圖形的相似與位似一、選擇題1．（東莊3分）圖在t△BC，∠AB=9°CDAB圖形的相似與位似一、選擇題1．（東莊3分）圖在t△BC，∠AB=9°CDAB垂為DAF分CA，交CD點(diǎn)E交B點(diǎn)若AC3，B=，則E長為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠AF+∠CF=90°，∠AD+∠AE=90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得∠CF=CF，得出C=F，利相三角的定性得答案．【解】：點(diǎn)F作⊥AB于點(diǎn)，∵∠AB=9°CDAB，∴∠CA=9°，∴∠CF+CFA90，AD+∠ED=0，∵AF平∠CA，∴∠CF=FA，∴∠CA=AED∠CF，∴CE=F，∵AF平∠CA，ACF∠AGF90，∴FC=G，∵∠B∠，∠GB∠AC90°，∴△BG△BA，∴=，∵AC=，A=5∠AB=9°，∴BC=，∴=，∵FC=G，∴=，解得FC=，即CE的為．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形性即CE的為．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定性等識關(guān)是推∠CF=CF．2．（東州?3分在面角標(biāo)段B個(gè)點(diǎn)坐分為（8（0若以點(diǎn)O為似心在第象內(nèi)段AB短為來的后到段則點(diǎn)A的點(diǎn)C為（）A（，1） B（，3） C（，4） D（，5）【分】用似形性質(zhì)結(jié)兩形位比進(jìn)出C坐．【解】：以點(diǎn)O為位中，第象內(nèi)將段B小原的后得段C，∴點(diǎn)C橫標(biāo)縱標(biāo)都為A點(diǎn)橫標(biāo)縱坐的半，又∵（68∴點(diǎn)C坐為3，故選C．【點(diǎn)】題要查位似形性，用圖形位比出應(yīng)橫縱標(biāo)系解關(guān)．3（江揚(yáng)州?3）如，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的側(cè)等腰t△ABC和等腰Rt△DED與BE、E別于點(diǎn)，對于列論：①△BE△CA；MP?=MA?M；2CB=CPCM其中確是（）A．②③B．①C．②D．【分（）腰RABC等腰RtADE三份數(shù)系證；（2通等式推，證△PM△ED（3）CB2化為C2明△AP△MC（3）CB2化為C2明△AP△MC，題證．【解】：已：A=AB，A=AE∴∵∠BC=EAD∴∠BE=CAD∴△BE△CAD所以正確∵△BE△CAD∴∠BA=CDA∵∠PE=AMD∴△PE△AMD∴∴MP?D=M?ME所以正確∵∠BA=CDA∠PME∠AD∴P、、、A四共圓∴∠AD=EAD90°∵∠CE=10﹣∠AC∠EAD90°∴△CP△CMA∴AC2CP?M∵AC=AB∴2CB=CPCM所以正確故選A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷．在等積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相似三形行明進(jìn)得到案．4（208·山東臨沂·3分）如圖．利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿E高.2m，測得AB=1.m．C=1.4．筑物D高（）A．9.mB．105mC．124mD．14m【分先明△AB△AC利相三的性得=后用A．9.mB．105mC．124mD．14m【分先明△AB△AC利相三的性得=后用性質(zhì)出即可．【解】：EBCD，∴△AE△AC，∴=，即=，∴CD=0.（）．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊比等性求體的度．（2018山濰坊3在面角標(biāo)中點(diǎn)（mn線段B一點(diǎn)以點(diǎn)O為似心把△AOB放到來兩，點(diǎn)P對點(diǎn)坐為（A（2，2） B（2，2）（2m﹣2n））Cm，n） Dm，n）或﹣m，﹣n）【分】據(jù)似換性質(zhì)算可．【解】點(diǎn)Pm，）是段B一，點(diǎn)O位中把AOB放大原的倍，則點(diǎn)P的應(yīng)的標(biāo)（m×，×2或m﹣2n（﹣即m，2）（﹣m﹣2n故選B．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中，似為，么位圖對點(diǎn)坐的比于k或k．6（南永市4分如圖在△BC中點(diǎn)D邊B的點(diǎn)ADC=ACBAD=BD6邊AC的為（）A．2B．4C．6D．8，即C2=AAB，此可決題；【分】要明AD△AC，得 =【解，即C2=AAB，此可決題；【分】要明AD△AC，得 =【解】：∠A∠∠ADC∠AB，∴△AC△AC，∴=，∴AC2AD?B=×8=6，∵AC0，∴AC=，故選B．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．7（218四宜·3分）圖將ABC沿BC邊上中線D平到AB'C'位，知ABC的面積為，影分角的面為．若AA'1則A'D等（）A．2B．3C．D．【考】Q：移性．【分由S△AB=9S△A′E=4且AD為BC邊中知S△A′E=S△A′EF=，S△ABD=△ABC=，根△D′E）2=DAB，據(jù)求得．【解】：圖，∵S△ABC9、△A′EF=且AD為BC邊中，∴S△A′D=S△A′EF=2S△ABD=SABC=，∵將ABC沿C上線AD平得∴S△A′D=S△A′EF=2S△ABD=SABC=，∵將ABC沿C上線AD平得△A''C，∴A′∥A，∴△D′∽△AB，）2=）2= ，則（，即（解得′D2或A′=﹣舍，故選A．【點(diǎn)評】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判與質(zhì)知點(diǎn)．（2018四自貢4如圖在△BC中點(diǎn)E分是BAC的若△DE面為4△ABC面為（）A．8B．12C．14D．16【分】接用角中位定出D∥BDE=BC，利相三的判與質(zhì)出案．【解】：在ABC中點(diǎn)DE別是ABC的點(diǎn)，∴DEBCDE=BC，∴△AE△AB，∵=，∴=，∵△AE面為，∴△AC面為16，故選D．【點(diǎn)】題要查三角的位以相三角的定性，確得△AE△ABC是關(guān)鍵．9（208臺·）要榨汁她蘋、樂、丁種果且顆數(shù)為97：，榨完果汁果芭丁的數(shù)為64已知柔果汁果芭丁的數(shù)為64已知柔果時(shí)有用柳于榨汁外兩種果使情，列敘何正？（A．使蘋果B．使芭樂）C．用果芭，用的果數(shù)使的樂顆多D．用果芭，用的樂數(shù)使的果顆多【分析】根據(jù)三種水果的顆數(shù)的關(guān)系，設(shè)出三種水果的顆數(shù)，再根據(jù)榨果汁后的顆數(shù)的關(guān)系，求出榨果汁后，果芭的數(shù)進(jìn)而出果芭的量，可出論．【解】：蘋、樂、丁種果且顆數(shù)為：：6，∴設(shè)為9x顆芭樂x顆鉚釘6x顆（x是整數(shù)，∵小榨汁沒使柳丁，∴設(shè)柔完汁，果a，樂b顆，∵小榨果后蘋、芭、丁顆比為63：，∴，，∴a=9，b=x，∴蘋的為9﹣a=﹣9x=，芭樂用為x﹣=7﹣x=x＞，∴她果時(shí)只了樂，故選B．【點(diǎn)評】此題是推理與論證題目，主要考查了根據(jù)比例的關(guān)系，比例的性質(zhì)，求出榨汁后蘋果和芭樂的數(shù)量是本的鍵．10（01·灣分圖，AB、△GH中、E兩分在A、C，F(xiàn)點(diǎn)在DE上，H點(diǎn)在BC，且E∥C，G∥，F(xiàn)HAC若G：H：=4：：5則ADE與GH面比何（）A．21B．32C．52D．94），即可決題；【分】要明AD△FG，得=（【解】：BGGHC=4：：，以設(shè)B【解】：BGGHC=4：：，以設(shè)B4k，G=6，HC5k，∵DEBCFGABFHC，∴四形GFD是行形，形EFC平邊形，∴DF=G=4，E=HC5kE=DF+F=9，F(xiàn)GH∠B∠AD，∠HG∠C∠AE，∴△AE△FG，）2（）2=．∴=（故選D．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解問，于考考題．11（湖荊?3如邊形ABCD為行四形EF為D兩個(gè)等點(diǎn)連接AF交點(diǎn)G則S△FG：△ABG（）A．13B．31C．19D．91【分】用似角的性面比于似的平即解問；【解】：四形CD平四形，∴CD=B，D∥B，∵DE=F=F，∴EFAB=：，∴△EG△BA，）2=，∴=（故選C．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，于考考型．12（湖恩?3）如所，正形CD，G為D中，接G延交C的長線于E點(diǎn)對線D交G于F點(diǎn)已知FG=，線段E長為（）A．6B．8C．10D．12【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出ABCD，進(jìn)而可得A．6B．8C．10D．12【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出ABCD，進(jìn)而可得出△AF△GF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出==2合FG2出A、AG的度由G∥BAB=2G出CG為EAB的中線再用三角形位的質(zhì)出AE長，題解．【解】：四形CD正形，∴AB=D，B∥D，∴∠AF=GD，∠AFDGF，∴△AF△GD，∴==2，∴AF=GF=，∴AG=．∵CGABAB=CG，∴CG為△AB中線，∴AE=AG=2．故選D．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的中位線，利用相似三角形的性質(zhì)出AF的度解關(guān)鍵．13. 201江安3分如圖小方邊長為則列的三陰部分△ABC相似是（）A．B．C．D．【考】似角的定，【分】據(jù)方的質(zhì)求∠AB根A．B．C．D．【考】似角的定，【分】據(jù)方的質(zhì)求∠AB根相角形判定判即．【解】：正形性質(zhì)知∠AB=1045°=35，A、CD形的角不于13°，由勾定得BC=，AC，對應(yīng)形B的長別為1和，∵=，∴圖B中三形陰部分與ABC相，故選B．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定，掌握兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題關(guān)．1201浙臨3△ACEBCDE分與AC于點(diǎn)若D=B=，則D：BC的為（ ）A．B．C．D．【考】似角的定和似角的質(zhì)【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形對邊比解可．【解】：DEBC，∴△AE△AB，∴===．故選A．【點(diǎn)】題查相三角的定相三形的質(zhì)對邊要錯(cuò)．1∴===．故選A．【點(diǎn)】題查相三角的定相三形的質(zhì)對邊要錯(cuò)．1（01慶()·4要制兩形相的角形架其一三的三長別為m6和9m，一三形最邊長為2.m，它最邊為A.B.4C.4.D.【考】似角的質(zhì)【解析】用似角三邊應(yīng)比解即。【解】：所最邊為cm兩角相，∴2.5x,∴.x4.5故選C5 9【點(diǎn)評】此題主要考查相似三角形的性質(zhì)——相似三角形的三邊對應(yīng)成比例，該題屬于中考當(dāng)中的基礎(chǔ)題。1（01東3分△ABC中點(diǎn)E分邊AAC的點(diǎn)則AE與ABC的積比（）A．B．C．D．【分】點(diǎn)DE別邊A、C中，出E△AC中線進(jìn)而出D∥C△AE∽△AB，利相三的性即求△AE△ABC的積比．【解】：點(diǎn)、E別邊A、AC的點(diǎn)，∴DE為△BC中線，∴DEBC，∴△AE△AB，）2=．∴=（故選C．【點(diǎn)】題查相三角的定性以三角中線理利三角的位定找出D∥BC解的鍵．17（018年川內(nèi)市知△BC與△AB1C1相似且似為13則△AC△A1BC1的比為（）A．11B．13C．1（）A．11B．13C．16D．19【考】S：似角的性．【分】用似角面積比于似的方，出可．【解】：知ABC與△AB1C1相，相為13，則△AC△A1BC1的比為：，故選D．【點(diǎn)】題查相三角的質(zhì)熟掌相似角的質(zhì)解題的鍵．二.填空題（208四省充市如圖在ABC中D∥BBF分ABC交E延長點(diǎn)FA=1=2，BC=4則F=．【考】S：似角的判與質(zhì)KJ等三角的定性．【分由D∥BC可△AD∽△BC根相三角的質(zhì)平線性質(zhì)答可．【解】：DEBC，∴∠F∠FC，∵BF平∠AB，∴∠DF=FB，∴∠F∠DF，∴DB=F，∵DEBC，∴△AE△AB，∴，即，解得DE=，∵DF=B=，∴EF=F﹣E=﹣，故答為：【點(diǎn)】題∴△AE△AB，∴，即，解得DE=，∵DF=B=，∴EF=F﹣E=﹣，故答為：【點(diǎn)】題查似角形判和質(zhì)關(guān)是由E∥C得△AD∽△AC．2(2018四省陽)圖，△ABC中AC=，C=4，若ACBC上線BE,AD垂相于點(diǎn)，則AB= _.【答】【考】股理三形中線理相三形的定性質(zhì)【解解】：接D，∵ADBE為角中，∴DEABDE=AB，∴△DE△AO，∴===，設(shè)ODx，E=，∴OA=x，B=2,在R△BOD中，x2+4y2①，在R△AOE中，4x2+y2=②，∴①+②5x2+5y=，∴x2+y=，在R△AOB中，∴AB24x2+y2=（x2在R△AOE中，4x2+y2=②，∴①+②5x2+5y=，∴x2+y=，在R△AOB中，∴AB24x2+y2=（x2y2）4×，即AB=.故答為：.【分】接D，據(jù)角形位性得D∥A，DE=AB從得DO△AO，據(jù)似角的；設(shè)Ox，OEy從可知OA=，OB=y,據(jù)股理得x2+y2=，性質(zhì)得===4x2+y2=，兩相可得+y2=，在t△OB中股股理得B=.（208廣東州3圖9E平四形ABD邊AB的直分線垂為點(diǎn)OE與A的延長交點(diǎn)，接A，BEDODO與AC交點(diǎn)F則列論：①四形CBE是形∠ACD∠BE③AFBE=：3④其中確結(jié)有 （寫有確論序號）【答】②④【考點(diǎn)】三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形判與質(zhì)【解解】：CE是行邊形BCD邊AB垂平線∴A=BO,AOE∠BC=9°,∥AE，A=B，CACB，∴∠OE=OB，∴△AE△BO（AA∴AE=C，∴AE=E=C=C，∴四形CBE是形，故①確.②由四形CBE是，∴AB平∠CA，∴∠C∴AE=E=C=C，∴四形CBE是形，故①確.②由四形CBE是，∴AB平∠CA，∴∠CO=BA，又∵形ABD平邊形，∴BACD，∴∠CO=AC，∴∠AD=BAE.故②確.③∵E直分線B，∴O為AB中，又∵形ABD平邊形，∴BACDAO=AB=CD，∴△AO△CF，∴= ，∴AF:C=13,∵AC=E，∴AF:E=13,故③誤.④∵·C·OC,由知AFAC=:3,∴,∵= ×CD·O=,∴=+==,∴故④確.故答為①④.【分根平四形和直分的得AO=BO∠AE=BOC90BC∥AA=BECA=B根據(jù)ASA△AE△BO，全等角性得E=C，根四相的邊是菱得①確.②由形質(zhì)∠CO=AE，據(jù)行邊的質(zhì)得B∥C，由行的性得CAO∠AD代換∠AD=BA；正確.③根據(jù)行四形和平分線性得BA∥CAO=AB=CD，從而△AF∽△CF，由似三形性質(zhì)得=，代換∠AD=BA；正確.③根據(jù)行四形和平分線性得BA∥CAO=AB=CD，從而△AF∽△CF，由似三形性質(zhì)得=，而出AAC=1:,即AF:E=13,③錯(cuò).④由三角形面積公式得·C·O,從③知F:AC=:3,所以=+==,而出故④確.4（208廣深·3）在RtABC∠C=0，AD平∠CB,BE∠CBAADBE相于點(diǎn)，且AF=4,F=,則C= ．【答】【考】股理相三角的定性質(zhì)【解解】：作G⊥A，接C，∵∠C90，∴∠CB+CBA90，又∵D分∠AB,E∠CBA,∴∠FB+FBA45，∠AFE45，在R△EGF中，∵EF=,∠FE=5，∴EG=G=，又∵A=4,∴AG=,∴AE=，∵AD平∠CA,BE平CBA,∴CF平∠AC,∴∠AF=4°，∵∠AE=ACF45，∵AD平∠CA,BE平CBA,∴CF平∠AC,∴∠AF=4°，∵∠AE=ACF45，AE=∠AF，∴△AF△AF，∴,即,∴AC=.故答為：.【分作E⊥A連接CF根三形角角平線義∠FB+BA=4由角外性質(zhì)得AFE45在REGF根勾定得G=FG=結(jié)已條得AG=3在R△AG根勾股定得E=已得F是角角分的點(diǎn)所以CF分ACBACF=4據(jù)似角形的定性得,從求出C長.5（208四宜·3）如，形ABD中AB=3CB=點(diǎn)E為段AB的點(diǎn)將△BE沿CE折疊點(diǎn)B在形點(diǎn)F，列論確是②③寫所正確論序）①當(dāng)E為段B點(diǎn)AF∥C；②當(dāng)E為段B點(diǎn)AF=；③當(dāng)、、C點(diǎn)線，AE=；④當(dāng)、、C點(diǎn)線，△CF△AE．【考】P：折換折疊題；K：等形的定LB矩的質(zhì)．【分】兩情分求解可決題；【解】：圖1中當(dāng)AEEB∵AE=B=E，∴∠EF=EF，∵∠CF=CE，∠EFEAF+EF，∴∠BC=EA∵AE=B=E，∴∠EF=EF，∵∠CF=CE，∠EFEAF+EF，∴∠BC=EA，∴AFEC故正，作E⊥A，則M=F，在R△ECB中EC==，∵∠AE=B=9°∠E=∠CE，∴△CB△EA，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=AM=，②確，如圖2中當(dāng)、、C線時(shí)設(shè)E=．則EBEF=﹣，AF=﹣，在R△AEF中∵A2=AFEF2，∴x2（﹣2）2（3x），∴x=，∴AE=，③確，如果△CF△AE，∠EAF∠EF=ECB30，顯不合意∴AE=，③確，如果△CF△AE，∠EAF∠EF=ECB30，顯不合意故錯(cuò)誤，故答為②．【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，題關(guān)是活用所知解問，于中填題的軸．6（208山泰·3《章術(shù)是國數(shù)學(xué)重的作在勾股章有樣個(gè)題：“今邑二步各開門出門五有，問出門步見？”用今的說大是如圖DEFG是座長為200步“”古長度位的方小，東門H于D中點(diǎn)門K于D中點(diǎn)出門15步的A有樹木求出門少恰看于A處樹（點(diǎn)D在線AC上？你算KC的長為步．【分】明CD∽△H，用似角的得=，然利比性求出K長．【解】：D=10，D100，H=1，∵AHDK，∴∠CK=A，而∠CD=AH，∴△CK△DA，∴=，即=，∴CK=．答：C長為步．故答為．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相的質(zhì)物的度．7.（東州?5矩形BCDAB=B=點(diǎn)F在BD若AE=∠EAF=4°則F長為．【分】取AB的中點(diǎn)連接M，在AD截取NDF，設(shè)F=D=x，則NF=知條證△AE△FN，利相三形性：對邊比相可出中利勾定即出AF長．【解】取AB的點(diǎn)M連接ME在D取NDDF設(shè)D=DNx，∵四形BCD是形，∴∠D∠BD=B=9°D=BC=，x，再用形性和已x值在角形AF∴NF=x，A=4x，∵AB=，∴AM=M=，∵AE=，AB2，∴BE=，∴ME==，∵∠EF=4°，∴∠ME+NAF45，∵∠ME+AEM45，∴∠MA=NA，∴△AE△FN，∴，∴，解得x=，∴AF==．故答為：．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以∴，∴，解得x=，∴AF==．故答為：．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確添加輔助線構(gòu)造相似三形解的鍵，8東澤?3如OAB與△CD是點(diǎn)O位中的似形相比為∠CD=0°，∠AOB60，點(diǎn)B的標(biāo)是6，則點(diǎn)C標(biāo)是 （，2 ） ．【考】S：似換5：標(biāo)圖性．【分】據(jù)意出D點(diǎn)坐，解角角進(jìn)而出案．【解】：過A作AE⊥O，C⊥O，∵∠OD=9°∠AB=6°，∴∠AO=CDO30，CF=3°，∵△OB△OD以點(diǎn)O為位中的似形相似為：，點(diǎn)B標(biāo)是6，∴D（，0則DO8，故OC4，則FO2，F(xiàn)=C?co304×=2，故點(diǎn)C的標(biāo)（，2故答為（22【點(diǎn)】題要查位似換運(yùn)位圖的性正解角角【點(diǎn)】題要查位似換運(yùn)位圖的性正解角角是解關(guān)．9（四成都3）已知【答】12【考】一一方，比的質(zhì)，且，則值 ．【解解】：設(shè)∵∴6k+k-8=6解：k2∴a=×2=2故答為12則a=k，=5，c=k【分】設(shè)，分用含k的式表出、、c值，根據(jù)，建關(guān)于k的程求出k值就可出a的。10（四涼州3）已△AC△AB′′且△ABCS△A′B′C=1，則B：′′=1：．【分】據(jù)似角的面比于似的方求即．22【解】：△ACA′BC，∴△ABCS△A′′C′=AB：AB′=12∴ABA′′=：【點(diǎn)】題關(guān)是解相三形面比于相比平．．三.解答題(要同一)1.川州?7分）圖△AC方紙中（1請方紙建面直坐系使（3，（62并出B點(diǎn)坐；（2以點(diǎn)O為似，相為2在一限內(nèi)△AC大畫放大的形A′′；（3計(jì)△AB′'積S．【分（）接【分（）接用，C坐得原位進(jìn)而出案；（2利位圖的即可出A'BC'；（3直利（2中形求三形積可．【解】（）圖示，為求直坐系；（21（2如：△'B''所求；（3）△A'B'C×4×816．【點(diǎn)評】此題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定位似圖形的關(guān)鍵；順連上各點(diǎn)得放或小圖形．2.（山棗?8）如，在R△ACB中∠C=9°AC=cmBC=m，以BC直作⊙O交AB于點(diǎn)．（1求段AD的度；（2點(diǎn)E是段AC上一點(diǎn)試：點(diǎn)E在么位時(shí)線ED與O相切請明由．【分（）勾定【分（）勾定易求得AB的；連接D，圓角理知C⊥B，知△CD△AC關(guān)于C、D、B比系式即出AD的．（2當(dāng)D⊙O切切長理知C=E∠EC=∠DC那A和DEC就等的由此可得E=D，即E是C的點(diǎn)在明，連接D證O⊥DE即．【解】（在RACB，AC=cmBC=m，∠CB=0，∴B=5；連接D∵BC為徑，∴∠AC=BDC90；∵∠A∠，∠DC∠AC，∴RtAD∽R△AC；∴，∴；（2當(dāng)點(diǎn)E是AC中時(shí)，D⊙O切；證明接O，∵DE是R△AC中；∴ED=C，∴∠EC=EC；∵OC=D，∴∠OC=OC；∴∠EO=EDC∠OC=CD+∠CD∠AC=9°；∴EDOD，∴ED與⊙O相．【點(diǎn)此綜考圓周定相三的判和角形的線判知識．3（山棗莊10）如，形ACD沿F疊使點(diǎn)D落在BC的點(diǎn)E，點(diǎn)E作ECD交AF于點(diǎn)G連接G．（1求：邊形EFDG是菱；（2探線段EGGFF之的量系（2探線段EGGFF之的量系并明理；（3若A=6EG=2，求E的．【分（）依翻的性和行的質(zhì)明∠DF=DF，而到GD=D，下依折性質(zhì)可明G=G=DFEF；（2連接D，交AF點(diǎn)O．菱的質(zhì)可知F⊥D，OGOF=GF接，證△DF△AD，相似三形性可明F=FO?A，是到GAF、G數(shù)關(guān)；（3過點(diǎn)G作GHDC垂足為．用2的論可得FG4然再ADF中據(jù)股理得AD的長然再明FG△FA，用似角性質(zhì)得GH的，依據(jù)E=A﹣GH求即．【解】（）明∵GEDF，∴∠EF=DF．∵由折性可：GGE，D=E，∠GF∠EG，∴∠DF=DF．∴GD=F．∴DG=E=D=E．∴四形FDG為形．（2）G2=GF?A．理由圖1示接DE交AF于點(diǎn)O．∵四形FDG為形，∴GFDEOG=F=GF．∵∠DF=ADF90，F(xiàn)D=∠FA，∴△DF△AD．即DF2FO?F．∴∵FO=GF，F(xiàn)=E，∴EG2=GF?F．（3如圖2示過點(diǎn)G作G⊥D，足為．∵EG2=GF?F，G=，EG2，∴20=FG（G+6，理：FG2∵FO=GF，F(xiàn)=E，∴EG2=GF?F．（3如圖2示過點(diǎn)G作G⊥D，足為．∵EG2=GF?F，G=，EG2，∴20=FG（G+6，理：FG26F﹣400．解得FG=，F(xiàn)=﹣0去．∵DF=E=2∴AD=，AF10，=4．∵GHDCADDC，∴GHAD．∴△FH△FA．∴，即=．∴GH=．∴BE=D﹣H=4﹣=．【點(diǎn)評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)相三形性判定勾定的用用相三形性到DF2=F?AF是題問（）的關(guān)，據(jù)似角的性得GH的是問題3的鍵．4.（四成都8如圖在中，分別交，于點(diǎn)平分，交，連接于點(diǎn)交，于點(diǎn)為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的，.（1求：（2是，的切；，試含的代數(shù)表線段的長；.（1求：（2是，的切；，試含的代數(shù)表線段的長；（3，，求的長.【答（）圖接CD∵AD為∠AC角分，∴∠BD=CAD.∵OA=D，∴∠OA=OA，∴∠OA=CAD.∴ODAC.又∵C=9°，∴∠OC=9°，∴ODBC，∴BC是⊙O的線.（2連接DF，由（）知，C切（2連接DF，由（）知，C切，∴∠FC=DAF.∴∠CA=CFD.∴∠AD=ADB.又∵BAD∠DF，∴?AB∽?DF,∴∴AD2ABAF.∴AD2xy,,∴AD=（3連接EF在RtBOD中，inB=,設(shè)圓半為，∴∴r=5.∴AE=0,A=18.，∵AE是徑∠AF=9,而∠=9°，∴EFBC,∴∠AF=B,∴si∠AE=.∴AF=E·inAEF10×∵AFOD,=.∴,∴DG=AD.∴AD=,∴DG=【考】線判與質(zhì)，似角的定性質(zhì)解角角形【解∴si∠AE=.∴AF=E·inAEF10×∵AFOD,=.∴,∴DG=AD.∴AD=,∴DG=【考】線判與質(zhì)，似角的定性質(zhì)解角角形【解分析（）接OD根角分的質(zhì)及腰角的質(zhì)去證∠OC=9°可2)連接DF，E根圓切，可得FDC∠DF證∠CA=CFD∠AD據(jù)平的義證∠A=∠AD而證△AB∽△AF得對邊例得答（接E在t△OD用三角函的義出的徑、A、AB的，明EFBC得∠B∠AF，用角角數(shù)義求出AF的，根據(jù)AFD，出段比，出DG的，后求出D的，而求得DG長。5（西6），在中， =8，=4, =6,,是平分，交于點(diǎn),求的長.ADEBC【解析】∵BD是ABC的平線，∴∠BDCBD∵D∥B∠CB=∠D∵C∥AB∴∠BD∠D∴D=B=4∴△BE△CE∴=∵CAE=AC6∴A=462018湖北省宜昌1分在形ABDAB12P是邊AB一△PBC沿線C疊點(diǎn)B的應(yīng)是點(diǎn)G過點(diǎn)B作B⊥C，足為E在AD，BE交PC點(diǎn)F．（1如圖1若點(diǎn)E是D的點(diǎn)求：AE△DE；（2如圖2①證：=BF；②當(dāng)D=2，且AEDE，求osPCB的（2如圖2①證：=BF；②當(dāng)D=2，且AEDE，求osPCB的；③當(dāng)P=9時(shí)求B?EF值．【分（）判出=∠D=0，ABDC再出AEDE即得結(jié)；（2①用疊性得出PGC∠PC=9°∠BPC∠GC進(jìn)判∠GPF∠PB可出；②判出AB∽△EC得出例建方求即可出E=9DE=6判斷△EF△GC求出P，可出論；③判出GE∽△AB即可出論．【解】（）形ABCD中∠A∠D=0AB=D，∵E是AD中，∴E=D，在△AE△DE，△AB≌△CESAS（2①矩形ABC，BC=9°，∵△BC沿PC折得GPC∴∠GC∠PB=9，∠BC=GP，∵BECG∴B∥P，∠GPF∠PB∴∠PFBFP∴BPBF；②當(dāng)D=25時(shí)∵BEC0°∴∠EB∠CE=9，∵∠AB+ABE90，∠CED∠AE，∵∠A∠D90，△A∽△DC∴，設(shè)AEx∴DE25x∴，∴x9或x=1，∵AEDE∴A=9DE=，∴C=2，BE15，由折得BP=G∴BPF=PG∵B∥P，∴△EF△GC，∴設(shè)BP=BFPG=，∴，y=，∴BP=，在RtPBC中，，co∠PB==；③如，接G，∵∠GF=BAE90，∵BFPGBF=G∴?BF是形∵∠GF=BAE90，∵BFPGBF=G∴?BF是形∴B∥G，∠GFE∠AE，∴△GF△EA，∴，E?EF=B?G=1×9=08．【點(diǎn)評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)折的質(zhì)利方程思解問是本題關(guān)．72018湖北省武漢·0分在ABC中∠AB90°．（1如圖1分過AC兩作過點(diǎn)B直的垂，足為M，求：AB∽△CN；（2如圖2，P邊BC一點(diǎn)∠BP=C，anAC=，求tnC值；（3圖3D邊A延長上點(diǎn)AE=BDEB=9°si∠BA=，直接出ta∠CEB的值．【分（）用角余角等斷∠BM=BN，可出論；（2先斷△AB∽QF，出=，判出△P∽△QF得出CQ=a進(jìn)而立方程用b表出，可出結(jié)；（3先斷出=，同）的法即得結(jié)．【解】（）AMN，C⊥M，∴∠AB=BNC90，∴∠BM+ABM90，∵∠AC=9°，∴∠AM+CBN90，∴∠BM=CB，∵∠AB=NB，∴△AM△BC；（2如圖2，過點(diǎn)P作F⊥P交AC于F，在R△AFP中ta∠PA===，同（）方得△AB∽△PF，∴=，設(shè)AB=a，Q=2，B=b，∴△AM△BC；（2如圖2，過點(diǎn)P作F⊥P交AC于F，在R△AFP中ta∠PA===，同（）方得△AB∽△PF，∴=，設(shè)AB=a，Q=2，B=b，Q=2ba＞，＞0∵∠BP=C∠B∠CQ90°，∴△AP△CQ，∴，CQ==2a，∵BC=P+P+CQ=b+2+2aa+b∵∠BP=C∠B∠B=°，∴△AP△CB，∴=，∴BC===，∴4a+b=，a=b，∴BC=×b+b=b，AB=a=，在R△ABC中tan==；（3）在R△ABC中si∠BA==，過點(diǎn)A作G⊥E于G點(diǎn)C作C⊥BE交EB的長于H，∵∠DB=9°，∴CHAGDE，∴=同（）方得△AB∽△BH∴，設(shè)BG4mCH=m，G=4，BH=n，∴，設(shè)BG4mCH=m，G=4，BH=n，∵AB=E，G⊥E，∴EG=G=4，∴GH=G+B=4m3n，∴，∴n=2，∴EH=G+G=4m4m+n=83n=8m6m=4m，在R△CEH中ta∠BE==．【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，平行分段比定，構(gòu)圖1是本的鍵．82018湖南省常德0分已正形BCD中AC與D于O點(diǎn)點(diǎn)M線段D直線AM線DC于，過D作H⊥E于，直線DH交AC于N．（1如圖1當(dāng)M在段BO時(shí)求：MONO；（2如圖2當(dāng)M在段OD，接N，當(dāng)END時(shí)求：B=A；（3在圖3當(dāng)M在段OD，接N，當(dāng)NEC時(shí)求：AN=NCAC．【分（）判出O=OA∠AO=∠ON再用同的角等斷∠ODN∠OM判出△N≌△AOM即得結(jié)；（判出邊形EM是而斷∠（判出邊形EM是而斷∠DN=225即判出AMB=6.5即得論；（3設(shè)CE=a進(jìn)表出EN=CEaCN=a設(shè)DE=b進(jìn)而示D=ab據(jù)股定得A=（a+b同（1）的方法得，∠OA=∠ON，得出∠D=∠DE，進(jìn)而判斷出△DN∽△E，得出，進(jìn)而得出a=b即表出C=b，C=b，N=A﹣C=b，即得出論．【解】（）正形ABD對線A，BD相于O，∴OD=A∠AO=∠ON=°，∴∠OD+ODN90，∵∠AH=ON，∴∠AH+ODN90，∵DHAE，∴∠DM=9°，∴∠AH+OAM90，∴∠ON=OA，∴△DN△AO，∴OM=N；（2連接MN，∵ENBD，∴∠EC=DOC90，EC=∠DC=5°∠AD，∴EN=N同（）方得，O=O，∵OD=D，∴DM=N=E，∵ENDM，∴四形ENM是行形，∵DNAE，∴?DEM菱，∴DE=N，∴∠EN=EN，∵ENBD，∴∠ED=BD，∴∠EN=BD，∵∠BC=4°，∴∠BN=2.5，∵∠AD=9°，∴∠AB=DME90﹣DN=675，∵∠AM=4°，∴∠BM=6.5=∠MB，∴BM=B；（3∵∠AD=9°，∴∠AB=DME90﹣DN=675，∵∠AM=4°，∴∠BM=6.5=∠MB，∴BM=B；（3設(shè)C=aa＞）∵ENCD，∴∠CN=9°，∵∠AD=4°，∴∠CE=4°∠AC，∴EN=E=，∴CN=a，設(shè)DEb（＞0∴AD=D=D+CEa+，根據(jù)股理，A=AD=（a+b同（）方得∠OA∠OD，∵∠OD=ODC45，∴∠EN=DA，∠DE∠ADE90，∴△DN△AD，∴，∴，∴a=b（舍不合的）∴CN=a=b，AC=（a+）=b，∴AN=C﹣N=b，∴AN22b2AC?N=b=2b2b?∴AN2AC?N．【點(diǎn)評】此題是相【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形，菱形的判定，全等三角形的判定和性似角的定和質(zhì)勾定斷出形DEM菱（關(guān)鍵判出DEN∽△AE解3的．9（208山東安2如菱形BCD中C與D于點(diǎn)E是BD上一E∥AB∠EB=EB，過點(diǎn)B作A垂，交A的長于點(diǎn)G．（1∠DF∠AEF是相等若等請明若不等請明由；（2找圖與△GB似的角，證；（3）F延線交CD延長點(diǎn)H交C點(diǎn)M．證：M2=F?M．【分（）判出EF=∠BA∠AF=EA即可出論；（2先斷∠GA=∠E+∠AB=∠AB，而出∠GB=AE，可結(jié)論；（3先斷出BM=MADM=AB，而出∠M=∠，斷△MF∽DH，可出論，【解】（）DEF∠AE，理由∵E∥A，∴∠DF=EB，∠EFEAB，∵∠EB=EB，∴∠DF=AE；（2△EO∽AG，理由∵形AB理由∵形ABD形，∴AB=D，C⊥D，∴∠GB=ABE∠AB=ABE，∵∠AO=ABE∠BE=ABE，∵∠GB=AE，∠ABAOE=9°，∴△EA△AG；（3如，接D，四形ABD菱，由對性知BM=MADM=AB，∵ABCH，∴∠AM=H，∴∠AM=H，∵∠DH=FM，∴△MD△MD，∴，∴DM2MF?H，∴BM2MF?H．【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，對稱性，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△EO∽△GB是本關(guān)鍵．10.（01·東坊·2）圖，在ABD，DHAB點(diǎn)HCD的直平交D點(diǎn)，交于點(diǎn)，A=6DH=，B：FA=：．（1如圖2作F⊥AD于點(diǎn)，交DH于點(diǎn)，△DGM沿C向移到△C′′連接M′．①求形BHM的；②線EF上一點(diǎn)求△DM長最值．（2如圖3延長CB交F（2如圖3延長CB交F點(diǎn)Q過點(diǎn)Q作QKB，過CD邊的點(diǎn)P作PK∥E，與K于點(diǎn)，將△PQ直線PQ翻使點(diǎn)K的點(diǎn)K恰落在線B，線段P的．【分（）根相三角的定性以平移性進(jìn)解即；②接CM交線EF點(diǎn)N，接D，用股理解即；（2分點(diǎn)P線段CE和點(diǎn)P在段D兩況進(jìn)解．【解】（）在?CD，AB6直線F直分C，∴DE=H=，又B：FA1：，∴AH=，∵RtAH∽R△MH，∴，即，∴HM=.5，根據(jù)移性，M'=C6，接B，圖，四形BHM的積=；②接CM交線EF點(diǎn)N，接D，圖，∵線EF垂平分CD，∴CN=N，∵M(jìn)H=.5，∴DM=.5，在∵線EF垂平分CD，∴CN=N，∵M(jìn)H=.5，∴DM=.5，在R△CDM中MC2DC2+2，∴MC262+2.）2，即MC6.，∵M(jìn)N+N=M+CNMC，∴△DM長最值為．（2∵B∥C，∴，∴QF=，∴PK=K'=，過點(diǎn)'作'F∥E，交CD于點(diǎn)E'交K點(diǎn)F'，圖，當(dāng)點(diǎn)P在段E時(shí)，在R△PKE'PE'2=K'2E'K'，∴，∵RtPE''∽t△'F'，∴，即，解得：，∴PE=E'EE'=，∴，同理得點(diǎn)P段∴PE=E'EE'=，∴，同理得點(diǎn)P段DE時(shí)，，圖4，綜上述CP的為或．【點(diǎn)此考四的綜鍵根似三形性和移性質(zhì)（種情況分．11.2018年蘇南市圖在正形BCD中E是AB上點(diǎn)連接DE點(diǎn)A作A⊥D足為F⊙O經(jīng)點(diǎn)、D，與D交點(diǎn)．（1求：△FG△D；（2若方形ABCD的長為，A=1求O徑．【分】1欲明△G∽△FC只證∠F=∠FD，AGF∠FD；（2首證明CG直，出CG即解問；【解】1證：方形BCD中∠AD=9，∴∠CF+ADF90，∵AFDE，∴∠AD=9°，∴∠DF+ADF90，∴∠DF=CD，∵四形FCD是O接四形，∴∠FD+DGF18°，∵∠FA+DGF18°，∴∠FA=FC，∴△AG△DF．∴∠FD+DGF18°，∵∠FA+DGF18°，∴∠FA=FC，∴△AG△DF．（2解如，接C．∵∠ED=AFD90，DA=∠DF，∴△EA△AD，∴=，即=，∵△AG△DF，∴=，∴=，在正形BCD中，A=D，∴AG=A=，DGDAAG=﹣1=，∴CG==5，∵∠CG=9°，∴CG是⊙O的徑，∴⊙O的徑為．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)識決題學(xué)添加用助，于考常題．12.（018新生設(shè)兵12分圖A與⊙O相于點(diǎn)A點(diǎn)A作A⊥OP垂為C⊙O于點(diǎn)．接P，A，延長O⊙O于點(diǎn)與PB延線于點(diǎn)．（1求：PB是O線；（2若O=3AC=，求inE值．【分（）證是的切，證過【分（）證是的切，證過點(diǎn)半徑直所接OB，明O⊥PE即．（2要求snE首找出角角，后用直三函求即．而sinE既放直角形EAP，可在角角形BO，以用似三形性出EP或EO的即解問題【解（）明接OB∵P⊥A，∴AC=C，∴PA=B在△PO△PO中∴△PO≌PBO∴∠OP=OAP90°∴PB是⊙O的線．（2連接BD則B∥P，且D=2C=6在R△ACO中OC=，A4∴AO=5在R△ACO與t△AO，∠APO∠AO，∠PAO∠AO=9°∴△AO△PO=∴PO=，PA=∴PB=A=在△EO△EDBD∥PO∴△EO△EBD∴=，解得B=，PE=，∴sin==【點(diǎn)評】本題解得B=，PE=，∴sin==【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)．能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直三形，解此題關(guān)．13（01·川賓·0分如，AB圓O直徑C圓O上點(diǎn)D為BC延線點(diǎn)且BCD，CE⊥D點(diǎn)E．（1求：線EC圓O的線；（2）設(shè)BE與圓O于點(diǎn)F，AF延線與CE交點(diǎn)P，知PCF∠CFPC=5PF=，求inPEF的值．【考】M：線判與性；M：周定；T7解角角．【分1說明CBDA中線利中線的到∠CE∠ED=9°從得到CE圓O的切．（用徑的周到PEF是角角用相可到EF∽PE△PC∽PA，從而到C=P=5然求出inPEF的．【解】（）明∵CEAD于點(diǎn)E∴∠DC=9°，∵BC=D，∴∠DC=9°，∵BC=D，∴C是BD的點(diǎn)又∵O是AB的點(diǎn)，∴OC是△DA中線，∴OCAD∴∠OE=CED90°∴OCCE又點(diǎn)C在上，∴CE是圓O切．（2連接AC∵AB是徑點(diǎn)F在上∴∠AB=PFE90=∠∵∠EF=EPA∴△PF△PEA∴PE2PFPA∵∠FC=PCF∠CF又∵CPF∠CA∴△PF△PAC∴PC2PFPA∴PE=在直△PF，sn∠F==．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定、三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)．利用三角形相似明PEPC解本題難和鍵．14（218四自·0分）圖在ABC中∠ACB90．（1作經(jīng)點(diǎn)，心O在邊B且邊AC相切點(diǎn)E的O要用尺作，留圖跡，不寫法證）（2（1中作O與邊AB交異點(diǎn)B另外點(diǎn)⊙O直為5C=4求E長（如果用規(guī)圖不圖，可出圖成2【分（）∠AC角平線交AC于，作E⊥AC交AB點(diǎn)O以【分（）∠AC角平線交AC于，作E⊥AC交AB點(diǎn)O以O(shè)為圓，OB為徑圓可解決問；（2作O⊥BC于．先出O、E、B，△BC∽△ED可得=，決問；【解】（）O圖所；（2作O⊥BC于．∵AC是⊙O的線，∴OEAC，∴∠C∠CO=OHC90，∴四形CHO是形，∴OE=H=，BH=C﹣H=，在R△OBH中OH==2，∴EC=H=，BE==2，∵∠EC=EB，∠EDC=90，∴△BE△BE，∴=，∴=，∴DE=．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的定腰角的定和質(zhì)知題關(guān)鍵靈運(yùn)所知解決題屬中常．15（湖黃石9）在ABC中E、F分為段A、AC上點(diǎn)與AB、C重．（1如圖1若E∥B求證：（2如圖2若EF不與C平（）的論否仍成？說理；（3如圖3若EF上點(diǎn)G為ABC的心，，求（1如圖1若E∥B求證：（2如圖2若EF不與C平（）的論否仍成？說理；（3如圖3若EF上點(diǎn)G為ABC的心，，求的值．）2即可證；【分（由E∥BC△AE∽△BC據(jù)得=根據(jù)=（（2分過點(diǎn)C作B垂線垂分為H此知AF∽△CH=據(jù)=即可證；（3連接AG延交C于點(diǎn)接BG并交AC點(diǎn)N連接MN由心性知△ABM=S△CM、=，設(shè)=a，利用（2）中結(jié)論知==、==a，從而得==+a結(jié)合==a關(guān)于a方程之得a的可得答案．【解】（）EFC，∴△AF△AB，∴=，）2=∴=（?=；（2若EF與BC平行（1中結(jié)仍成，分別點(diǎn)、C作AB的線，足為NH，∵FNABCHAB，∴FNCH，∴△AN△AC，∴=，∴==；（3連接AG延交分別點(diǎn)、C作AB的線，足為NH，∵FNABCHAB，∴FNCH，∴△AN△AC，∴=，∴==；（3連接AG延交C于點(diǎn)，接G延交AC點(diǎn)N接M，則MN分是B、AC的點(diǎn)，∴MNAB且N=AB，∴= =，且△ABM=S△CM，∴=，設(shè)=a，由（）：==×=，==a，則==+=+a，而==a，∴+a=a，解得a=，∴=×=．【點(diǎn)評】本題主要考查相似形的綜合問而==a，∴+a=a，解得a=，∴=×=．【點(diǎn)評】本題主要考查相似形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形重心的定及性等識．16.201·江波2分）一三形邊的方于兩邊乘積我把個(gè)角叫做比例角．（1已△AC比角形AB=，B=3請接寫所滿條的C的長；（2如圖，四邊形ACD中，D∥C對角線D平分AB，∠AC∠AC．證△ABC是例角形．（3如圖2在（）條件，∠AC=9°，求的值．【考】似角的定與質(zhì)【分（）據(jù)例角形定分B2=B?ABC2=A?A、AC2AB?C種情分代計(jì)可；（2先△AB∽DCA得CA2BC?D再∠AD∠CBD∠AD知AB=D可得；（3作AHB由AB=D知BH=B證AB∽△BC得B?B=BHD即ABBC=BD2結(jié)合AB?C=AC2知BD2AC2據(jù)可答．【解】（）△AC是例角，且AB=、AC=，①當(dāng)B2=B?AC時(shí)得=3AC解：A=；②當(dāng)C2=A?AC時(shí)得=2AC解：A=；③當(dāng)C2=A?BC時(shí)得C=6解：AC=（值去；所③當(dāng)C2=A?BC時(shí)得C=6解：AC=（值去；所當(dāng)AC=或或時(shí)△AC是比三形；（2∵A∥B，∴∠AB=CA，又∵BAC∠AC，∴△AC△DC，，即CA=BCAD，∴=∵ADBC，∴∠AB=CB，∵BD平∠AB，∴∠AD=CB，∴∠AB=AB，∴AB=D，∴CA2BC?B，∴△AC比三形；（3如，點(diǎn)A作A⊥BD于點(diǎn)，∵AB=D，∴BH=BD，∵ADBC∠AC=9°，∴∠BD=9°，∴∠BA=BCD90，又∵ABH∠DC，∴△AH△DB，∴= ，即A?BCBH?B，∴AB?C=BD2，又∵A?BCAC，∴BD2AC2，∴又∵A?BCAC，∴BD2AC2，∴=．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是理解比例三角形的定義，并熟練掌握相似三角形判與質(zhì)．1.（2018·廣東廣州·12分）如圖，在四邊形ACD中，∠B=∠=9°，AB＞D，AD=ABCD．（1利尺作∠DC平線D，交C點(diǎn)連接E保作痕不寫法）（2在（）條下①證：A⊥D；②若D=，AB4點(diǎn)MN分是A，B的，求M+MN的小?！敬穑ǎ?①明在AD上一點(diǎn)F使F=D，接E，∵DE平∠AD，∴∠FE=CD，在△FD△CEDF=D，∠DE∠CD，DDE∴△F在△FD△CEDF=D，∠DE∠CD，DDE∴△FD△CD（SS∴∠DE=DCE90，F(xiàn)E=18°∠DF=9°∴∠DF=DE，∵AD=B+C，D=D，∴AF=B，在R△AF≌R△AE（）∴∠AB=AE，∴∠AD=AEF∠DF=CEF+∠BE=（∠CF+EF）=0?！郃EDE②解點(diǎn)D作D⊥AB點(diǎn)P，∵由可，，F(xiàn)關(guān)于E對，B=F，∴BM+N=F+M，當(dāng)FM，N三共且⊥AB時(shí)有小，∵DPABAD=B+C=6，∴∠DB=ABC∠C90，∴四形PBC是形，∴BP=C=，APAB-P=，在R△APD中DP==，∵FNAB由知AFB=4，∴FNDP，∴△AN△ADP∴，即，解得N=，∴BM+N最值為【考】等角的解得N=，∴BM+N最值為【考】等角的定與質(zhì)矩的定性質(zhì)作—本圖軸對的用最距，相似角的定性質(zhì)【解分析（）角平的法可出（2①在AD上一點(diǎn)F使DF=D，接E；分線定得FDE∠CE據(jù)全三形定SAS△FE≌△DE再全角形質(zhì)補(bǔ)定得FE=∠DCE∠AE=9°，∠DEF∠DC再直角形等定HL得R△AF≌R△AB由三角性得AEB∠A由補(bǔ)定得A⊥DE.②點(diǎn)D作D⊥AB于點(diǎn)；由可，，F(xiàn)關(guān)于E對，據(jù)稱質(zhì)知M=FM，當(dāng)F，，N點(diǎn)線且F⊥AB，最值即M+MN=M+M=F；在t△PD中根勾定得P==由似角形定△AF∽△D再相三角性得而得FN即BMMN最值.1201廣深8知形一角角形一角它的角點(diǎn)這重角的對邊個(gè)形為個(gè)三形親菱圖△CE中CF=,CE12,∠CE=5°點(diǎn)C圓，以任意長為半徑作AD，再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于AD長為半徑做弧，交于點(diǎn),AB∥CD.（1求：邊形ACDB為△CE親菱；（2求邊形ACDB的積.【答（）明由知得AC=D,A=DB由知尺作痕得BC∠FCE的平線,∴∠AB=DC，又∵A∥C,∴∠AC=DC，∴∠AB=AB，∴AC=B，又∵A=CDAB=B,∴AC=D=D=B，四形ACB菱，又∵ACD與FCE中FCE合它對∠AD頂在EF又∵ACD與FCE中FCE合它對∠AD頂在EF上，∴四形CDB為△EC親密形.（2解設(shè)形ADB邊為x∵C=6,E=1,∴FA=-x，又∵A∥C,∴△FB△FC,∴,即解得x=，，過點(diǎn)A作H⊥D點(diǎn)H,在R△ACH中∠AH=4°,∴si∠AC=,∴AH=×=2,∴四形CDB的積：.【考】形判與質(zhì)，似角的定性質(zhì)【解分析（）可得AC=D,A=DBBC∠FCE的平線,據(jù)平分的義平性質(zhì)得ACB∠AC根角對邊得AC=B從得AC=D=D=B，據(jù)邊相得邊是形可得四形ACB菱；據(jù)題的定即得.（2）設(shè)菱形ADB的邊長為x，根據(jù)已知可得F=6,C=12FA=-x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得解x=4點(diǎn)A作A⊥CD于點(diǎn),在RtACH根銳三形數(shù)弦的義可得AH,由邊的積式即得案.19（218·廣東深圳·9分）如圖：在中，B=2,B=AC，點(diǎn)D為C上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1求AB的度；（2求A·AE的；（3過A點(diǎn)作AHBD求證BH=D+D.【答（（3過A點(diǎn)作AHBD求證BH=D+D.【答（）作ABC，∵AB=C,B=2AMBC，∴BM=M=BC=1,在R△AMB中，∵cos=,BM=1,∴AB=M÷osB1÷=.（2解連接CD∵AAC,∴∠AB=AB，∵四形BCD內(nèi)于圓，∴∠AC+ABC18°,又∵ACE∠AB=10°,∴∠AC=AC，∵∠CE=CA，∴△EC△CA，∴,∴ADAE=C2=B2=（）2=10.（3證：在BD取點(diǎn)N使得BN=D,在△AN△AD中∵∴△AN△AC（SS∴AN=D，∵AHBDAN=D，∴NH=H,又∵B=CD∵∴△AN△AC（SS∴AN=D，∵AHBDAN=D，∴NH=H,又∵B=CDNH=H,∴BH=N+N=CDDH.【考全三形定與腰角性內(nèi)四形質(zhì)相三形判性質(zhì)，銳角角數(shù)定義【解【析（1作⊥BC由腰角三合一性得M=C=BC1,在t△MB據(jù)弦定得coB=,由求出B.（2連接C，據(jù)三角性等對角∠ACB∠AC再圓四邊性和角補(bǔ)相等得∠AC=AC；相角形判得EA∽△D，據(jù)似角的得從得A·A=AC2B2.；（3在BD上一點(diǎn)N得BNCD根據(jù)AS得△N≌△CD再全三形的得ANAD根腰三角三合的得NH=DH從得H=B+NHD+DH.20（218廣深·9分）知點(diǎn)拋線（1求物的析；過點(diǎn)，點(diǎn).（圖線AB與x軸相點(diǎn)M,y軸交點(diǎn)物與y軸交點(diǎn)直線B有點(diǎn)，若∠OM=MAF求POE的面；（3如圖2點(diǎn)Q是線A-B-C上點(diǎn)點(diǎn)Q作N∥y軸過點(diǎn)E作ENx軸，線N直線EN于點(diǎn)N，連接E，將△EN沿翻折得到△E1，若點(diǎn)N1落在x軸上，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo).【答（）：點(diǎn)，解：a=,∴拋線解式：或.（2解設(shè)線AB解式為y=k+b代標(biāo).【答（）：點(diǎn)，解：a=,∴拋線解式：或.（2解設(shè)線AB解式為y=k+b代點(diǎn)B的標(biāo)：，解得：，∴線AB的析為：-2x-1,∴E（，-，（，-，M（-，0∴OE=，F(xiàn)=,∵∠OM=MAF,∴當(dāng)P∥F，△PE△FA，∴∴OP=FA=,設(shè)點(diǎn)（t-2t1）,