已知，，且是非零向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了平行向量的定義，向量的模長(zhǎng)，向量的線(xiàn)性運(yùn)算，是兩個(gè)非零向量，若滿(mǎn)足，那么這兩個(gè)向量平行，且，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵，且是非零向量，∴，原說(shuō)法正確，不符合題意；B、∵，，且是非零向量，∴，，∴，原說(shuō)法正確，不符合題意；C、∵，，∴，∴，原說(shuō)法正確，不符合題意；D、∵，，∴，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．4.已知點(diǎn)在同一個(gè)函數(shù)的圖像上，這個(gè)函數(shù)圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)點(diǎn)得到點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，排除A，C選項(xiàng)；根據(jù)點(diǎn)得到當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在同一個(gè)函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴排除A，C選項(xiàng)；∵點(diǎn)在同一個(gè)函數(shù)的圖像上，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且∴當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，排除D選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)符合題意．故選：B．5.已知拋物線(xiàn)的圖象如圖所示，那么下列各式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，由圖象得，當(dāng)時(shí)，進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：如圖可知：，，A、B、C都錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，D正確；故選：D．6.如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)I，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)G，與邊交于點(diǎn)H．則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)并根據(jù)已知條件逐一分析各選項(xiàng)的三角形是否相似即可．【詳解】解：在矩形中，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵∴，故D項(xiàng)成立，∴，∵，∴，∴，故C項(xiàng)成立，∵，，∴，故A項(xiàng)成立，∴不一定成立的是，故選：B．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿(mǎn)分48分）7.如果，那么的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，可設(shè)，，代入所求表達(dá)式中進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，，∴，故答案為：．8.______．【答案】【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．9.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)之比為1：4，那么它們的周長(zhǎng)之比是____________【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)之比為1：4，

∴那么它們的周長(zhǎng)之比是1：4．故答案為：1：4．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比、周長(zhǎng)的比等于相似比．10.將拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式是_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：將拋物線(xiàn)向右平移3個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式是，故答案為：．11.已知是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，那么______（填“”、“”或“”）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，根據(jù)解析式可得開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，求出兩個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離，比較即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)解析式為，，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且，∴，故答案為：．12.如圖，線(xiàn)段與相交于點(diǎn)O，已知，已知，當(dāng)_________時(shí)，．【答案】【解析】【詳解】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知條件可推斷出，證得，利用相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證得，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得的值，最終求得結(jié)果．解：當(dāng)，時(shí)，∴，∴，∴，∴，解得，∴，故答案為：6．13.如圖，中，，，，為斜邊上的中線(xiàn)，則的值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線(xiàn)定理，等腰三角形的性質(zhì)及余弦的定義，根據(jù)已知條件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜邊中線(xiàn)定理可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴，又∵為斜邊上的中線(xiàn)，∴，∴，∴，故答案為：．14.如圖，顧客站在某商場(chǎng)內(nèi)的自動(dòng)扶梯上從一樓移動(dòng)15.6米到二樓，已知商場(chǎng)第一層樓的高度大約為6米，那么此自動(dòng)扶梯斜坡的坡比是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查勾股定理和坡比計(jì)算，正確掌握勾股定理和坡比的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理，計(jì)算出水平距離的長(zhǎng)，再計(jì)算坡比即可求解．【詳解】解：如圖，在中，米，米，則（米），所以坡比．故答案為：．15.如圖，小明推鉛球，已知鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度（米）關(guān)于水平距離（米）的函數(shù)解析式為，如果小明鉛球出手的高度為米，成績(jī)?yōu)?米，那么可以推斷鉛球在運(yùn)行中的高度最高大約為_(kāi)_______米．【答案】2【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，投球問(wèn)題(實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù))，的最值等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用來(lái)求解．先根據(jù)題意得出函數(shù)過(guò)，，從而可求得待定系數(shù)，求得函數(shù)表達(dá)式，代入求得函數(shù)值即可．【詳解】解：∵小明鉛球出手的高度為米，成績(jī)?yōu)?米，∴過(guò)，，∴，∴，∴鉛球運(yùn)行時(shí)離地面高度（米）關(guān)于水平距離（米）的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為，∴鉛球在運(yùn)行中的高度最高大約為2米，故答案為：2．16.某公園有一秋千，如圖所示，將秋千從與豎直方向夾角為的位置處釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為的地方，在某次秋千釋放的過(guò)程中，已知，且兩側(cè)位置的高度差為米，根據(jù)信息可求出秋千的長(zhǎng)度為_(kāi)______米．【答案】【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的計(jì)算是關(guān)鍵．根據(jù)題意，，，由，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：由題知：，在中，，∴設(shè)，則，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，，故答案為：2．17.我們將寬和長(zhǎng)之比為（約為）的矩形稱(chēng)為“黃金矩形”，它可以通過(guò)折紙獲得．如圖1所示，將長(zhǎng)方形紙片第一次沿折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，展開(kāi)后再將紙片沿對(duì)折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合；如圖2所示，展開(kāi)后連接，再將紙片第三次沿折疊，使得落在長(zhǎng)方形紙片的邊上且點(diǎn)落在點(diǎn)處，再次展開(kāi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)陂喿x理解的基礎(chǔ)上寫(xiě)出圖中的“黃金矩形”：_________．【答案】矩形，矩形【解析】【分析】由折疊可得四邊形為正方形，，設(shè)，則，由勾股定理可得，第三次折疊可得，從而，進(jìn)而可得，故可得答案．【詳解】解：由第一次沿折疊可知四邊形為正方形，則，再將紙片沿對(duì)折，則可知，設(shè)，則，連接，則，再將紙片第三次沿折疊，落在長(zhǎng)方形紙片的邊上且點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，即圖中的“黃金矩形”為矩形，矩形．故答案為：矩形，矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，黃金分割，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．18.如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)分別與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，邊分別與原三角形底邊交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】或【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先解求出，由旋轉(zhuǎn)得，，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，由，求出，則；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，可證明，再由，可得，，繼而得到，最后由列式計(jì)算求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，，∵旋轉(zhuǎn)，∴，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；②當(dāng)時(shí)；∵，，∴，，∵∴，設(shè)，則∴，∴∵∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∵∴，∴解得：或（舍）③當(dāng)時(shí)，∵，∴，此時(shí)不成立，綜上：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度大，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)求解．三、解答題（本大題共7題，滿(mǎn)分78分）19.如圖，中，分別是邊上的點(diǎn)，已知，且四邊形是平行四邊形．設(shè)，．（1）用向量分別表示下列向量：________________；___________________；_______________；（2）連接交于點(diǎn)，在圖中求作分別在方向上的分向量（不要求寫(xiě)作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）【答案】（1），，（2）見(jiàn)詳解【解析】【分析】本題考查線(xiàn)性向量的計(jì)算和平行四邊形的性質(zhì)，正確掌握向量的基本運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和向量的和差關(guān)系即可求解；（2）利用平行四邊形法則分解向量即可．【小問(wèn)1詳解】解：，，，，，四邊形是平行四邊形，；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示,，即為在方向上的分向量．20.已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示．x…012…y…0m44.542.50…（1）求m的值和二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)的圖像上下或左右平移后得到新的拋物線(xiàn)，如果新拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出三種平移的方式；（3）選擇（2）中一種平移方式說(shuō)明你是如何獲得解題思路．【答案】（1），（2）向下平移4個(gè)單位；向右移1個(gè)單位，下移個(gè)單位；向左移2個(gè)單位（3）見(jiàn)詳解【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的平移問(wèn)題．（1）利用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，和的y值相等，得對(duì)稱(chēng)軸，和關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，故m等于時(shí)的y值，再用交點(diǎn)式設(shè)解析式，代入已知點(diǎn)求系數(shù)a，展開(kāi)得一般式；（2）上下平移改變常數(shù)項(xiàng)，左右平移改變頂點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此得出二次函數(shù)的平移過(guò)程；（3）選擇上下平移方式，說(shuō)明平移對(duì)解析式的影響，再將原拋物線(xiàn)頂點(diǎn)式展開(kāi)得一般式，由上下平移改變常數(shù)項(xiàng)即可得出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】解：由表可知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴與時(shí)的y值相等，∴，設(shè)，將代入，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：向下平移4個(gè)單位，；向右移1個(gè)單位，再向下移個(gè)單位，；向左移2個(gè)單位，．【小問(wèn)3詳解】解：向下平移4個(gè)單位：，∵拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)常數(shù)項(xiàng)為0，∴向下平移4個(gè)單位即可過(guò)．21.如圖，在梯形中，，，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)．已知，，．（1）求與的面積之比；（2）求的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證明四邊形是矩形，從而可得，，再利用勾股定理求得，從而可求得，再求得，然后證明，從而可求得與的面積之比；（2）先得出，再求得，，從而可求得，再求得即可．【小問(wèn)1詳解】解：作于點(diǎn)E，則，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴與的面積之比為；【小問(wèn)2詳解】解：作于點(diǎn)L，則，∴，，又由（1）得，∴，∴，∴，∴的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)，用勾股定理解三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)求解，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用來(lái)求解．22.某餐廳在門(mén)外走廊安裝了遮陽(yáng)棚，通過(guò)實(shí)地測(cè)得相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫(huà)出了側(cè)面示意圖（如圖1），遮陽(yáng)棚長(zhǎng)為，其與墻面的夾角為，靠墻端離地面高為．（1）求出遮陽(yáng)棚前端到墻面的距離；（2）到了旺季客流激增，走廊也要擺放餐桌加大供應(yīng)量．為了加強(qiáng)遮陽(yáng)效果，要在遮陽(yáng)棚前端加裝一塊擋板（豎直方向），示意圖如圖2所示，已知旺季當(dāng)?shù)卣绲奶?yáng)高度角（太陽(yáng)光線(xiàn)與地面夾角）為，為了走廊上用餐的顧客不受陽(yáng)光照射，走廊的遮陽(yáng)寬度至少要．根據(jù)以上信息，請(qǐng)你計(jì)算擋板至少要多長(zhǎng)才能確保遮陽(yáng)效果．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）米（2）米【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，先利用余弦求得，再利用勾股定理求得即可；（2）先證明四邊形是矩形，從而可得，進(jìn)而可求得，根據(jù)走廊的遮陽(yáng)寬度至少要，可求得，再利用正切求得，從而可求得．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，∵，，，∴，∴，∴，∴遮陽(yáng)棚前端到墻面的距離為米；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，則，∴，又，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，又，由（1）得，∴，又走廊的遮陽(yáng)寬度至少要，∴，又，∴，∴，∴，∴擋板至少要米長(zhǎng)才能確保遮陽(yáng)效果．【點(diǎn)睛】本題考查了用勾股定理解三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用來(lái)求解．23.如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，且．（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)交邊于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．若，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）可證明，則可證明，得到，，可證明，則可證明；（2）證明，則可證明，推出，證明，得到，則，即可證明．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，，∴，∵，即，∴，∴，，∵，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，由（1）知∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴∴．24.如圖，拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線(xiàn)向上平移，設(shè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，射線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)．①如果恰好平分，求平移之后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式；②如果與相似，求平移的距離．【答案】（1），頂點(diǎn)（2）①；②或5【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)，求出，進(jìn)而再求頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①由題易得軸，，證，可得，即可得解；②設(shè)拋物線(xiàn)向上平移了個(gè)單位，則，先求出，直線(xiàn)表達(dá)式，直線(xiàn)表達(dá)式，聯(lián)立求出點(diǎn)，則，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，然后分類(lèi)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)得，，解得，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，∴頂點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】解：①對(duì)于拋物線(xiàn)，令，得，，∵，則軸，且，過(guò)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，，，，由題可知點(diǎn)向上平移到點(diǎn)，則軸，即，，平分，，在和中，，，，∴點(diǎn)向上平移4個(gè)單位到點(diǎn)，即拋物線(xiàn)向上平移4個(gè)單位，∴平移之后的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；②解：設(shè)拋物線(xiàn)向上平移了個(gè)單位，∴，令，得或6，∴，設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，代入可得，解得：，故直線(xiàn)的表達(dá)式為，設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，代入可得，解得：，故直線(xiàn)的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得