5.1.2軸對稱第5章

軸對稱與旋轉(zhuǎn)【2024新教材】湘教版數(shù)學(xué)

七年級下冊

授課教師：********班級：********時間：********一）知識與技能?理解實數(shù)的概念，明確實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系。?掌握實數(shù)的分類方法，能互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標(biāo)通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達(dá)能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。二、教學(xué)重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學(xué)生進(jìn)一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當(dāng)b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進(jìn)一步加強練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解復(fù)習(xí)回顧1.下列圖形中有兩條對稱軸的是______（填序號）①②③④⑤無數(shù)條③⑤軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱圖形區(qū)別聯(lián)系一個圖形具有的特殊形狀兩個圖形的特殊的位置關(guān)系1.都是沿著某條直線折疊后能重合2.可以互相轉(zhuǎn)化2.區(qū)別與聯(lián)系探索新知探究如圖，△ABC

和△A′B′C′

關(guān)于直線l

對稱，點P的對應(yīng)點是P′，線段PP′交直線l于點D.線段PP′

與對稱軸l之間有什么關(guān)系？所以將△ABC

連同直線l沿對稱軸

l折疊，就得到△A′B′C′連同直線l.因此l⊥PP′，且l

平分PP′，即直線l垂直平分線段PP′

.

因為△ABC

和△A′B′C′

關(guān)于直線l

對稱.在這個軸對稱下，點P

的對應(yīng)點是點P′，點D

的對應(yīng)點是點D

自身.于是線段PD

與線段

P′D

重合，∠1與∠2重合.從而PD=P′D，∠1=∠2=90°.成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分.特別地，若點P

與點P′關(guān)于一條直線對稱，則線段

PP′

被這條直線垂直平分.反過來，若線段

PP′

被一條直線垂直平分，則點P

與點P′關(guān)于這條直線對稱.PP′lA′B′

AB=_______，

BC=_______，

∠ABC=__________.

B′C′

∠A′B′C′軸對稱保持任意兩點間距離不變，保持角的大小不變.如圖，將△ABC

沿直線l

折疊，在這個軸對稱下，點A

的對應(yīng)點是點A′，點B

的對應(yīng)點是點B′，點C

的對應(yīng)點是點C′.文字?jǐn)⑹龇栒Z言圖示如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，點A′，B′，C′分別是點A，B，C的對稱點，AA′，BB′，CC′分別與MN

交于點E，F(xiàn)，G成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分軸對稱保持任意兩點間距離不變，保持角的大小不變AE＝A′E，BF＝B′F，CG＝C′G，MN⊥AA′，MN⊥BB′，MN⊥CC′AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠ABC

＝∠A′B′C′例1已知直線l

及直線外一點P，畫一點P′，使它與點P

關(guān)于直線l

對稱.作法：1.過點P

作PQ⊥l，交l于點O.2.在射線OQ上，截取OP′=OP.則點P′即為所求作的點.做一做已知線段AB

和直線l，畫出線段AB

關(guān)于直線l對稱的圖形.作法：1.過點

A

作直線

l的垂線，垂足為點O，延長AO至點A′，使AO=A′O，點

A′就是點

A關(guān)于直線

l

的對稱點；2.類似地，作出點

B

關(guān)于直線

l的對稱點

B′.3.連接A′B′.例2已知△ABC

和直線l，畫出△ABC

關(guān)于直線l

的對稱圖形.分析要畫△ABC

關(guān)于直線l的對稱圖形，只要作出三角形的頂點A，B，C

關(guān)于直線l

的對稱點A′，B′，C′，連接這些對稱點即可.解（1）過點A

作直線l

的垂線，垂足為點O，在垂線上截取OA′=OA，點A′就是點A

關(guān)于直線l

的對應(yīng)點；（2）類似地，分別作出點B，C關(guān)于直線l的對應(yīng)點B′，C′.（3）連接A′B′，B′C′，C′A′得到的△A′B′C′即為△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形.作已知圖形關(guān)于已知直線對稱的圖形的一般步驟:1.找點（確定圖形中的一些特殊點）2.畫點（畫出特殊點關(guān)于已知直線的對稱點）3.連線（連接對稱點）畫好△A′B′C′

后，若將紙沿直線l

折疊，兩個三角形會重合嗎？折疊動畫成軸對稱的兩個圖形的形狀、大小完全相同，即兩個圖形的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，面積相等，周長相等.議一議先過直線l

外一點分別畫直線l

的垂線段與斜線段，再利用軸對稱變換說明垂線段最短，并將結(jié)果與同學(xué)交流.l

P

練習(xí)1.已知直線AB

和直線l

相交于點O，畫出直線AB關(guān)于直線l

的對稱圖形.l

OABA′B′2.如圖，△ABC

與△A′B′C′關(guān)于直線MN

成軸對稱.指出它們的對應(yīng)頂點，并分別找出三對相等的邊和相等的角.A′AB′C′BCNMA和

A′B和

B′C和

C′AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′∠ABC=∠A′B′C′∠BCA=∠B′C′A′∠BAC=∠B′A′C′鞏固1.如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，線段BB′交直線MN于點O，則下列說法不一定正確的是（）A.AC＝A′C′B.BO＝B′OC.AA′⊥MN

D.AB∥B′C′D2.下面是四位同學(xué)畫△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形的

方法，其中正確的是（）B1.

下列說法中，錯誤的是(

)BA.

軸對稱圖形必有對稱軸B.

兩個能完全重合的圖形必成軸對稱C.

軸對稱圖形可能有無數(shù)條對稱軸D.

關(guān)于某直線成軸對稱的兩個圖形必能互相重合（第2題）

AA.

3

B.

4

C.

2

D.

1（第3題）

9