通訊原理

第六章：解調(diào)性能分析1/sundae_meng大綱線性調(diào)變接收性能DSB/AM/SSB訊雜比基帶系統(tǒng)線性雙邊帶調(diào)變(DSB)的解調(diào)性能單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能振幅調(diào)變(AM)的解調(diào)性能角度調(diào)制中的雜訊在雜訊中解調(diào)輸出雜訊頻譜輸出雜訊比利用去強(qiáng)提高性能2/sundae_meng信號與雜訊假設(shè)信號功率是有限的。加入的雜訊，其頻寬B>W，且其雙邊功率頻譜密度為。3/sundae_meng訊雜比-基帶系統(tǒng)為了有一個(gè)比較系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)，我們將所得之信號通過一個(gè)低頻濾波器，其頻寬為W，以過濾多餘的雜訊，此一系統(tǒng)稱為基頻帶系統(tǒng)。4/sundae_meng訊雜比-基帶系統(tǒng)在頻寬B內(nèi)的雜訊總功率為如此可得濾波器輸入訊雜比(SNR)為5/sundae_meng訊雜比-基帶系統(tǒng)假設(shè)訊息信號m(t)是有限頻寬，則一個(gè)簡單的低通濾波器可以用來加強(qiáng)訊雜比，如圖所示。則通過濾波器的雜訊功率為6/sundae_meng訊雜比-基帶系統(tǒng)故濾波器輸出的訊雜比為濾波器將訊雜比加大7/sundae_meng訊雜比-基帶系統(tǒng)由於加了濾波器，所以頻帶以外的雜訊全被濾波器濾除，因此濾波器輸出的訊雜比可作為系統(tǒng)性能的合理標(biāo)準(zhǔn)。此訊雜比的參考標(biāo)準(zhǔn)在以下的討論中將廣被使用。8/sundae_meng雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能我們現(xiàn)在來計(jì)算同調(diào)雙邊帶(DSB)解調(diào)器的雜訊性能。如下圖，圖中前面加一預(yù)檢濾波器的同調(diào)解調(diào)器，這就如前面章節(jié)所討論的中頻(IF)濾波器，濾波器的輸入是已調(diào)制信號與雙邊功率頻譜密度的白色高斯雜訊。9/sundae_meng雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能其中功率雜訊10/sundae_meng雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能由於發(fā)射信號假定為雙邊帶調(diào)制信號，接收信號可寫成其中m(t)為訊息，而

用來標(biāo)示載波相位(或時(shí)間原點(diǎn))的不確定性。若預(yù)檢濾波器的頻寬為2W，且雙邊帶調(diào)制信號全部通過，則在預(yù)檢濾波器的輸出可展開成同相和正交成分其中雜訊之功率11/sundae_meng雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能其中信號功率為，雜訊功率為在乘法器輸入端的預(yù)檢訊雜比為12/sundae_meng後驗(yàn)訊雜比，須先計(jì)算由於倍頻項(xiàng)被後驗(yàn)濾波器移除，故解調(diào)輸出為後驗(yàn)信號功率為後驗(yàn)雜訊功率為雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能13/sundae_meng雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能在解調(diào)器輸入處的加成性雜訊導(dǎo)致在解調(diào)器輸出處的加成性雜訊，這是因?yàn)榫€性性質(zhì)。故後驗(yàn)訊雜比為因上式可改寫成這等同於理想的基頻帶系統(tǒng)。14/sundae_meng雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)(DSB-SC)的解調(diào)性能

與的比值稱為檢波增益(detectiongain)，常用來作為解調(diào)器優(yōu)劣的指標(biāo)。而對同調(diào)雙邊帶解調(diào)器而言，檢波增益為15/sundae_meng範(fàn)例6-1考慮一信號

經(jīng)由DSB-SC調(diào)變器調(diào)變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中

信號頻寬

，載波頻率

。請計(jì)算預(yù)檢訊雜比

，後驗(yàn)訊雜比，及檢波增益

/sundae_meng16範(fàn)例6-1/sundae_meng17範(fàn)例6-1因此預(yù)檢訊雜比為：解調(diào)器輸出訊雜比為：檢波增益為：/sundae_meng18單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能對於單邊帶調(diào)制系統(tǒng)，預(yù)檢濾波器的輸入可寫成其中代表的希爾伯(Hilbert)轉(zhuǎn)換，而正號代表下邊帶的單邊帶調(diào)制，負(fù)號代表上邊帶的單邊帶調(diào)制。對單邊帶調(diào)制而言，預(yù)檢帶通濾波器的最小頻寬為W19/sundae_meng將雜訊對中心頻率展開，則預(yù)檢濾波器的輸出可寫成即所以單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能20/sundae_meng單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能由圖可知雜訊功率為21/sundae_meng單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能因?yàn)榻庹{(diào)是將乘上解調(diào)載波，再經(jīng)低通濾波來達(dá)成。所以我們可用雙邊帶解調(diào)器來解決單邊帶解調(diào)的問題，結(jié)果可得22/sundae_meng單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能因此我們對下邊帶單邊調(diào)制作解調(diào)，則分別可算出後驗(yàn)濾波器的雜訊功率為後驗(yàn)濾波器的信號功率為故後驗(yàn)訊雜比為23/sundae_meng單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能預(yù)檢濾波器信號功率為經(jīng)由前面章節(jié)得到一函數(shù)與希爾伯轉(zhuǎn)換為正交，若，則所以預(yù)檢濾波器信號功率可表示成且函數(shù)及希爾伯轉(zhuǎn)換有相同功率，所以24/sundae_meng單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能同理，預(yù)檢和後驗(yàn)雜訊有相同的功率預(yù)檢訊雜比為所以檢波增益為因此，雙邊帶調(diào)制和單邊帶調(diào)制的同調(diào)解調(diào)和基帶系統(tǒng)有相同的性能。不過在此假設(shè)有完美的同調(diào)解調(diào)。當(dāng)有相位誤差情況下，則單邊帶解調(diào)的效應(yīng)會比雙邊帶解調(diào)嚴(yán)重許多。25/sundae_meng範(fàn)例6-2考慮一信號

經(jīng)由SSB-SC調(diào)變器調(diào)變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中

信號頻寬

，載波頻率

。請計(jì)算預(yù)檢訊雜比

，後驗(yàn)訊雜比，及檢波增益

/sundae_meng26範(fàn)例6-2輸入信號為：如同DSB-SC，在預(yù)檢情況下，其信號功率和雜訊功率與輸出時(shí)相同，因此為：/sundae_meng27範(fàn)例6-2因此預(yù)檢訊雜比為：後驗(yàn)雜訊比為：檢波增益為：/sundae_meng28振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：同調(diào)檢波振幅調(diào)制信號其中a為調(diào)制指數(shù)，而利用和雙邊帶調(diào)制系統(tǒng)一樣的推導(dǎo)得到有雜訊時(shí)解調(diào)輸出為29/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：同調(diào)檢波中不會出現(xiàn)直流項(xiàng)，理由有二：因?yàn)橹绷黜?xiàng)中不包含來源訊息。大部份實(shí)用的振幅解調(diào)器並非直流耦合，故實(shí)際系統(tǒng)輸出並不含直流部份。30/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：同調(diào)檢波由輸出中可得到信號功率為而雜訊功率為所以後驗(yàn)訊雜比為31/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：同調(diào)檢波在預(yù)檢的情況下，其信號功率為而雜訊為所以預(yù)檢訊雜比為32/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：同調(diào)檢波因此檢波增益為振幅解調(diào)傳輸系統(tǒng)的效率定義可表示成若效率能達(dá)到100%，則振幅調(diào)制和理想雙邊帶調(diào)制及單邊帶調(diào)制系統(tǒng)具有相同的後驗(yàn)雜訊比，但實(shí)際上卻不然。33/sundae_meng範(fàn)例6-3考慮一信號

經(jīng)由AM調(diào)變器調(diào)變後，在一帶有雜訊的通道上被傳送，雜訊的功率頻譜如圖所示，其中

信號頻寬

，載波頻率

。請計(jì)算預(yù)檢訊雜比

，後驗(yàn)訊雜比，及檢波增益

/sundae_meng34範(fàn)例6-3/sundae_meng35

；輸出的信號功率與雜訊功率分別為在預(yù)檢的情況下，信號功率與雜訊功率分別為範(fàn)例6-3因此預(yù)檢訊雜比為：後驗(yàn)訊雜比比為：檢波增益為：/sundae_meng36範(fàn)例6-4在調(diào)變指數(shù)為0.5且訊號功率為0.1下運(yùn)作的振幅調(diào)變系統(tǒng)，其效率為而後驗(yàn)訊雜比為檢波增益為37/sundae_meng範(fàn)例6-4低於需要相同頻寬的理想系統(tǒng)16dB以上。不過，使用振幅調(diào)制的動機(jī)並非是雜訊性能，而是可使用簡單的包跡檢波解調(diào)。效率較差的原因當(dāng)然是總發(fā)射功率中一大部分用在載波分量上，而此分量不是訊息信號的函數(shù)，因而不帶任何訊息。38/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：包跡檢波假設(shè)接收信號為加上窄頻帶雜訊，因此並且可依下方向量圖求得39/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：包跡檢波其中且40/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：包跡檢波假設(shè)包跡檢波器為交流偶合使得其中為包跡振幅的平均值。首先考慮訊雜比很大時(shí)，則因此所以由上式可知，當(dāng)訊雜比很大時(shí)，則包跡檢波器的輸出和同調(diào)檢波器的輸出相同。41/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：包跡檢波當(dāng)訊雜比很小時(shí)，會因?yàn)榘E檢波器的非線性造成嚴(yán)重?fù)p失，此種效應(yīng)稱為門限效應(yīng)(thresholdeffect)。在屬於線性的同調(diào)檢波器中，如果信號和雜訊在檢波器輸入是相加的，則在輸出也是相加的。也就是說訊雜比低時(shí)，信號仍維持不變。基於這點(diǎn)，當(dāng)訊號大時(shí)，包跡檢波通常比較適合。42/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：平方律檢波器平方律檢波器可用平方元件後加低通濾波器來實(shí)現(xiàn)，如下圖所示。此檢波器對振幅調(diào)制信號的響應(yīng)為令並完成平方運(yùn)算可得43/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：平方律檢波器假設(shè)檢波器輸出為交流耦合，故輸出信號和雜訊成份分別為和信號成份功率為雜訊功率為44/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：平方律檢波器因此總預(yù)檢雜訊功率為平方律檢波器輸出的訊雜比為45/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：平方律檢波器將上式與基帶系統(tǒng)比較。弦波調(diào)制之振幅系統(tǒng)總發(fā)射功率為並以取代可得46/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：平方律檢波器此式很清楚的說明了門限效應(yīng)，當(dāng)很大時(shí)而對於小的值47/sundae_meng振幅調(diào)制系統(tǒng)(AM)：平方律檢波器48/sundae_meng大綱線性調(diào)變接收性能DSB/AM/SSB訊雜比基帶系統(tǒng)線性雙邊帶調(diào)變(DSB)的解調(diào)性能單邊帶調(diào)制系統(tǒng)(SSB)的解調(diào)性能振幅調(diào)變(AM)的解調(diào)性能角度調(diào)制中的雜訊在雜訊中解調(diào)輸出雜訊頻譜輸出雜訊比利用去強(qiáng)提高性能49/sundae_meng/sundae_meng50前言前面已討論過線性調(diào)變系統(tǒng)中雜訊的效應(yīng)，現(xiàn)在將注意力轉(zhuǎn)移到角度調(diào)變。我們會發(fā)現(xiàn)在有考慮雜訊效應(yīng)時(shí)，線性調(diào)變和角度調(diào)變間有極大的差異。甚至在PM和FM間也有顯著的差異。最後，還會瞭解在雜訊背景下，F(xiàn)M系統(tǒng)可提供比線性調(diào)制和PM系統(tǒng)更大的改善性能。/sundae_meng51在雜訊中解調(diào)考慮系統(tǒng)，預(yù)檢濾波器的頻寬，可由卡森準(zhǔn)則決定。換言之，其中W為訊息信號的頻寬D為偏差比，即尖峰頻率偏移除以W。/sundae_meng52在雜訊中解調(diào)預(yù)檢濾波器的輸入假設(shè)為經(jīng)調(diào)制的載波加上雙邊功率頻譜密度為的白色雜訊N(t)。即在雜訊中解調(diào)-PM調(diào)變訊號對PM調(diào)變訊號其中為相位偏移常數(shù)，單位為弳度/每單位而為經(jīng)正規(guī)化使得的尖峰值為1的訊息信號。/sundae_meng53在雜訊中解調(diào)-FM調(diào)變訊號對FM的情況其中為偏移常數(shù)，單位為Hz/每單位。若的最大值不為1(一般是如此)，則由定義所得的比例常數(shù)K包含在或中。PM和FM二種情況我們會一起分析，之後再以適當(dāng)函數(shù)代入

取得各自的結(jié)果。/sundae_meng54在雜訊中解調(diào)預(yù)檢濾波器的輸出可寫成

其中/sundae_meng55在雜訊中解調(diào)(a)式可寫成

其中為雷萊分布雜訊包跡，為均勻分布相位。/sundae_meng56在雜訊中解調(diào)以取代，則(b)式可寫成即/sundae_meng57在雜訊中解調(diào)上式可寫成其中為因雜訊產(chǎn)生的相位偏移，可表示成/sundae_meng58/sundae_meng59在雜訊中解調(diào)因?yàn)榧又羵魉陀嵪⑿盘柕闹校蕿樗紤]的雜訊成份。當(dāng)時(shí)預(yù)檢濾波器輸出的相量如圖所示，若表成/sundae_meng60在雜訊中解調(diào)則鑑別器輸入的相位偏移為若預(yù)檢訊雜大，則在大部分時(shí)間上。對此情況(c)式變成在雜訊中解調(diào)/sundae_meng61在雜訊中解調(diào)鑑別器輸入的相位偏移為若預(yù)檢訊雜大使得為/sundae_meng62在雜訊中解調(diào)-若預(yù)檢訊雜比大若預(yù)檢訊雜大值得注意的是若發(fā)射信號的振幅增大，則雜訊的效應(yīng)變小。因此，即使在門限效應(yīng)之上操作，輸出雜訊仍受發(fā)射信號之振幅的影響。/sundae_meng63PM或FM訊號/sundae_meng64在雜訊中解調(diào)-若預(yù)檢訊雜比小如果預(yù)檢SNR小，則在大部分時(shí)間上，。此時(shí)的相量圖如下，在雜訊中解調(diào)如果預(yù)檢SNR小，則在大部分時(shí)間上，，則

即/sundae_meng65在雜訊中解調(diào)信號包含在中，而僅含雜訊。若預(yù)檢訊雜SNR大

預(yù)檢濾波器輸出的相位為二項(xiàng)的和，第一項(xiàng)僅含信號，第二項(xiàng)包含信號和雜訊分量/sundae_meng66在雜訊中解調(diào)信號包含在中，而僅含雜訊。若預(yù)檢訊雜SNR小時(shí)，

預(yù)檢濾波器輸出的相位

並沒有僅含信號的項(xiàng)因此FM解調(diào)器具有和AM包跡檢波器類似的門限效應(yīng)，此效應(yīng)在往後會詳細(xì)說明。/sundae_meng67/sundae_meng68在雜訊中解調(diào)假設(shè)鑑別器含有一限制器，因而對於振幅的變化並不敏感。因此(d)式中的可假設(shè)為一常數(shù)。在PM的情況下，後驗(yàn)濾波器輸出為而對FM情況則為

其中為鑑別器常數(shù)/sundae_meng69在雜訊中解調(diào)-PM當(dāng)預(yù)檢訊雜SNR大則其中/sundae_meng70在雜訊中解調(diào)-FM當(dāng)預(yù)檢訊雜SNR大則其中/sundae_meng71在雜訊中解調(diào)PM解調(diào)輸出可用訊息信號表成PM輸出信號的功率為FM解調(diào)輸出可用訊息信號表成FM輸出信號的功率為在計(jì)算輸出訊雜比前，須先求輸出雜訊的功率頻譜密度。/sundae_meng72輸出雜訊頻譜對於SNR大情形，PM與FM之鑑別器輸出雜訊的功率頻譜密度可分別由(h)式和(i)式來計(jì)算。分析的第一個(gè)步驟是令，使得和僅為雜訊和的函數(shù)，而不含信號的成分。此一假設(shè)雖能大大簡化分析程序，但似乎有太多的自由。/sundae_meng73輸出雜訊頻譜對於SNR大情形，在不假設(shè)為零下仍可進(jìn)行分析，推導(dǎo)過程會複雜許多，且可發(fā)現(xiàn)的效應(yīng)是當(dāng)時(shí)，產(chǎn)生解調(diào)輸出中的頻率成分，W為訊息信號的頻寬但此一效應(yīng)可利用與鑑別器輸出串聯(lián)的低通濾波器除去。/sundae_meng74輸出雜訊頻譜當(dāng)其中，因此/sundae_meng75輸出雜訊頻譜-PM當(dāng)且其它地方為零時(shí)(如圖所示)，則PM情況下輸出雜訊的功率頻譜密度為/sundae_meng76輸出雜訊頻譜-PM因此鑑別器輸出雜訊功率為/sundae_meng77輸出雜訊頻譜-PM信號頻率為。因?yàn)轭A(yù)檢頻寬比大，所以在鑑別器後加一頻寬的低通濾波器可改善輸出的SNR，此濾波器不影響信號，但可使輸出雜訊功率降低成/sundae_meng78輸出訊雜比-PM現(xiàn)在可輕易求出鑑別器輸出的訊雜比。對PM系統(tǒng)，鑑別器輸出SNR為定義信號功率除雜訊功率，即

/sundae_meng79輸出雜訊頻譜-FM因微分的關(guān)係，故在FM的情況下，輸出雜訊功率的計(jì)算稍微困難些。若，則，將此結(jié)果應(yīng)用在上式，則在時(shí)可得

而其它地方為零。/sundae_meng80輸出雜訊頻譜此頻譜如下圖所示。拋物線形的雜訊頻譜是因FM鑑別器的微分效應(yīng)所造成，對含雜訊之FM系統(tǒng)的性能有深遠(yuǎn)的影響。下圖中顯示，低頻訊息信號成分比高頻成分的雜訊位準(zhǔn)低。/sundae_meng81輸出雜訊頻譜-FM再次假設(shè)低通濾波器僅有足夠的頻寬讓鑑別器的訊息信號通過，則輸出雜訊功率為/sundae_meng82輸出訊雜比-FM現(xiàn)在可輕易求出鑑別器輸出的訊雜比。對FM系統(tǒng)，鑑別器輸出SNR為定義信號功率除雜訊功率，即

/sundae_meng83PM與FM之雜訊功率比較將PM與FM式寫成的形式很有用。因?yàn)閷M與FM，，故有因此，對於PM而對於FM，鑑別器輸出的雜訊功率為注意到，對PM與FM，在鑑別器輸出端的雜訊功率都與成反比。/sundae_meng84PM與線性調(diào)制比較上式顯示了PM對線性調(diào)制的改進(jìn)和相位偏移常數(shù)與調(diào)制信號的功率有關(guān)。當(dāng)PM信號的相位偏移超過徑，解調(diào)的唯一性無法達(dá)成，所以的尖峰值為，而最大值為。這比基帶改良最大達(dá)10dB左右。實(shí)際上，由於遠(yuǎn)低於最大值，所以實(shí)質(zhì)的改進(jìn)程度低很多。若加上「相位解調(diào)器的輸出為連續(xù)」的限制，則有可能超過，而解調(diào)雜訊比也隨之增加。/sundae_meng85FM與PM調(diào)制比較對FM，在鑑別器輸出端的訊雜比為信號功率除以(雜訊功率，即由於尖峰偏移

與W的比值為偏移比D，故輸出的SNR可表示成/sundae_meng86FM與PM調(diào)制比較的最大值為1。須注意由的最大值連同和決定。對FM的情況，並沒有PM中輸出SNR大小受限的情況。事實(shí)上，D似乎可無限制的增加，因而使輸出SNR增加到任意大的值。/sundae_meng87FM與PM調(diào)制比較增大SNR所付出的一個(gè)代