第1頁（共1頁）2025-2026學(xué)年浙江省湖州四中教育集團九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y=12x2 B．y＝22C．y=1x2 D．y＝（x+2）22．（3分）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，則OP的長可能是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）在一個不透明的袋子里有3個白球和1個紅球，除顏色外全部相同，從中任意摸出一個球，摸到白球的概率是（）A．13 B．12 C．23 4．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣5）（x+7）的圖象的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝2 D．直線x＝65．（3分）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數(shù)據(jù)如表：累計拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106158264527105615872650蓋面朝上頻率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530隨著實驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近于（）（精確到0.01）．A．0.56 B．0.54 C．0.53 D．0.526．（3分）如圖，△DBE是由△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°得到的．若AB⊥DE，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．30°7．（3分）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①任意三點可以確定一個圓；②相等的圓心角所對的弧相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；④圓內(nèi)接四邊形對角互補；⑤三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等．正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（3分）點P1（﹣1，y1），P2（52，y2），P3（6，y3）均在二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的圖象上，則y1，y2，y3A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y29．（3分）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）A．π B．2π C．24 D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB=33，點E在AB上，AEEB=12，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPEA．27-2 B．27-3 C．二．填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．11．（3分）已知拋物線y＝x2+3，它與y軸的交點坐標為．12．（3分）已知正n邊形的一個內(nèi)角為140°，則n等于．13．（3分）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝110°，則∠BCD的度數(shù)是．14．（3分）弦AB將⊙O分成1：3兩部分，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點B，D的坐標分別為（﹣2，﹣4），（2，4），點C在拋物線y=-12x2+bx的圖象上，則b的值為16．（3分）用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，你會發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)；用數(shù)學(xué)的思維思考世界，你就能探索現(xiàn)實世界的奧秘．我校和思項目化小組在研究“植物生長”課題時發(fā)現(xiàn)：一棵生長的幼苗可以近似看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成（如圖1）．小數(shù)同學(xué)在觀察研究幼苗葉片生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣20m+5圖象的一部分，如圖2，該二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標系的原點，已知直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點D長到與點P同一水平位置的點D′時，葉尖Q落在射線OP上，如圖3所示，則此時幼苗葉子的長度QD′為．三．解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（8分）已知拋物線y＝x2﹣2x．（1）求該拋物線的對稱軸；（2）若點A（2，y1）和B（5，y2）在該拋物線上，試比較y1和y2的大?。?8．（8分）現(xiàn)有三張完全相同的不透明卡片，其正面分別寫有數(shù)字﹣2，0，2，把這三張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）隨機的取一張卡片，求抽取的卡片上的數(shù)字為非正數(shù)的概率；（2）先隨機抽取一張卡片，其上的數(shù)字作為點A的橫坐標；然后放回并洗勻，再隨機抽取一張卡片，其上的數(shù)字作為點A的縱坐標，用列表法或畫樹狀圖法求出點A在直線y＝x+2上的概率．19．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，延長BC到點E．（1）求證：∠DAB＝∠DCE；（2）連接AC、BD，若∠DAB＝65°，CD平分∠ACE，求∠ADB的度數(shù)．20．（8分）已知拋物線y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2（a是常數(shù)）．（1）求證：無論a為何值，該拋物線與x軸一定有交點；（2）若該拋物線與x軸交于點A，B，且AB＝2，求a的值．21．（8分）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線OA垂直，OC＝9，點A在拋物線上，且點A到對稱軸的距離OA＝3，點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點P，加裝拉桿PA，PB，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點P的位置并求出坐標．22．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，點D為AC的中點，過點D作DE⊥AB于點F，交AC于點G．（1）求證：GA＝GD；（2）若AC＝12，AF＝3，求圓的半徑長．23．（10分）【定義】若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍點”．【背景】已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c（c為常數(shù)），（1）若記“三倍點”D的橫坐標為t，則點D的坐標可表示為；（2）若該函數(shù)經(jīng)過點（1，﹣6）；①求出該函數(shù)圖象上的“三倍點”坐標；②在﹣3≤x≤1范圍中，記二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的最大值為M，最小值為N，求M﹣N的值；（3）在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，直接寫出c的取值范圍．24．（12分）以AB為直徑作三角形ABC的外接圓，∠ACB的角平分線交圓O于點D，連接BD．（1）若∠ABC＝25°，求∠D的度數(shù)．（2）若AC=1，BD=3，求BC（3）猜想CD與AC，BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2025-2026學(xué)年浙江省湖州四中教育集團九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADDACABDDA一．選擇題：本大題有10個小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y=12x2 B．y＝22C．y=1x2 D．y＝（x+2）2【答案】A【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)定義逐項分析判斷如下：A、y=1B、y＝22﹣2x中x的最高次是1次，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、y=1x2中xD、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，x的最高次是1次，不是二次函數(shù)，不符合題意．故選：A．2．（3分）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，則OP的長可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵O的半徑為5，點P在⊙O外，∴OP＞5，故選：D．3．（3分）在一個不透明的袋子里有3個白球和1個紅球，除顏色外全部相同，從中任意摸出一個球，摸到白球的概率是（）A．13 B．12 C．23 【答案】D【解答】解：∵袋子里有3個白球和1個紅球，共有4個球，∴從中任意摸出一個球，摸到白球的概率是34故選：D．4．（3分）二次函數(shù)y＝（x﹣5）（x+7）的圖象的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝2 D．直線x＝6【答案】A【解答】解：二次函數(shù)圖象與x軸的交點為（5，0），（﹣7，0），∴對稱軸為直線x=5-7故選：A．5．（3分）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數(shù)據(jù)如表：累計拋擲次數(shù)501002003005001000200030005000蓋面朝上次數(shù)2854106158264527105615872650蓋面朝上頻率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530隨著實驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近于（）（精確到0.01）．A．0.56 B．0.54 C．0.53 D．0.52【答案】C【解答】解：由表中數(shù)據(jù)可得：隨著實驗次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故選：C．6．（3分）如圖，△DBE是由△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°得到的．若AB⊥DE，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．30°【答案】A【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：△DBE≌△ABC，∠DBA＝∠CBE＝40°，∴∠A＝∠D，∵AB⊥DE，∴∠DBA+∠D＝90°，∴∠A＝∠D＝90°﹣40°＝50°，故選：A．7．（3分）下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①任意三點可以確定一個圓；②相等的圓心角所對的弧相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；④圓內(nèi)接四邊形對角互補；⑤三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等．正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①不共線的三點確定一個圓，故①表述不正確；①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故②表述不正確；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故③表述不正確；④圓內(nèi)接四邊形對角互補，故④表述正確；⑤三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等，故⑤表述正確．故選：B．8．（3分）點P1（﹣1，y1），P2（52，y2），P3（6，y3）均在二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的圖象上，則y1，y2，y3A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】D【解答】解：∵二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+1（m＞0），∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，∴在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，P1（﹣1，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點為（3，y1）關(guān)于對稱軸對稱，∴52＜3＜故y3＞y1＞y2．故選：D．9．（3分）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）A．π B．2π C．24 D．【答案】D【解答】解：如圖，過A作AC⊥OB于C，∵圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為360°8=45°，OA＝∴AC＝OC=2∴S△OAB=12×∴這個圓的內(nèi)接正八邊形的面積為8×24=故選：D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB=33，點E在AB上，AEEB=12，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPEA．27-2 B．27-3 C．【答案】A【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過點O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE=12∠∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，∴當(dāng)點P落在線段OD上時，DP的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝33，AE：EB＝1：2，∴BE＝23，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ=3，∠EOQ＝∠BOQ＝60∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四邊形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝23，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD=JD2∴PD的最小值＝OD﹣OP＝27-2故選：A．二．填空題：本大題有6個小題，每小題3分，共18分．11．（3分）已知拋物線y＝x2+3，它與y軸的交點坐標為（0，3）．【答案】（0，3）．【解答】解：由條件可得：y＝02+3＝3，∴拋物線y＝x2+3與y軸的交點坐標為（0，3）．故答案為：（0，3）．12．（3分）已知正n邊形的一個內(nèi)角為140°，則n等于9．【答案】9．【解答】解：法一、由題意，得（n﹣2）×180＝140n，解得n＝9．故答案為：9．法二、∵正n邊形的一個內(nèi)角為140°，其外角都為40°．由于多邊形的外角和為360°，所以n為：360÷40＝9．故答案為：9．13．（3分）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BOD＝110°，則∠BCD的度數(shù)是125°．【答案】125°．【解答】解：由圓周角定理得，∠A=12∠BOD=12∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°，故答案為：125°．14．（3分）弦AB將⊙O分成1：3兩部分，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是45°或135°．【答案】45°或135°．【解答】解：連接OA、OB，∵弦AB將⊙O分成1：3兩部分，∴劣弧AB占整個圓周的14∴∠AOB=14×360當(dāng)點Q與點O在直線AB的同側(cè)時，則∠Q=12∠AOB＝當(dāng)點P與點O在直線AB的異側(cè)時，則∠P＝180°﹣∠Q＝135°，∴弦AB所對的圓周角的度數(shù)是45°或135°，故答案為：45°或135°．15．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點B，D的坐標分別為（﹣2，﹣4），（2，4），點C在拋物線y=-12x2+bx的圖象上，則b的值為【答案】3【解答】解：過點C作直線MN⊥x軸，過點B作BM⊥MN于點M，過點D作DN⊥MN于點N，如圖所示：∴∠M＝∠N＝90°，∴△BMC和△CND都是直角三角形，設(shè)點C的坐標為（m，n），∵點B，D的坐標分別為（﹣2，﹣4），（2，4），∴BM＝m+2，CN＝4﹣n，CM＝n+4，DN＝m﹣2，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，在Rt△BMC中，∠MBC+∠MCB＝90°，又∵∠NCD+∠MCB＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠NCD，在△BMC和△CND中，∠M=∴△BMC≌△CND（AAS），∴BM＝CN，CM＝DN，∴m+2=4-解此方程組得：m=4n=-2∴點C的坐標為（4，﹣2），∵點C在拋物線y=-∴-2=解得：b=3故答案為：3216．（3分）用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，你會發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)；用數(shù)學(xué)的思維思考世界，你就能探索現(xiàn)實世界的奧秘．我校和思項目化小組在研究“植物生長”課題時發(fā)現(xiàn)：一棵生長的幼苗可以近似看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成（如圖1）．小數(shù)同學(xué)在觀察研究幼苗葉片生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)y＝mx2﹣4mx﹣20m+5圖象的一部分，如圖2，該二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標系的原點，已知直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點D長到與點P同一水平位置的點D′時，葉尖Q落在射線OP上，如圖3所示，則此時幼苗葉子的長度QD′為35．【答案】35．【解答】解：由題意，如圖2，∵二次函數(shù)為y＝mx2﹣4mx﹣20m+5過原點，∴﹣20m+5＝0．∴m=1∴二次函數(shù)為y=1∴D（2，﹣1）．∵直線PD與x軸成45°角，設(shè)直線PD的解析式為y＝﹣x+b，把點D（2，﹣1）代入得﹣1＝﹣2+b，解得b＝1，∴直線PD的解析式為y＝﹣x+1．聯(lián)立方程組y=1∴x=-2y=3∴P（﹣2，3），同理可求出直線OP的解析式為y=-∴D'（2，3）．把D'（2，3）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5，∴4m﹣8m﹣20m+5＝3．∴m=1∴拋物線解析式為y=1聯(lián)立y=-∴x1＝﹣4，x2＝﹣10．∵幼苗是越長越張開，∴x2＝﹣10，不合題意，舍去．∴Q（﹣4，6）．作QH⊥PD′交D'P延長線于點H，∴QD'故答案為：35．三．解答題：本大題有8個小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（8分）已知拋物線y＝x2﹣2x．（1）求該拋物線的對稱軸；（2）若點A（2，y1）和B（5，y2）在該拋物線上，試比較y1和y2的大?。敬鸢浮浚?）該拋物線的對稱軸為直線x＝1；（2）y1＜y2．【解答】解：（1）把解析式化為頂點式得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝1；（2）由條件可知當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，∵5＞2，∴y1＜y2．18．（8分）現(xiàn)有三張完全相同的不透明卡片，其正面分別寫有數(shù)字﹣2，0，2，把這三張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）隨機的取一張卡片，求抽取的卡片上的數(shù)字為非正數(shù)的概率；（2）先隨機抽取一張卡片，其上的數(shù)字作為點A的橫坐標；然后放回并洗勻，再隨機抽取一張卡片，其上的數(shù)字作為點A的縱坐標，用列表法或畫樹狀圖法求出點A在直線y＝x+2上的概率．【答案】（1）23（2）29【解答】解：（1）∵在數(shù)字﹣2，0，2中，非正數(shù)有﹣2，0，∴隨機的取一張卡片，抽取的卡片上的數(shù)字為非正數(shù)的概率是23（2）樹狀圖如下所示，由上可得，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，點A在直線y＝x+2上的結(jié)果數(shù)有（﹣2，0），（0，2）兩種，∴點A在直線y＝x+2上的概率是2919．（8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，延長BC到點E．（1）求證：∠DAB＝∠DCE；（2）連接AC、BD，若∠DAB＝65°，CD平分∠ACE，求∠ADB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）50°．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：由（1）可知：∠DCE＝∠DAB＝65°，∵CD平分∠ACE，∴∠ACE＝2∠DCE＝130°，∴∠ACB＝180°﹣130°＝50°，由圓周角定理得：∠ADB＝∠ACB＝50°．20．（8分）已知拋物線y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2（a是常數(shù)）．（1）求證：無論a為何值，該拋物線與x軸一定有交點；（2）若該拋物線與x軸交于點A，B，且AB＝2，求a的值．【答案】（1）證明：令y＝0，得x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝0，∵Δ＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2≥0，∴無論a為何值，該拋物線與x軸一定有交點；（2）1或5．【解答】（1）證明：令y＝0，得x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝0，∵Δ＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2≥0，∴無論a為何值，該拋物線與x軸一定有交點；（2）解：令y＝0，得x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝0，∴x1+x2＝a﹣1，x1x2＝a﹣2，∴(x∵該拋物線與x軸交于點A，B，且AB＝2，∴|x1﹣x2|＝2，∴(x整理，得a2﹣6a+5＝0，解得a＝1或a＝5∴若該拋物線與x軸交于點A，B，且AB＝2，求a的值為1或5．21．（8分）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線OA垂直，OC＝9，點A在拋物線上，且點A到對稱軸的距離OA＝3，點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點P，加裝拉桿PA，PB，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點P的位置并求出坐標．【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+9；（2）點P的位置見解答；P點的坐標為（0，6）．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+9，把點A（3，0）代入，得：9a+9＝0，解得：a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+9．（2）作A點關(guān)于y軸的對稱點A′（﹣3，0），連接A′B交OC于點P，則P點即為所求；把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：y＝8，∴B（1，8）設(shè)直線A′B的解析式為y＝kx+m，∴-3k+m=0∴k=2m=6∴y＝2x+6．令x＝0，得y＝6，∴P點的坐標為（0，6）．22．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，點D為AC的中點，過點D作DE⊥AB于點F，交AC于點G．（1）求證：GA＝GD；（2）若AC＝12，AF＝3，求圓的半徑長．【答案】（1）見解析；（2）152【解答】（1）證明：如圖，連接AD，BD，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠ABD，∵D是弧AC的中點，∴∠DAC＝∠ABD，∴∠ADE＝∠DAC，∴GA＝GD；（2）如圖，連接OE．∵DE⊥AB，∴DF＝EF，AD＝AE，∵點D是弧AC的中點，∴AD=∴CA＝DE，∴DE＝AC＝12，∴EF=1設(shè)OA＝OE＝x，在Rt△OEF中，則有x2＝62+（x﹣3）2，解得x=15圓的半徑長為15223．（10分）【定義】若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍點”．【背景】已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c（c為常數(shù)），（1）若記“三倍點”D的橫坐標為t，則點D的坐標可表示為（t，3t）；（2）若該函數(shù)經(jīng)過點（1，﹣6）；①求出該函數(shù)圖象上的“三倍點”坐標；②在﹣3≤x≤1范圍中，記二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的最大值為M，最小值為N，求M﹣N的值；（3）在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，直接寫出c的取值范圍．【答案】（1）（t，3t）；（2）①函數(shù)y＝﹣x2﹣x﹣4圖象上的“三倍點”坐標為（﹣2，﹣6）；②M﹣N的值為254（3）﹣4≤c≤5．【解答】解：（1）根據(jù)定義：若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，可得D（t，3t），故答案為：（t，3t）；（2）①將點（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c，解得：c＝﹣4，∴y＝﹣x2﹣x﹣4，將（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4，解得：t1＝t2＝﹣2，∴函數(shù)y＝﹣x2﹣x﹣4圖象上的“三倍點”坐標為（﹣2，﹣6）；②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x+12）2∴M=-當(dāng)x＝﹣3時，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10，當(dāng)x＝1時，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，∴N＝﹣10，∴M﹣N=-154-（﹣（3）由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存