/（湖南、廣西）湘一聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期12月月考數(shù)學試題（Y）一、單選題1．點所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．32．在等比數(shù)列中，，則公比（

）A．1 B．2 C．3 D．43．若空間向量與垂直，則（

）A． B． C．1 D．24．已知橢圓的焦距為，則（

）A． B．或 C． D．或5．已知直線與圓相交，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．對于數(shù)列，設甲：，對任意，，乙：為等差數(shù)列．則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知空間中，，，四點共面，則（

）A． B． C．1 D．28．已知拋物線的焦點為，點，直線交于兩點，且點為的重心，則的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知直線，，，則下列選項正確的是（

）A．的傾斜角的取值范圍是 B．過定點C．若，則 D．若，則10．如圖，在直三棱柱中，，且為所在平面內(nèi)一動點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點的軌跡是一條直線B．若，則點的軌跡是半徑為1的圓C．若，則點的軌跡是橢圓D．若點到直線和的距離相等，則點的軌跡是拋物線11．已知正項數(shù)列滿足，，，其中表示不大于的最大整數(shù)，則（

）A．B．數(shù)列的前項和為C．能使，，成等差數(shù)列的正整數(shù)共有個D．數(shù)列的前項和為三、填空題12．已知平面過坐標原點，且一個法向量為，則點到的距離為.13．已知是遞增的等比數(shù)列，若，，則．14．已知雙曲線的左?右焦點分別為，拋物線以為焦點，與的一個交點為，若的周長為，則.四、解答題15．設為遞增的等差數(shù)列，其前n項和為，已知，且.（1）求的通項公式；（2）求使成立的的最小值.16．已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點.（1）求圓的方程；（2）若過點的直線與圓相切，求的方程.17．如圖，在棱長為2的正方體中，分別為線段上的動點，且.（1）證明：平面；（2）當線段的長度最小時，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知數(shù)列滿足．（1）求的值；（2）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（3）設的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．已知橢圓的長軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程.（2）設分別為橢圓的上、下焦點，為橢圓上除上、下頂點外的一點，直線分別與橢圓交于另一點和，直線與橢圓交于另一點.（i）求面積的最大值；（ii）證明：直線過定點.

參考答案1．【答案】A【詳解】點所在直線的斜率為.故選A2．【答案】B【詳解】由，可得，所以.故選B3．【答案】B【詳解】由題可知，解得.故選B4．【答案】D【詳解】由題意可得，則，當橢圓的焦點在軸上時，則，，，解得；當橢圓的焦點在軸上時，則，，，解得.綜上所述，或.故選D.5．【答案】C【詳解】圓的方程可整理為：，因此圓心，半徑.因為直線與圓相交，故圓心到直線的距離，得，即.故選C.6．【答案】B【詳解】若，則的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，不一定為等差數(shù)列，如通項公式為的數(shù)列，滿足，不是等差數(shù)列；反之，若為等差數(shù)列，設其公差為，則，即符合條件，所以甲是乙的必要不充分條件.故選B7．【答案】A【詳解】設原點，，即，則，，因為四點共面，所以，所以，．故選A.8．【答案】D【詳解】由題可知，如下圖所示：設直線的方程為，設，聯(lián)立方程可得，消去得，所以，，所以，因為為的重心，所以，，解得，所以的方程為，即，檢驗可知，不過點，滿足題意，所以的方程為.故選D.9．【答案】ABD【詳解】對于A，的斜率，傾斜角的取值范圍是，故A正確；對于B，易知過定點，故B正確；對于C，若，則，解得或，故C錯誤；對于D，由C可知，當時，，所以當時，有，解得，故D正確．故選ABD10．【答案】ABD【詳解】對于A，如圖，連接，當點與點不重合時，因為三棱柱為直三棱柱，所以，又，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，所以平面平面，又因為平面平面，所以點的軌跡是過點的一條直線，故A正確；對于B，因為，所以，所以點的軌跡是以點為圓心，1為半徑的圓，故B正確；對于C，如圖，以為坐標原點，直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，則，，設，因為，所以，化簡得，所以點的軌跡是圓，故C錯誤；對于D，因為平面平面，所以，所以點到直線的距離即點到點的距離，所以點到直線的距離與點到點的距離相等，滿足拋物線的定義，則點的軌跡是在平面內(nèi)的一條拋物線，故D正確.故選ABD11．【答案】AC【詳解】對于A，由題可知是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，因為為正項數(shù)列，所以，故A正確；對于B，因為，所以的前項和為，故B錯誤；對于C，由題意知，，因為，，成等差數(shù)列，所以，代入得，解得，因為，，所以當時，都有，所以的取值共有個，故C正確；對于D，當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項當時，，共項，所以的前項和為，故D錯誤；故選AC.12．【答案】【詳解】由題可知，在平面內(nèi)，，.13．【答案】【詳解】設等比數(shù)列的公比為．由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，又，所以是方程的兩個根，解得或27，又是遞增的等比數(shù)列，所以．所以．故．14．【答案】.【詳解】設雙曲線的半焦距為，，由題可知，則；如圖，過點作軸的垂線，過點作的垂線，垂足為點，則為的準線，所以；由題可知，解得，所以；在中，由勾股定理可得，又，所以；所以，整理可得，解得，因為，所以，即.15．【答案】（1）（2）5【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，因為，且，所以，解得或（舍），故.（2）由（1）可得：，若，則，解得：，故的最小值為.16．【答案】（1）（2）或.【詳解】（1）由題可知，即，解得，則圓心的坐標為，所以圓的半徑，所以圓的方程為.（2）當?shù)男甭什淮嬖跁r，，與圓相切，符合題意.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設.因為與圓相切，所以，解得，所以的方程為，即.綜上，的方程為或.17．【答案】（1）見詳解（2）.【詳解】（1）如圖，過點作交于點，連接，則平面.在正方體中，..又.平面平面平面.平面平面，∴平面平面，平面.（2）以為坐標原點，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.，則，當，即分別為的中點時，的長度最小，此時.設向量為平面的應該法向量，則令，則.易知平面即平面的一個法向量為.設平面與平面的夾角為，則，∴平面與平面的夾角的余弦值為.18．【答案】（1）（2）見詳解，（3）【詳解】（1）因為，所以．（2）因為，所以，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即．（3）由（2）得，①當為正奇數(shù)時，，由，得，即，因為，所以對任意的正奇數(shù)都成立，當時，有最小值1，所以．②當為正偶數(shù)時，，由，得，即，因為，所以對任意的正偶數(shù)都成立，當時，有最小值，所以，綜上，可知，即實數(shù)的取值范圍是．19．【答案】（1）.（2）（i）2；（ii）見詳解.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為.由題可知，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）如圖，由（1）可知.由題可知直線的斜率存在，設直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，即，消去，可得，則，由，可得，異號，所以，當且僅當，即時