第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年河南省駐馬店市汝南縣雙語學(xué)校、清華園學(xué)校九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A.x+6y=10 B.x3+5=0 C.x2+3x+2=0 D.2.斐波那契螺旋線也稱為“黃金螺旋線”，它是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，科學(xué)家在自然界中發(fā)現(xiàn)存在許多斐波那契螺旋線圖案.如圖斐波那契螺旋線圖案中屬于中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.下列事件中，是必然事件的是（）A.從一副撲克牌中抽到紅桃 B.打開電視，正在播放新聞

C.兩個(gè)無理數(shù)的積是無理數(shù) D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，加熱到100℃時(shí)水沸騰4.用配方法解一元二次方程x2-6x=3，配方正確的是（）A.（x+3）2=12 B.（x-3）2=12 C.（x+3）2=3 D.（x-3）2=35.把拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A.y=3（x+2）2-5 B.y=3（x+5）2+2 C.y=3（x-2）2+5 D.y=3（x+2）2+56.如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，若∠BCD=38°，則∠ABD的大小為（）A.76°

B.52°

C.50°

D.38°7.苯（分子式為C6H6）的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的.隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)如圖1的一個(gè)苯分子中的6個(gè)碳原子形成了正六邊形的結(jié)構(gòu)，其示意圖如圖2，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心.若CD=1，則OC的長是（）A.1 B. C.2 D.38.中國象棋文化歷史久遠(yuǎn)，在圖中所示的部分棋盤中，“馬”的位置在“…”（圖中虛線）的下方，“馬”移動(dòng)一次能夠到達(dá)的所有位置已用“●”標(biāo)記，則“馬”隨機(jī)移動(dòng)一次，到達(dá)的位置在“…”上方的概率是（）

A. B. C. D.9.如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=45°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，CD的長為（）A.2

B.

C.4

D.10.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx-1與二次函數(shù)y=kx2+3的大致圖象可以是（）A. B. C. D.11.如圖，從一張腰長為90cm,頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的半徑為（）

A.30cm B.25cm C.20cm D.15cm12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.0

B.1

C.2

D.3二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。13.若關(guān)于x的方程（1-m）x2-x=0是一元二次方程，則m的值可以是

.（寫出一個(gè)即可）14.在一個(gè)不透明的袋子中有除顏色外均相同的6個(gè)白球和若干黑球，通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為30%，估計(jì)袋中黑球有

個(gè).15.如圖，有一個(gè)半徑為6cm的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為

cm2（結(jié)果保留π）.

16.邊長為1的正方形OA1B1C1的頂點(diǎn)A1在x軸的正半軸上，如圖將正方形OA1B1C1繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°得正方形OABC，使點(diǎn)B恰好落在函數(shù)y=ax2（a＜0）的圖象上，則a的值為______．

三、解答題：本題共7小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

（1）x（x-5）=x-5；

（2）x2-7x+5=0.18.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，1），B（-1，3），C（-2，4）.

（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A1B1C1；

（2）畫出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2，并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).19.(本小題10分)

已知關(guān)于x的方程kx2-3x+1=0有實(shí)數(shù)根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為x1和x2，當(dāng)x1+x2+x1x2=4時(shí)，求k的值．20.(本小題10分)

寒假期間，某校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四位老師中隨機(jī)選擇老師參加培訓(xùn).

（1）若選擇一位老師參加培訓(xùn)，則選中丁老師的概率是______；

（2）若選擇兩位老師參加培訓(xùn)，請你用列表法或畫樹狀圖法求出選擇的兩位老師中恰好有甲老師的概率.21.(本小題10分)

抖空竹是中國傳統(tǒng)文化苑中一株?duì)N爛的花朵，是國家級(jí)的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，可見于全國各地，天津、北京、遼寧、吉林、黑龍江等地尤為盛行.在學(xué)習(xí)了圓之后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們對抖空竹進(jìn)行了探究，示意圖如圖所示，已知繩AC，BD分別與空竹⊙O相切于點(diǎn)C，D，連接左右兩個(gè)繩柄A，B，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE=BF.

（1）求證：AC=BD.

（2）若AE=4，AC=8，求兩個(gè)繩柄之間的距離AB.22.(本小題10分)

在學(xué)習(xí)拋物線的過程中，我們積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對拋物線的“階梯點(diǎn)”進(jìn)行研究.定義：若拋物線上存在一點(diǎn)P，且點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和為n,則稱點(diǎn)P為此拋物線的“階梯n點(diǎn)”.

例如：點(diǎn)P（0，1）在拋物線y=x2+3x+1上，且點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和為1，則，點(diǎn)P就叫做此拋物線的“階梯1點(diǎn)”.根據(jù)以上定義，解決下列問題：

（1）若點(diǎn)P是拋物線y=x2+3x+1的“階梯6點(diǎn)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），由定義可知y=x2+3x+1，且x+y=6，所以y=6-x,

所以x+x2+3x+1=6，解得x1=1，x2=-5.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.

（2）若點(diǎn)P是拋物線y=x2-3x-2的“階梯1點(diǎn)”，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若拋物線y=x2+x+c上存在“階梯3點(diǎn)”P，請直接寫出c的取值范圍.23.(本小題12分)

綜合與實(shí)踐：

如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DE，CD，點(diǎn)M，P，N分別為DE，CD，BC的中點(diǎn)，連接PM，PN.

【觀察猜想】

（1）圖①中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；

【探究證明】

（2）把△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接MN，判斷△PMN的形狀，并證明；

【拓展延伸】

（3）把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，DE=2，BC=4，請直接寫出△PMN面積的最大值.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】C

13.【答案】2（答案不唯一）

14.【答案】14

15.【答案】（6π-9）

16.【答案】-

17.【答案】x1=5，x2=1

，

18.【答案】△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A1B1C1，如圖即為所求；

△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2，如圖2即為所求；

A2（1，2）

19.【答案】解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，原方程為-3x+1=0，

解得x=，

∴k=0符合題意,

當(dāng)k≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，

∵該一元二次方程有實(shí)數(shù)根，

∴=（-3）2-4×k×1≥0，

解得k≤,且k≠0，

綜上所述，k的取值范圍為k≤;

（2）∵x1和x2是方程kx2-3x+1=0的兩個(gè)根，

∴x1+x2=，x1x2=,k≠0，

∵x1+x2+x1x2=4，

∴+=4，

解得k=1，

經(jīng)檢驗(yàn)，k=1是分式方程的解，且符合題意，

∴k的值為1．

20.【答案】

21.【答案】（1）證明：連接OC，OD，如圖所示，

∵AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，

∴∠ACO=∠BDO=90°．

∵AE=BF，

∴AE+OE=BF+OF，即AO=BO，

在Rt△ACO和Rt△BDO中，

∵，

∴Rt△ACO≌Rt△BDO（HL）．

∴AC=BD；

（2）解：設(shè)OE=OC=x,則AO=x+4，

在Rt△ACO中，由勾股定理，得

（x+4）2=x2+82，

解得：x=6．

∴AO=10．

∴AB=20．

22.【答案】（1，5）或（-5，11）

（3，-2）或（-1，2）

c≤4

23.【答案】PM=PN;PM⊥PN

△PMN是等腰直角三角形．

證明：如圖②，連接BD，CE．

∵△ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，

∴∠BAD=∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，

∵點(diǎn)M，P，N分別是DE，CD，BC的中點(diǎn)，

∴PM，PN分別是△CDE，△BCD的中位線，

∴，，PM∥CE，PN∥BD，

∴PM=PN，∠DPM=∠