/山東省濰坊市壽光一中2025?2026學(xué)年高一強(qiáng)基部上學(xué)期12月測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知向量，不共線，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．在平行四邊形中，，是線段DE的中點(diǎn)，連接交于O，若，則（

）A．1 B． C． D．5．已知．若，則（

）A．k B．－k C．1－k D．2－k6．已知點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2026 B．2025 C．2027 D．20248．如圖，正六邊形的邊長為，半徑為的圓的圓心為正六邊形的中心，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)、在圓上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列結(jié)論中正確的是（）A．若角的終邊過點(diǎn)，則B．若是第二象限角，則為第二象限或第四象限角C．對任意，恒成立D．若，，則10．已知平面向量，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是函數(shù)的周期B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個(gè)單位長度得到D．函數(shù)的對稱軸方程為三、填空題12．已知向量，，若，則13．相互獨(dú)立事件A、B滿足，則．14．已知函數(shù)，點(diǎn)，分別為函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若線段的長度的最小值為，且，則的值為.四、解答題15．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）求的值．（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明．（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．已知向量與的夾角為，且，，若，.（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）求的最小值.17．已知函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對稱.（1）求角的值；（2）角，，銳角滿足，求的值.18．隨著時(shí)代和科技的進(jìn)步，人工智能在學(xué)習(xí)生活中越來越重要.為此北京市第十四中學(xué)高一年級數(shù)學(xué)組特命制了一套與人工智能的專題訓(xùn)練卷（滿分為100分），并對整個(gè)高一年級的學(xué)生進(jìn)行了測試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，按照成績?yōu)?，，…，分成?組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績均不低于50分）.（1）求頻率分布直方圖中的的值，并估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)?中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，中位數(shù)請用分?jǐn)?shù)表示）；（2）若高一年級共有480名學(xué)生，試估計(jì)高一學(xué)生中這次測試成績不低于70分的人數(shù)；（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的三組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人參加這次考試的考后分析會(huì)，試求后兩組中至少有1人被抽到的概率.19．已知雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù).（1）求證下列式子均為定值①；②（2）求函數(shù)在上的最小值;（3）若，，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.注：函數(shù)在上遞減，在上遞增.

參考答案1．【答案】C【詳解】由不等式，可得，解得，所以集合，又由，則滿足，即，解得，所以集合，所以.故選C.2．【答案】D【詳解】，兩邊平方得，解得，向量在向量上的投影向量為.故選D3．【答案】A【詳解】由題意，且在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，即，解得.故選A.4．【答案】B【詳解】，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，解得，故選B.5．【答案】D【詳解】∵，∴，∴.故選D6．【答案】D【詳解】因?yàn)镺A=1,m+12,?OB=m,3,所以O(shè)A?OB=1×m+m+127．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則的周期為4，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，則，又的周期為4，所以，所以，，故.故選A8．【答案】C【詳解】如下圖所示，連接、、、，則為的中點(diǎn)，則，且，故是邊長為的等邊三角形，易知，則，當(dāng)且僅當(dāng)與正六邊形的頂點(diǎn)重合時(shí)，取最大值.故選C.9．【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，則，故A正確；選項(xiàng)B：若是第二象限角，則，，所以，，所以為第一象限角或第三象限角，故B錯(cuò)；選項(xiàng)C：因?yàn)?，如圖，射線與單位圓交于點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn)，單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)，由弧度制的定義可知，劣弧的長度為，根據(jù)三角函數(shù)線可知，，，，，，易得，所以，所以，故C正確；對于D，由，可得，因，故，所以，又，則，故D正確.故選ACD．10．【答案】ABD【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，即，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，則，所以，解之得或，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，則，所以，而，則，故D正確.故選ABD11．【答案】ACD【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，故A正確；∵，∴，又在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；∵函數(shù)向左平移個(gè)單位長度得到，故C正確；令，得，故D正確，故選ACD．12．【答案】/0.5【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，解?13．【答案】/【詳解】因?yàn)?，而，所以，又A、B相互獨(dú)立，所以，即.14．【答案】【詳解】令，則原函數(shù)可化為，∴，的最小正周期為，作出在上的函數(shù)圖象，如圖1，∴在上的函數(shù)圖象如圖2，由得，，的最小正周期為，故在的圖象如圖3，如圖，當(dāng)點(diǎn)為一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，的長度最小，此時(shí)，∵，∴，即，解得.15．【答案】（1）（2）減函數(shù)，見詳解（3）【詳解】（1）因?yàn)樵诙x域?yàn)镽上是奇函數(shù)，所以，即，∴，則，由，則當(dāng)時(shí)，原函數(shù)為奇函數(shù)．（2）由（1）知，任取，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在R上是增函數(shù)，，∴．又，∴，即，∴在上為減函數(shù)．（3）因是奇函數(shù)，從而不等式：，等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得：．即對一切有：恒成立，設(shè)，令，則有，∴，∴，即k的取值范圍為．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，所以，所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，由?）知，且，，所以，則，故當(dāng)時(shí)，最小為.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對稱，所以，所以，所以，因?yàn)椋?（2）由（1）得，，所以；因?yàn)?，若，則，而，不合題意.故，則，所以，.所以，.18．【答案】（1）；平均數(shù)為74（分）；中位數(shù)為分（2）288（3）【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第4組的頻率為，故，故可估計(jì)所抽取的50名學(xué)生成績的平均數(shù)為（分）.由于前兩組的頻率之和為，前三組的頻率之和為，故中位數(shù)在第3組中.設(shè)中位數(shù)為分，則有，所以，即所求的中位數(shù)為分.（2）由（1）可知，50名學(xué)生中成績不低于70分的頻率為，由以上樣本的頻率，可以估計(jì)高一年級480名學(xué)生中成績不低于70分的人數(shù)為.（3）由（1）可知，后三組中的人數(shù)分別為，故這三組中所抽取的人數(shù)分別為，記成績在這組的3名學(xué)生分別為，成績在這組的2名學(xué)生分別為，成績在這組的1名學(xué)生為，則從中任取3人的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種.其中后兩組中沒有人被抽到的可能結(jié)果為，只有1種，故后兩組中至少有1人被抽到的概率為.19．【答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）①為定值.②為定值.（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，.所以當(dāng)時(shí)，.又.設(shè)，則，設(shè)，.