2025年大學(xué)本科二年級（統(tǒng)計學(xué)）概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題及答案

（考試時間：90分鐘滿分100分）班級______姓名______第I卷（選擇題共30分）每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。(總共6題，每題5分)1.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則隨著σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）A.單調(diào)增大B.單調(diào)減小C.保持不變D.增減不定2.已知隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且它們的概率分布分別為P(X=0)=0.5，P(X=1)=0.5；P(Y=0)=0.5，P(Y=1)=0.5，則P(X=Y)=（）A.0B.0.25C.0.5D.13.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X?,X?,…,X?是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則樣本均值X?的數(shù)學(xué)期望E(X?)=（）A.λB.λ/nC.nλD.λ24.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，且f(-x)=f(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有（）A.F(-a)=1-∫??f(x)dxB.F(-a)=1/2-∫??f(x)dxC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-15.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,1)，X?,X?,X?是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計量Y=(X?+X?)2+(X?+X?)2+(X?+X?)2服從的分布是（）A.χ2(1)B.χ2(2)C.χ2(3)D.χ2(4)6.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不為零，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y（）A.不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件B.獨立的充分條件，但不是必要條件C.不相關(guān)的充分必要條件D.獨立的充分必要條件第II卷（非選擇題共70分）二、填空題（每題4分，共20分）(總共5題，每題4分)1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;x2,0≤x<1;x,1≤x<2;1,x≥2}，則P(X=1)=______。2.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則E(X2)=______。3.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,…,X?是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，樣本方差S2=1/(n-1)∑????(X?-X?)2，則E(S2)=______。4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為ρ??，若U=aX+b，V=cY+d（a,b,c,d為常數(shù)且ac>0），則U和V的相關(guān)系數(shù)ρ??=______。5.設(shè)總體X服從均勻分布U(0,θ)，X?,X?,…,X?是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，則θ的矩估計量θ?=______。三、解答題（每題10分，共30分）(總共3題，每題10分)1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={kxy,0<x<1,0<y<x;0,其他}，求：(1)常數(shù)k；(2)P(X+Y≤1)。2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)={ax+b,0<x<1;0,其他}，且E(X)=7/12，求：(1)常數(shù)a,b；(2)D(X)。3.設(shè)總體X的概率密度為f(x)={θx^(θ-1),0<x<1;0,其他}，其中θ>0為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求θ的極大似然估計量。四、綜合題（12分）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)?，F(xiàn)從該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件，測得其質(zhì)量指標(biāo)的平均值x?=160，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=12。(1)求總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；(2)在顯著性水平α=0.05下，檢驗假設(shè)H?:μ=165，H?:μ≠165。（附：t?.???(24)=2.0639，z?.???=1.96）五、證明題（8分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，證明：Z=X2+Y2服從自由度為2的χ2分布。答案：一、選擇題1.C2.C3.A4.B5.B6.C二、填空題1.02.3/23.σ24.ρ??5.2X?三、解答題1.(1)由∫?∞?∞∫?∞?∞f(x,y)dxdy=1，可得k=8。(2)P(X+Y≤1)=1/6。2.(1)a=1，b=1/2。(2)D(X)