第二十章生物非線性動力學簡介要求

：1、理解非線性動力學的基本概念，如運動參量、

相空間、吸引子等。2、了解非線性動力學理論的一些基本知識，如

混沌運動、分形、分維數(shù)等。3、了解非線性動力學在醫(yī)學中應(yīng)用的方法。非線性科學的四個發(fā)展階段1、40年代：組織理論：控制論，信息論，一

般系統(tǒng)論2、60年代：自組織理論(系統(tǒng)如何從無序→有序):超循環(huán)論，3、70年代：非線性科學(系統(tǒng)如何從有序→混沌和無序→更高層次的

有序)4、90年代：復(fù)雜性科學(復(fù)雜性的定義及量

度，復(fù)雜系統(tǒng)的行為及模型)2Plank(普朗

克)黑體輻射客體狀態(tài)與

測量的關(guān)系

及其描述微觀現(xiàn)象Poincare三體穩(wěn)定性問題力學的基本問

題和方法非線性現(xiàn)象Einstein(愛因斯坦)運動介質(zhì)中

的電動力學時空概念高速現(xiàn)象量子力學

相對論創(chuàng)始人導(dǎo)致變革

的研究變革內(nèi)容應(yīng)用領(lǐng)域19世紀末、20世紀初發(fā)生的對于牛頓力學的三大變革定性力學、非線性動力學出現(xiàn)的新科學非線性科學線性系統(tǒng)是指輸出與輸入成正比的系統(tǒng)，

可以用y=ax+b的形式表示，非線性系統(tǒng)是指除線性系統(tǒng)以外的所有系統(tǒng)。即

輸出與輸入不成正比的系統(tǒng)。最簡單的非線性數(shù)學方程為y=ax2+bx+c.非線性是復(fù)雜性的集中體現(xiàn)，非線性科學的

中心問題是：全局分析、分岔、渾沌、孤立子、

分形、擬序結(jié)構(gòu)、圖象生成與演化。非線性科學的核心問題是：孤立子與混沌其特點是交叉性和新型學科.5非線性與線性的差別非線性與線性存在著本質(zhì)差別：對于線性系統(tǒng)

小的輸入變化必定引起小的輸出變化，大的輸入

變化對應(yīng)于大的輸出變化。而非線性系統(tǒng)則不然

。小的輸入變化可引起大的輸出變化，大的輸入

變化倒不一定引起大的輸出變化。例如某人作長途旅行：先乘公共汽車到火車站

,然后乘高速火車到機場，最后乘飛機到達目的

地。整個系統(tǒng)是非線性的，若幾分鐘的初始誤差

逐漸放大，到達目的地相差的將不是幾分鐘，可

能是幾個小時或幾天，小的輸入變化會引出大的

輸出變化。非線性動力系統(tǒng)什么是非線性動力系統(tǒng)?一個動力系統(tǒng)，若其基本力學量的運動由非線

性方程描述，則稱作非線性動力學系統(tǒng)。非線性動力學研究的是具有非線性演化規(guī)律的系統(tǒng)。非線性動力學理論建立在現(xiàn)代幾何學和代數(shù)學

的基礎(chǔ)上，相空間描述法是其基礎(chǔ)的研究方法第一節(jié)

運動及其相空間描述一

、相空間宇宙萬物處于永不停息的運動變化之中。以牛頓為代表的經(jīng)典力學理論在三維空間中建立了描述機械運動的完整理論，愛因斯坦的相對論發(fā)展了經(jīng)典理論，將描寫運動的空間擴展到時間。實際上在描述物質(zhì)系統(tǒng)運動的空間方法中還有相空間(statesspace)

理論。1.質(zhì)點直線運動的相空間描述能夠表征運動狀態(tài)及其演化規(guī)律的運動量稱為狀態(tài)參量。將所有狀態(tài)參量聯(lián)合構(gòu)成的抽象的空間稱為相空間。質(zhì)點每一時刻的運動狀態(tài)可以與相空間中的一個點對應(yīng)起來，而在某時段內(nèi)運動狀態(tài)的變化過程與相空間中的一段軌道對應(yīng)，運動的演化趨勢與相空間中的軌道延伸趨勢對應(yīng)。例如在勻加速直線運動過程中，質(zhì)點隨時間的變化規(guī)律可以分別表述為：

V=Vo+at

a=

常數(shù)其中x～t

曲線是拋物線，v～t曲線為直線。但如果用位移，速度和加速度三個量作為獨立變

量，構(gòu)成一個三維的坐標空間，此空間即為相

空

間，如圖：10質(zhì)點每一時刻的運動狀

態(tài)就與相空間中的一個

點對應(yīng)，而在某時段內(nèi)

運動狀態(tài)的變化過程就

與相空間中的一段軌道

對應(yīng)，運動的演化趨勢

與相空間中的軌道延伸

趨勢對應(yīng)。2.221.0一維質(zhì)點運動的相空間加

速

度

(

m

sB011描寫振子的運動狀態(tài)，一般選它偏離平衡位置的距離和速度作為狀態(tài)參量，由于運動發(fā)生在一

維直線上，因此狀態(tài)參量為兩個一維的物理量，這時的相空間是由位移和速度聯(lián)合構(gòu)成的平面直角坐標空間。在相空間中簡諧振動運動軌道是一個以坐標原點為中心的橢圓或圓，運動表現(xiàn)出周而復(fù)始的周期性

。1

2

315速度(ms-1)

105時間(s)4

5時

間(s)15速度(ms-1)位

移(m)-15-10-15簡諧振動運動狀態(tài)變化2.彈簧振子振動的相空間描述位

移(m)

212振子如果受到阻尼力作

用，振子的位移和速度不斷減小，最終恢復(fù)到靜止狀態(tài)。從相空間來看，彈簧振子的運動軌道不再是一個圓，而為一條趨向原

點的螺旋線，這條螺旋

線起始于初始狀態(tài)，終

止于原點。(a)-2.015-100505101.52.0810時間(s)(c)(b)位

移(m)6

8

1

0

時

間(s)15速

度(s-1)105-5-15阻尼振動運動狀態(tài)變化13在相空間存在一個吸引點，把周圍的軌道都吸引到此

處，稱此特殊位置為吸引子。位

移吸引子吸引子attractor單擺及其吸引子開始安徽蚌埠醫(yī)學院魏杰制作單擺速

度14奇怪吸引子15吸引子是物質(zhì)系統(tǒng)運動的穩(wěn)態(tài)運動行為在相空間中的反映。穩(wěn)態(tài)運動是系統(tǒng)從初始狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)歷了長時間演化后最終達到的運動狀態(tài)。對于無外驅(qū)動的阻尼振子來說，其長時間演化將趨向靜止，即趨向不動點吸引子。而在外周期驅(qū)動作用

下，其運動狀態(tài)將趨向一個周期運動，即極限環(huán)吸

引子。除了上述兩類吸引子外，還存在準周期吸引子和奇怪吸引子，其中奇怪吸引子對應(yīng)于一種稱為混沌運動的演化狀態(tài)。16第二節(jié)混沌運動蝴蝶效應(yīng)：1972年12月29日，美國麻省理工學院教授、混沌學開創(chuàng)

人之一E.N.洛倫茲在美國科學發(fā)展學會第139次會議上發(fā)

表了題為《蝴蝶效應(yīng)》的論文，提出一個貌似荒謬的論斷

:南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇動所引起的微

小氣流，幾星期后可能變成席卷北半球美國得克薩斯州的

一場龍卷風，這就是天氣的“蝴蝶效應(yīng)”,即天氣的不可

準確預(yù)報性。時至今日，這一論斷仍為人津津樂道，更重要的是，它

激發(fā)了人們對混沌學的濃厚興趣。今天，伴隨計算機等技

術(shù)的飛速進步，混沌學已發(fā)展成為一門影響深遠、發(fā)展迅

速的前沿科學。其與相對論、量子論相提并論，稱為混沌

論?；煦绫徽J為是20世紀物理學的第三次革命。17混沌混沌初開一個接近實際而沒有內(nèi)在隨機性的模型仍然具

有貌似隨機的行為的真實物理系統(tǒng)，即稱混沌.如

布朗運動.混沌不是偶然的、個別的事件，而是普遍存在于宇宙間各種各樣的宏觀及微觀系統(tǒng)中的，萬事萬

物，莫不混沌?；煦缫膊皇仟毩⒋嬖诘目茖W，它與

其它各門科學互相促進、互相依靠，由此派生出許

多交叉學科，如混沌氣象學、混沌經(jīng)濟學、混沌數(shù)

學

等

。混沌學研究的是一種非線性科學，18混沌系統(tǒng)具有三個關(guān)鍵要素：一

、對初始條件的敏感依賴性

(即差之毫厘，失之千里);二

、臨界水平(層流

→

湍流),

這里是非線性事件的發(fā)生點；三、分形(如山、閃電的形狀)、分維(維數(shù))

它表明有序和無序的統(tǒng)一。19非典是個突發(fā)事件非典是個突發(fā)事件，非典本身并不是什么大事

,幾個月時間全世界因非典而死亡的也僅僅只有

幾百人，還不及一天之內(nèi)因患肺癌死亡的人多，也不及每天因車禍死亡的人數(shù)多。但由于其具有高度的傳染性，使得“蝴蝶效應(yīng)”發(fā)生了：

一個很小的原因(2個人發(fā)燒)導(dǎo)致了一個復(fù)雜的結(jié)果：中國宏觀經(jīng)濟受到了很大的

沖擊，多個行業(yè)為此受損嚴重，典型的如旅游業(yè)

、運輸業(yè)等。20混沌無所不在現(xiàn)在這門科學正舉目四望，混沌無所不在。如上升的香煙柱破碎成繚亂的旋渦，云彩的形狀、閃電的蹤跡、旗幟在風中前后飄拂、龍

頭滴水從穩(wěn)定樣式變成隨機樣式、大氣和海

洋的湍流中，飛機的飛翔中，高速公路上阻

塞的汽車群體中，野生動物種群數(shù)的漲落，

微血管的纏結(jié)、心臟和大腦的振動，股票價

格變化，星體形成銀河星團的過程，甚至緊

張局勢導(dǎo)致武裝沖突的方式，

……,都可以

用混沌的方式加以分析。21從簡單的例子看混沌的本質(zhì)混沌是決定論系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的隨機行為的總稱

。它的根源在于非線性的相互作用。所謂“決定論系統(tǒng)”指描述該系統(tǒng)的數(shù)學模型不

包含任何隨機因素的完全確定的系統(tǒng)。隨機運動的典型實例是植物學家布朗1827年在

顯微鏡下看到的液體中花粉顆粒的無規(guī)運動，

現(xiàn)稱為布朗運動。自然界中最常見的運動狀態(tài)，往往既不是完全確

定，也不是完全隨機的，而是介于二者之間。22混沌在生命科學中的應(yīng)用混沌理論在生命科學中的應(yīng)用特別重要。已經(jīng)

發(fā)現(xiàn)各種心律不齊、房室傳導(dǎo)阻滯等均與混沌運動有聯(lián)系，癲癇患者發(fā)病時的腦電波呈現(xiàn)明顯的周期性，而正常人的腦電波呈現(xiàn)顯著的混沌狀態(tài)o人們利用混沌與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合創(chuàng)造出所謂的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。利用混沌可實現(xiàn)保密通訊，解釋經(jīng)濟領(lǐng)域的股票、期貨的價格波動，探索厄爾尼諾(El

Nino)現(xiàn)

象

，等等。23厄爾尼諾赤道東太平洋南美沿岸海水溫度激烈上升的現(xiàn)象。由于這種現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生在年末圣誕節(jié)前后，所以當?shù)厝顺蔀椤笆搿?厄爾尼諾)。厄爾尼諾發(fā)生時，由于水溫高、浮游生物減少

,魚得不到食物而大量死亡，所以以魚為食的海鳥也將死亡或遷徒。厄爾尼諾發(fā)生時還會產(chǎn)生