/安徽省十校聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知平面的一個法向量，若直線平面，則直線的一個方向向量可以是（

）A． B． C． D．2．若首項為2的數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．13．若直線過點且與直線相互垂直，則原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．在三棱柱中，，分別是線段，上靠近，的三等分點，則（

）A． B．C． D．5．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，第二象限內(nèi)的點在橢圓上，且軸，若點滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．60 B．62 C．64 D．667．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，且直線為內(nèi)切圓的一條切線，則內(nèi)切圓的半徑為（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列點一定在直線上的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．是等差數(shù)列 B．不是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．不是等差數(shù)列10．已知動點滿足，則（

）A．點的軌跡長度為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為11．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，其中，，則（

）A．直線的斜率為 B．點到軸的距離為6C．的面積為 D．直線的傾斜角為或三、填空題12．已知圓與圓有且僅有2條公切線，則實數(shù)的取值范圍為．13．在正方體中，，若點為線段上靠近的三等分點，則點到平面的距離為．14．已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列中的最小項為3，則實數(shù)的最小值為.四、解答題15．已知等差數(shù)列的前項和為，其中，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求滿足條件的的值構(gòu)成的集合.16．已知橢圓，點，，在橢圓上，且，關(guān)于原點對稱.（1）若直線，的斜率存在，求直線，的斜率之積；（2）若直線的方程為，求的值.17．已知圓過點，，，圓與圓交于，兩點，且點在直線上，直線的方程為.（1）求圓、的方程；（2）過點作相互垂直的兩條直線，與圓分別交于、，、，求四邊形面積的取值范圍.18．已知五邊形是由等邊三角形與矩形拼接而成，如圖1所示，其中；現(xiàn)沿進行翻折，使得平面平面，得到的圖形如圖2所示，其中點為線段的中點，在線段上，且平面.

（1）求證：為線段的中點；（2）已知點在線段上（包含端點位置），求直線與平面所成角的正弦值的最大值.19．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線過點.（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線右支上的一點作直線，，其中，均與曲線有且只有一個交點，且雙曲線的左支與直線交于點，右支與直線交于點.（i）求證：；（為坐標(biāo)原點）（ii）求的最小值，并求出此時，的方程.

參考答案1．【答案】A【詳解】若直線平面，則直線與平面的法向量共線，因此，當(dāng)時，即為A選項，對于選項B、C、D，找不到滿足條件的，故B、C、D錯誤.故選A.2．【答案】B【詳解】因為，.當(dāng)，當(dāng)，當(dāng).故選B.3．【答案】C【詳解】直線與直線相互垂直，所以直線的斜率為，直線過點且斜率為，則直線，則原點到直線的距離為.故選C.4．【答案】A【詳解】，分別是線段，上靠近，的三等分點，，，，，又，，，即，故A正確．故選A．5．【答案】D【詳解】橢圓左、右焦點，軸，把代入橢圓方程，得，點位于第二象限內(nèi)，，則，故，又，，，，即，，解得，，故D正確．故選D．6．【答案】A【詳解】因為，所以，兩式作差得，故數(shù)列中的偶數(shù)項構(gòu)成的新數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，又，，得，故為偶數(shù)時，故.故選A7．【答案】C【詳解】已知雙曲線，則，因為，即，所以點在雙曲線左支上，因為直線為內(nèi)切圓的一條切線，而也是內(nèi)切圓的一條切線，所以可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，設(shè)與軸的切點為，由內(nèi)切圓切線長性質(zhì)可知，，而，即，解得.故選C8．【答案】D【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)形式為，圓心，半徑，滿足，即，點在直線上，設(shè)點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，在圓外，，四點共圓，圓的直徑為，方程為，圓，聯(lián)立兩圓方程得出圓的切點弦方程，展開整理得，代入得，，解得，即直線恒過．故選D．9．【答案】AC【詳解】對于A：，因此是等差數(shù)列，故A正確；對于B：，故是等差數(shù)列，故B錯誤；對于C：，故是等差數(shù)列，故C正確；對于D：，，故，易知是等差數(shù)列，故D錯誤.故選AC.10．【答案】ACD【詳解】可整理為，設(shè)，故點的軌跡為以為圓心，半徑的圓.對于A：點的軌跡長度即為圓的周長，，故A正確；對于B：的幾何意義為動點（即圓上一點）到點的距離.易知，當(dāng)點位于點與點的連線與圓的交點時，此時點到點的距離最短，最短距離，即的最小值為，故的最小值為，故B錯誤；對于C：的幾何意義為動點（即圓上一點）與連線所在直線的斜率.設(shè)，易知，當(dāng)直線過點且與圓相切于軸上方時，動點與連線所在直線的斜率最大，即最大，易知此時，又由相切可知，，故，故，，因此的最大值為，故C正確；對于D：的幾何意義是動點（即圓上一點）到直線的距離.易知，動點到直線距離的最小值為圓心到直線的距離，再減半徑，即，因此的最小值為，故的最小值為，故D正確.故選ACD.11．【答案】ABC【詳解】由題可知，，得，故拋物線.設(shè)，由對稱性，不妨設(shè)直線與拋物線交于第一象限.連接并延長，與拋物線交于點，連接并延長，與拋物線交于點.直線，將直線與拋物線方程聯(lián)立，得，由韋達定理可知，，得.直線，將直線與拋物線方程聯(lián)立，得，由韋達定理可知，，得.故，又因為均在拋物線上，故與關(guān)于軸對稱，則.同理可得，與關(guān)于軸對稱，故.由與關(guān)于軸對稱可知平分，故有，又易知（對頂角相等），且，故，又因為，可得，，因此直線.與拋物線聯(lián)立，得，結(jié)合圖象以及，可知，故，將代入拋物線，可得，即.對于A：，由對稱性可知，也符合題意，故A正確；對于B：由前分析可知，由對稱性可知也符合題意，兩種情況下點到軸的距離均為，故B正確；對于C：由前分析可知，，故，故C正確；對于D：由前分析可知，直線的傾斜角，由對稱性可知，直線的傾斜角為時（即位于時，此時），也符合題意，故D錯誤.故選ABC.12．【答案】【詳解】圓，圓心為，半徑，圓，圓心，半徑，又兩圓有且僅有2條公切線，兩圓相交，即，，，即，由恒成立，只需解不等式，即，解得，實數(shù)的取值范圍為．13．【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點，建立下圖所示空間直角坐標(biāo)系，，若點為線段上靠近的三等分點，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，則，點到平面的距離．14．【答案】【詳解】由題意得，當(dāng)時，，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，隨著的增大而減小，而，此時不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，隨著的增大而增大，而，滿足題意；當(dāng)時，，此時隨著的增大而減小，而，此時不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，隨著的增大而增大，而，滿足題意；當(dāng)時，，，由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，而，所以當(dāng)，即，符合題意；當(dāng)時，，此時數(shù)列的最小項為或，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，即時，必有，不符合題意舍去；綜上，實數(shù)的取值范圍為，即最小值為.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由可知，，，聯(lián)立兩式，解得，故，因此數(shù)列的通項公式為；（2）因為，故即，解得，故，即滿足條件的的值構(gòu)成的集合為.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)，則，由題易知，即..因為點均在橢圓上，故有，兩式相減得，整理得，因此.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，，消去，整理得：，由韋達定理得，，由弦長公式，.17．【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，所以圓的方程為，即，因為點在直線上，設(shè)，圓的半徑為，則圓的方程為，即，因為圓與圓交于，兩點，故兩圓相交即得相交弦所在直線方程，即，因為直線的方程為，即，故系數(shù)比例相同，即，解得，，所以圓的方程為；（2）如圖，作出符合題意的圖形，因為，所以點在圓內(nèi)，因為，所以，圓心，半徑為，若直線斜率不存在，則，圓心到直線的距離為，，圓心到直線的距離為，，此時，若直線斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的斜率為，則直線，直線，圓心到直線的距離為，故，圓心到直線的距離為，故，所以，化簡可得，,令，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以，即，綜上，四邊形面積的取值范圍為.18．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）由題意得，令，則，連接，作，則由矩形性質(zhì)得，因為平面平面，面，所以面，如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，因為等邊三角形，所以由勾股定理得，，則，得到，，，設(shè)面的法向量為，，則，令，解得，則面的法向量為，由題意得在線段上，則，可得，而，則，解得，則，得到，因為平面，所以，則，解得，此時，故為線段的中點.（2）由題意得在線段上，則，由已知得，則，設(shè)，則，可得，解得，可得，由已知得，則，而，，設(shè)面的法向量為，則，令，解得，則面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，，則，則，令，可將化為，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則最小值為，此時取得最大值，，結(jié)合題意可得，當(dāng)取得最大值時，也取得最大值，則最大值為.19．【答案】（1）（2）（i）見詳解；（ii）最小值為：3，直線，直線【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方