人教版2021年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊期末幾何培優(yōu)集訓(xùn)題1．如圖，已知∠3＝∠B，且∠AEF＝∠ABC．（1）求證：∠1+∠2＝180°；（2）若∠1＝60°，∠AEF＝2∠FEC，求∠ECB的度數(shù)．2．如圖，E，G是分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)，D是BC上的點(diǎn)，連接EF，AD，DG，如果AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）判斷AD與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若DG是∠ADC的平分線，∠2＝145°，求∠B的度數(shù)．3．如圖，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．（1）求證：AB∥DE；（2）AF與DC有什么位置關(guān)系？為什么？（3）若∠B＝68°，∠C＝46°，求∠2的度數(shù)．4．如圖，已知AD∥EF，∠2＝50°．（1）求∠3的度數(shù)；（2）若∠1＝∠2，問：DG∥BA嗎？請(qǐng)說明理由；（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度數(shù)．5．如圖，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD與BC平行嗎？請(qǐng)說明理由；（2）AB與EF的位置關(guān)系如何？為什么？（3）若AF平分∠BAD，試說明：∠E+∠F＝90°．6．已知：直線GH分別與直線AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．EM平分∠BEF，F(xiàn)N平分∠CFE，并且EM∥FN．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)角，使寫出的每個(gè)角的度數(shù)都為135°．7．已知：如圖①，AB∥CD，∠1+∠3與∠2的關(guān)系是；如圖②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5與∠2+∠4的關(guān)系是，證明你的結(jié)論．說明理由：如圖③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7與∠2+∠4+∠6的關(guān)系是；如圖④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）與∠2+∠4+∠6+…+∠2n的關(guān)系．8．如圖，直線AB∥CD，直線l與直線AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是射線EA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)E），將△EPF沿PF折疊，使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處．①若∠PEF＝48°，則∠EFC的度數(shù)為．②若∠PEF＝48°，點(diǎn)Q恰好落在其中一條平行線上，則∠EFP的度數(shù)為．③若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，則∠EFP的度數(shù)為．9．如圖（1），直線AB∥CD，點(diǎn)P在兩平行線之間，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，連接PE，PF．（1）∠PEB，∠PFD，∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系是，并說明理由．（2）如圖（2），若點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，∠PEB，∠PFD，∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系是（不需說明理由）（3）如圖（3），在圖（1）基礎(chǔ)上，P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若設(shè)∠PEB＝x°，∠PFD＝y(tǒng)°．則∠P1＝（用x，y的代數(shù)式表示），若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2，P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，則∠Pn＝．（4）科技活動(dòng)課上，雨軒同學(xué)制作了一個(gè)圖（5）的“飛旋鏢”，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)∠PAC＝28°，∠PBC＝30°，他很想知道∠APB與∠ACB的數(shù)量關(guān)系，你能告訴他嗎？說明理由．10．如圖，已知兩條射線OM∥CN，動(dòng)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在射線OM、CN上，且∠C＝∠OAB＝108°，F(xiàn)在線段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出與∠AOC相等的角，并說明理由；（2）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC與∠OFC的度數(shù)比是否隨著AB位置的變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值；（3）在平行移動(dòng)AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC＝2∠OBA？若存在，請(qǐng)求出∠OBA度數(shù)；若不存在，說明理由．11．珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若兩燈發(fā)出的射線AC與BC交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．點(diǎn)D在∠ABC內(nèi)，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，連接DE、CD．（1）如圖1，連接AE，若∠AED＝∠A+∠D，求證：AB∥CD；（2）在（1）的結(jié)論下，若過點(diǎn)A的直線MA∥ED；①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，猜想并驗(yàn)證∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，猜想并驗(yàn)證∠MAB與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)F為線段AC上一點(diǎn)，連接EF，求證：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）如圖3，在（2）的條件下，在射線AB上取點(diǎn)G，連接EG，使得∠GEF＝∠C，當(dāng)∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF時(shí)，求∠C的度數(shù)．14．如圖，已知AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，點(diǎn)P在AC上，PE⊥PF于點(diǎn)P．（1）如圖一，①AC與BD平行嗎？為什么？②說明∠APE＝∠PFC．（2）如圖二，若PM平分∠APE交AB于M，PN平分∠APF交AB于N，求∠MPN的度數(shù)．15．（1）如圖1，∠1＝∠3，∠E＝∠2，求證：CD∥AB．（2）如圖2，已知CD∥AB，∠MFN＝120°，直線HI交∠CMF、∠FNB的角平分線分別于點(diǎn)H、I，求∠H﹣∠I的值．（3）如圖3，已知CD∥AB，∠MFN＝α°，∠4＝∠CMF，∠5＝∠BNF，直接寫出∠H﹣∠I的值為（用α表示）．16．（1）如圖1，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)．小明想到了以下方法（不完整），請(qǐng)?zhí)顚懸韵陆Y(jié)論的依據(jù)：如圖1，過點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（）∴∠2+∠PFD＝180°．（）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD外，問∠PEA，∠PFC，∠P之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠P＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)是．（直接寫出答案，不需要寫出過程）參考答案1．（1）證明：∵∠3＝∠B，∠AEF＝∠ABC，∴∠3＝∠AEF，∴AB∥FD，∴∠2＝∠FDE，∵∠1+∠FDE＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝60°，∴∠2＝180°﹣60°＝120°，∵∠AEF＝2∠FEC，∠AEF+∠FEC+∠2＝180°，∴3∠FEC+120°＝180°，∴∠FEC＝20°，∵∠AEF＝∠ABC，∴EF∥BC，∴∠CEF＝∠ECB，∴∠ECB＝20°．2．解：（1）AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°，∴∠1＝35°，∵DG是∠ADC的平分線，∴∠ADC＝2∠1＝70°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝110°，∵AD∥EF，∴∠EFB＝∠ADB＝110°，∵∠BEF＝180°﹣∠2＝35°，∴∠B＝180°﹣∠EFB﹣∠BEF＝180°﹣110°﹣35°＝35°．3．（1）證明：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠DEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1＝∠B（已知），∴∠DEC＝∠B（等量代換），∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）；（2）解：AF∥DC，理由如下：∵AB∥DE（已證），∴∠2＝∠AGD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠2＝∠3（已知），∴∠AGD＝∠3（等量代換），∴AF∥DC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；（3）∵AF∥DC，∠C＝46°，∴∠AFB＝∠C＝46°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠B＝68°，∠2+∠B+∠AFB＝180°，∴∠2＝180°﹣∠B﹣∠AFB＝180°﹣46°﹣68°＝66°．4．解：（1）∵AD∥EF，∴∠3＝∠2＝50°；（2）DG∥BA，理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴DG∥BA；（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠GAD＝20°，∴∠AGD＝180°﹣∠GAD﹣∠1＝110°．5．解：（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．6．（1）證明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．∵EM平分∠BEF，F(xiàn)N平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度數(shù)都為135°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度數(shù)都為135°．7．解：如圖①，AB∥CD，∠1+∠3與∠2的關(guān)系是∠2＝∠1+∠3；如圖②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5與∠2+∠4的關(guān)系是∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5，證明：作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥DC∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEM＝∠EMN，∠NMG＝∠MGH，∠HGD＝∠5，∵∠2＝∠MEF+∠FEM，∠3＝∠EMN+∠NMG，∠4＝∠MGH+∠HGD，∴∠2+∠4＝∠MEF+∠FEM+∠MGH+∠HGD＝∠BEF+∠EMN+∠NMG+∠HGD＝∠1+∠3+∠5；如圖③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7與∠2+∠4+∠6的關(guān)系是∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；如圖④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）與∠2+∠4+∠6+…+∠2n的關(guān)系為：∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）．故答案為：∠2＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5；∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）8．解：①∵AB∥CD，∴∠PEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝132°；故答案為：132°．②分兩種情況：如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，F(xiàn)P⊥AB∴∠EFP＝90°﹣∠PEF＝42°；如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上，∵將△EPF沿PF折疊，使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處，∴PF垂直平分EQ，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠QFE＝180°﹣∠PEF＝132°，∴∠PFE＝∠QFE＝66°；故答案為：42°或66°．③分兩種情況：如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB，CD之間時(shí)，設(shè)∠PFQ＝x，由折疊可得∠EFP＝x，∵∠CFQ＝∠PFC，∴∠PFQ＝∠CFQ＝x，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴75°+x+x+x＝180°，∴x＝35°，∴∠EFP＝35°；如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時(shí)，設(shè)∠CFQ＝x，由∠CFQ＝∠PFC得，∠PFC＝2x，∴∠PFQ＝3x，由折疊得，∠PFE＝∠PFQ＝3x，∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2x+3x+75°＝180°，∴x＝21°，∠EFP＝3x＝63°；綜上所述，∠EFP的度數(shù)是35°或63°．故答案為：35°或63°．9．解：（1）∠PEB，∠PFD，∠P滿足的數(shù)量關(guān)系是∠P＝∠PEB+∠PFD理由如下：過點(diǎn)P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠PEB＝∠EPH，∠PFD＝∠FPH而∠EPF＝∠EPH+∠FPH∴∠EPF＝∠PEB+∠PFD（2）如圖（2），若點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，∠PEB，∠PFD，∠P滿足的數(shù)量關(guān)系是∠PFD＝∠PEB+∠P（不需說明理由）（3）∠P1＝（x+y）°（用x，y的代數(shù)式表示）∠Pn＝（）n（x+y）°．（4）解：∠APB＝∠C+58°．理由如下：過A、B分別作直線AE、BF，使AE∥BF．如圖，由（1）規(guī)律可知∠C＝∠1+∠2．∠APB＝∠PAE+∠PBF＝（∠PAC+∠1）+（∠PBC+∠2）＝∠PAC+∠PBC+（∠1+∠2）＝∠C+58°10．解：（1）∠ABC，∠BAM．理由如下：∵OM∥CN，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣108°＝72°，∠ABC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，又∵∠BAM＝∠180°﹣∠OAB＝180°﹣108°＝72°，∴與∠AOC相等的角是∠ABC，∠BAM；（2）不變．理由：∵OM∥CN，∴∠OBC＝∠AOB，∠OFC＝∠AOF，∵OB平分∠AOF，∴∠AOF＝2∠AOB，∴∠OFC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝；（3）不存在．理由：∵∠OEC＝∠EOA＝2∠BOF+∠EOF∵OM∥CN，∠C＝∠OAB＝108°，∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∴∠C+∠ABC＝180°，∴∠OBA＝∠BOC2∠OBA＝2∠BOC＝2（∠BOF+2∠EOF）∵2∠BOF+∠EOF≠2（∠BOF+2∠EOF）∴在平行移動(dòng)AB的過程中，不存在某種情況，使∠OEC＝2∠OBA，故不存在此情況．11．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜t＜90時(shí)，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當(dāng)90＜t＜150時(shí)，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，當(dāng)t＝30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．12．解：（1）如圖1，過E作EF∥AB，則∠A＝∠AEF，∵∠AED＝∠A+∠D，∴∠D＝∠AED﹣∠A，又∵∠DEF＝∠AED﹣∠AEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）①如圖2，連接AE，∵AM∥DE，∴∠MAE＝∠AED，∵∠AED＝∠BAE+∠D，∠MAE＝∠BAE+∠BAM，∴∠D＝∠BAM；②如圖3，延長MA交BC于F，∵M(jìn)A∥ED，∴∠DEC＝∠MFB，∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCE，∴∠D＝∠BAF，又∵∠BAF+∠MAB＝180°，∴∠CDE+∠MAB＝180°．13．（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠BAE，∴AB∥CD；（2）證明：過F作FM∥AB，如圖，∵AB∥CD，∴AB∥FM∥CD，∴∠BAF+∠AFM＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；（3）解：設(shè)∠GEF＝∠C＝x°，∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，∴∠GED＝2x°，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣x°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝BAC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，由（1）知：AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AEF＝35°，∴90﹣x+x﹣35+2x＝180，解得：x＝50，即∠C＝50°．14．解：（1）①AC與BD平行，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D+∠C＝180°，∴AC∥BD；②∵PE⊥PF，∴∠EPF＝90°，∴∠APE+∠CPF＝180°﹣∠EPF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠PFC+∠CPF＝90°，∴∠APE＝∠PFC．（2）∵PM平分∠APE，PN平分∠APF，∴∠MPE＝APE，∠NPF＝APF，∴∠EPN＝∠EPF﹣∠NPF＝90°﹣∠APF，∴∠MPN＝APE+90°﹣APF＝90°﹣（∠APF﹣∠APE）＝90°﹣∠EPF＝90°﹣45°＝45°．答：∠MPN的度數(shù)為45°．15．解：（1）證明：∵∠E＝∠2，∴EM∥PN，∴∠1＝∠DPN，∵∠1＝∠3，∴∠DPN＝∠3，∴CD∥AB；（2）過H作HE∥CD，過F作FG∥CD，過I作IK∥CD，如圖4：∵CD∥AB，∴CD∥HE∥FG∥IK∥AB，∵M(jìn)H平分∠CMF，NI平分∠BNF，設(shè)∠CMH＝∠FMH＝m°，∠FNI＝∠BNI＝n°，∴∠DMF＝∠MFG＝180°﹣2m°，∠BNF＝∠GFN＝2n°，∴∠MFN＝∠MFG+∠GFN＝180°﹣2m°﹣2n°，∵∠MFN＝120°，∴180°﹣2m°+2n°＝120°，∴m°﹣n°＝30°，又CD∥HE∥FG∥IK∥AB，∴∠EHI＝∠HIK，∴∠MHI﹣∠HIN＝∠MHE﹣∠KIN＝∠C