第第頁2025屆廣東省陽江市陽西縣高三模擬預測數(shù)學試題一、單選題1．若集合A=xx<4,B=A．?∞,1 B．0,1 C．?∞【答案】D【解析】【解答】解：已知1x≥1得x?1x≤0，即所以B=0,1，則?所以A∩?故答案為：D【分析】先利用分式不等式的解法求出集合B=0,12．已知向量a=(1,?2)，b=(2,k)，若a?A．1 B．2 C．?4 D．4【答案】C【解析】【解答】解：因為a?//b?，所以故答案為：C.【分析】利用向量共線的坐標表示可得1×k-2×?2=0，求解3．在△ABC中，點D為邊BC上一點，且BD:DC=1:2，設AB=a，AC=b，試用a，A．AD=13C．AD=13【答案】D【解析】【解答】解：由題意，畫出圖象如圖所示：

可得AD?故答案為：D．【分析】利用平面向量的線性運算AD?4．小明同學在如下圖所示的“漢諾塔”游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙：有A、B、C三個木樁，A木樁上套有編號分別為1、2、3、4、5、6的六個圓環(huán)，規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況，現(xiàn)要將這六個圓環(huán)全部套到B木樁上，則所需的最少的次數(shù)為（）A．31 B．63 C．127 D．128【答案】B【解析】【解答】解：當n=1時，即只有1個圓環(huán)，從一個木樁移動到另一個木樁，只需移動1次，

所以a1當n>1時，要把n個圓環(huán)從A木樁移動到B木樁，我們可以先把上面n?1個圓環(huán)從A木樁借助B木樁移動到C木樁，這需要然后把最大的第n個圓環(huán)從A木樁移動到B木樁，這需要1次；最后再把C木樁上的n?1個圓環(huán)借助A木樁移動到B木樁，這又需要an?1次.

所以可得遞推公式a由an=2an?1+1，變形可得an+1=2(an?1根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得an+1=2×2當n=6時，將其代入an=2故答案為：B.【分析】當n=1時可得a1=1，當n≥2時的遞推公式可得an5．已知銳角α，β滿足α+β=π4，則A．2 B．22 C．42 【答案】C【解析】【解答】解：已知α+β=π4，可得sinα+β所以2sin則1==≥2當且僅當cosαsinβsinα也就是α=β=π故答案為：C【分析】由題意可得2sin6．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，C'B'⊥x'軸，A．5 B．10 C．102 D．【答案】B【解析】【解答】解：已知如圖所示：

根據(jù)斜二測畫法可知，C'D'∥原圖形為△ABC，其中AB=5,CD⊥AB，且CD=4，則△ABC的面積為12故答案為：B【分析】先利用斜二測畫法將直觀圖還原為原圖，再利用三角形的面積公式即可求解；7．投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，該同學兩次投籃都不中的概率為(1?0.6)2所以該同學通過測試的概率為1?0.16=0.84.故選：C.【分析】利用相互獨立事件的概率公式先求得兩次投籃都不中的概率，進而利用對立事件即可求得投2次至少投中1次的概率，即求得該同學通過測試的概率.8．已知函數(shù)fx=32?A．?2 B．1 C．?2或1 D．?1或2【答案】A【解析】【解答】解：求導得f'x=3解得：m=?2或m=1，當m=?2時，f'由于x∈?1,1，f'x=?6+6x所以函數(shù)在x=1時有極小值，當m=1時，f'由于x∈?1,1，f'x=3?3x所以函數(shù)在x=1時有極大值，故舍去m=1，故答案為：A.【分析】先求導可得f'二、多選題9．已知函數(shù)fxA．若fx在2,+∞上單調(diào)遞增，則實數(shù)aB．若fx在0,2上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是C．當a=2,fx在區(qū)間k?1,k+1上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍是D．若fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,2，則a=6【答案】A,D【解析】【解答】解：由函數(shù)fx=12x2?alnx+xA、因為fx在2,+所以f'x≥0在2,+∞上恒成立，即分離出參數(shù)a，可得x2+x≥a在又因為二次函數(shù)y=x2+x所以在2,+∞上y所以a≤6，故A正確.B、因為fx在0,2所以f'x<0在0,2上有解，即x分離出參數(shù)a，可得x2+x<a在又因為二次函數(shù)y=x2+x所以在0,2上ymin所以a>0，故B錯誤.C、當a=2時，f'令f'x=0因為fx在區(qū)間k?1,k+1所以導數(shù)f'x在區(qū)間則k?1>0k?1<1<k+1，解得：1<k<2對于選項D：因為fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,2所以x=2是f'x=0解得：a=6，故D正確.故答案為：AD.【分析】由fx在2,+∞上單調(diào)遞增，可得f'x≥0在2,+∞上恒成立，分離出參數(shù)可得x2+x≥a，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實數(shù)a的范圍即可判斷A；利用fx在0,2上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可得f'x<0在0,2上有解，分離出參數(shù)x2+x<a，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實數(shù)a的范圍即可判斷B；當a=2時，得出f'x=x?1x+210．在銳角△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且c+b=2acosA．A=2BB．角B的范圍是0C．若∠BAC的平分線交BC于D，AD=2，sinB=3D．ca的取值范圍是【答案】A,C,D【解析】【解答】解：利用正弦邊化角可得sinC+所以sinB=sinAcosB?cosA所以B=A?B?A=2B，故A正確；B、由上0<B<π20<2B<C、如下圖示，設∠B=∠BAD=∠CAD=θ，則∠ADC=2θ，∠ACD=π由AD=2，則c=AB=2ADcosθ=4cosθ，且bsin所以1b+而sinθ=35，且π6<θ<D、已知如圖所示：

由ca=sin而t=cosB∈(22,32)，且故答案為：ACD【分析】利用正弦定理可得sinB=sin(A?B)，結合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷A；由A結論及三角形內(nèi)角和列不等式即可判斷B；設∠B=∠BAD=∠CAD=θ，則∠ADC=2θ，∠ACD=π?3θ，可得11．已知球O是棱長為2的正方體ABCD?A1BA．當P為B1C1中點時，直線DCB．當三棱錐P?B1CC．PM?PND．MN?B【答案】A,C,D【解析】【解答】解：取線段BC的中點Q，連接DQ,C1Q,PQA、已知P為線段B1C1中點，結合正方體的性質(zhì)可知，PQ//C則四邊形DD1PQ則直線DC1與D1容易得DC則在△C1DQ則直線DC1與D1B、連接CD1，設點P到平面B1C1容易得Rt△B1由題意可得VP?B1由正方體的性質(zhì)可知，B1C1又CD1?平面DC又CD1⊥DC1，B1C1∩D因CD1=22，則點C,D因BC//B1C1，BC?平面DB1C1同理可得A1D1因點P為該正方體表面上的一動點，則點P的軌跡為線段BC,A1DC、依題意可知O即為正方體的中心如圖所示：PM=PO又因為MN為球O的直徑，所以OM+即可得PM?又易知當點P為正方體側(cè)面的中心時，PO最小，最小值為1，則PM?PN的最小值為D、MN=46則當cosMN,BC1故答案為：ACD【分析】取線段BC的中點Q，利用平行公理可得D1P//DQ，在△C1DQ中利用余弦定理可得cos∠C1DQ=105即可判斷A；先利用等體積可得d=2，再利用線面垂直的判定定理可得三、填空題12．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知b+csinB?sinC=a?csinA，△ABC的面積S=3，點D是線段AB的中點，點E在線段BC上，且BE=2EC，線段CD與線段AE【答案】2【解析】【解答】解：已知b+csin由正弦定理可得b+cb?c=a?c故cosB=a2+c2?又因為S△ABC=1已知如圖所示：

由題意可得BE=23BC因為A，E，M三點共線，故可設BM=λBE又因D，C，M三點共線，故23λ+21?λ所以BM=因為BG=所以GM=于是GM=1兩邊平方得：144GM2當且僅當c=2a=22故144GM2≥8所以GM的最小值為26故答案為：26【分析】先利用正弦定理進行邊角互化可得a2+c2?b2=ac，再利用余弦定理可得B=π13．不等式1x＜1的解集為【答案】（1，+∞）∪（﹣∞，0）【解析】【解答】解：原不等式等價于x?1x所以不等式的解集為（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案為：（1，+∞）∪（﹣∞，0）【分析】首先移項通分，等價變形為整式不等式解之14．已知全集U=R，實數(shù)a,b滿足a>b>0，集合M=xb<x<a+b2，【答案】x【解析】【解答】解：因為N={xab<x<a}，則?又a＞b＞0，所以b<ab<a+b故答案為：xb<x≤【分析】根據(jù)補集的運算先求出?UN=xx≤ab或x≥四、解答題15．在△ABC中，角A，B，C，所對邊分別為a，b，c，已知acosA+a（1）求C;（2）若D為AB邊的中點，且AB=1，CD=52，求【答案】（1）解：因為acosA+asinA=bcos則12所以sin2A?cos2A=sin所以2A?π4=2B?π4+2kπ，k∈Z，

或2A?π4又因為a≠b，所以A≠B，

所以A+B=3π4，

則（2）解：在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC因為D為AB邊的中點，

所以2CD所以4(所以5=b2②-①得：ab=2所以S△ABC???????【解析】【分析】（1）由正弦定理將邊轉(zhuǎn)換角，再結合二倍角公式和輔助角公式以及三角形中邊角關系、三角形內(nèi)角和定理，從而得出角C的值.（2）利用余弦定理和中線的性質(zhì)，結合平面向量基本定理和數(shù)量積求向量的模的公式以及數(shù)量積的運算律，從而得出ab的值，再結合三角形的面積公式得出?ABC的面積.（1）因為acosA+asin則12所以sin2A?cos所以2A?π4=2B?π4+2kπ，k∈Z，或2A?又因為a≠b，所以A≠B，所以A+B=3π4，故（2）在△ABC中由余弦定理得：AB2=AC因為D為AB邊的中點，所以2CD所以4(所以5=b2②-①得：ab=2所以S△ABC16．如圖1，已知橢圓Γ的方程為x2a2（1）求橢圓Γ的方程；（2）如圖2，若P是橢圓τ上一點，射線AP，BP分別交橢圓Γ于M，N，連接AN，BM（P，M，N均在x軸上方）．求證：NB，MA斜率之積kNB（3）在（2）的條件下，若AN//BM，且兩條平行線的斜率為k(k>0)求正數(shù)k的值．【答案】（1）解：由橢圓τ:x24+y22設橢圓Γ的半焦距為c，由已知c=2，2a所以a=22，b所以橢圓Γ的方程為x2（2）解：設P(m,n)，則m24+n22=1，NB因為A(?2,0),B(2,0)，kNB=n所以kNB所以NB，MA斜率之積kNB?k（3）解：設N(x1,y1設直線AN方程為y=k(x1+2)，直線BM聯(lián)立y=k(x1+2)聯(lián)立y=k(x2?2)因為x1+x所以x1,?x2，則x1kNB整理得(2k(2k解得k2=1所以k=6【解析】【分析】（1）利用橢圓是幾何性質(zhì)列關于a,b,c的關系式，即可求解；（2）設點P(m,n)坐標，用斜率的公式可得kNB（3）設N(x1,（1）由橢圓τ:x24+y22設橢圓Γ的半焦距為c，由已知c=2，2a所以a=22，b所以橢圓Γ的方程為x2（2）設P(m,n)，則m24+n22=1，NB因為A(?2,0),B(2,0)，kNB=n所以kNB所以NB，MA斜率之積kNB?k（3）設N(x1,y1設直線AN方程為y=k(x1+2)，直線BM聯(lián)立y=k(x1+2)聯(lián)立y=k(x2?2)因為x1+x所以x1,?x2，則x1kNB整理得(2k(2k解得k2=1所以k=617．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，AB//DC，∠ABC=60°，PA=AB=2DC=2，M是PB的中點，N是（1）證明：平面AMD⊥平面PBC；（2）若異面直線NA和PB垂直，求二面角N?MA?C的正弦值.【答案】（1）證明：由題知，BA⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，因為PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AD⊥PB，又PA=AB,M是PB中點，所以AM⊥PB，又AM∩AD=A,AM,AD?平面AMD，所以PB⊥平面AMD，又PB?平面PBC，所以平面AMD⊥平面PBC.（2）解：由題知，以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：過C作CE⊥AB，因為∠ABC=60°，所以CE=3則A0,0,0,M1,0,1則PB?AN=又PN=λPC，即所以a=λ,b=3所以a=c=23,b=則AM?設平面AMN的一個法向量m=平面AMC的一個法向量n=則AM??m?=又AM?n=取x2=3令平面AMN與平面AMC的夾角為θ，則cosθ=所以sinθ=即二面角N?MA?C的正弦值為77【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥AD，再利用等腰三角形三線合一可得AM⊥PB，再利用面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題目建立空間直角坐標系，設出點Na,b,c，利用NA和PB垂直以及N在PC上，可得N23,233,23，再利用空間向量可得平面（1）由題知，BA⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，因為PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AD⊥PB，又PA=AB,M是PB中點，所以AM⊥PB，又AM∩AD=A,AM,AD?平面AMD，所以PB⊥平面AMD，又PB?平面PBC，所以平面AMD⊥平面PBC.（2）由題知，以A為原點，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，過C作CE⊥AB，因為∠ABC=60°，所以CE=3則A0,0,0,M1,0,1則PB?AN=又PN=λPC，即所以a=λ,b=3所以a=c=23,b=則AM?設平面AMN的一個法向量m=平面AMC的一個法向量n=則AM??m?=又AM?n=取x2=3令平面AMN與平面AMC的夾角為θ，則cosθ=所以sinθ=即二面角N?MA?C的正弦值為7718．小張同學入讀某大學金融專業(yè)，過完年剛好得到紅包20000元，她計劃以此作為啟動資金進行理財投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投