2025年線性代數(shù)密碼學(xué)應(yīng)用能力評(píng)估試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2025年線性代數(shù)密碼學(xué)應(yīng)用能力評(píng)估試卷考核對(duì)象：計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息安全、數(shù)據(jù)科學(xué)等相關(guān)專業(yè)學(xué)生及從業(yè)者題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。2.在密碼學(xué)中，Hill密碼是一種基于矩陣乘法的古典密碼體制。3.任何方陣都可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)其特征值互不相同。4.AES加密算法中，密鑰擴(kuò)展過(guò)程使用了S盒替換操作。5.線性方程組Ax=b有解的充要條件是矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩。6.在RSA公鑰密碼中，模數(shù)n必須為兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)的乘積。7.奇數(shù)階實(shí)矩陣一定有實(shí)特征值。8.量子密碼學(xué)中，EPR佯謬描述了量子糾纏的非定域性。9.離散對(duì)數(shù)問(wèn)題（DLP）是ElGamal密碼體制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。10.在線性密碼分析中，已知密文和部分明文可恢復(fù)密鑰。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)不是矩陣特征值的基本性質(zhì)？A.特征值之和等于矩陣跡B.特征值之積等于矩陣行列式C.特征值可以是復(fù)數(shù)D.特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交2.在Hill密碼中，使用3×3矩陣加密時(shí)，明文分組長(zhǎng)度為？A.3個(gè)字符B.4個(gè)字符C.5個(gè)字符D.任意長(zhǎng)度3.AES-256的密鑰長(zhǎng)度為？A.128位B.192位C.256位D.320位4.矩陣A=([[1,2],[3,4]])的特征值為？A.5,-2B.6,-3C.4,1D.7,-45.下列哪個(gè)密碼體制基于大整數(shù)分解難題？A.DESB.BlowfishC.RSAD.IDEA6.線性回歸中，最小二乘法的目標(biāo)是最小化？A.系數(shù)平方和B.殘差平方和C.誤差絕對(duì)值和D.系數(shù)絕對(duì)值和7.量子密鑰分發(fā)（QKD）利用了量子力學(xué)的哪個(gè)原理？A.波粒二象性B.不可克隆定理C.算術(shù)基本定理D.拉格朗日中值定理8.在矩陣乘法中，(AB)T=BTAT，其中T表示轉(zhuǎn)置。A.正確B.錯(cuò)誤9.下列哪個(gè)不是RSA密鑰生成步驟？A.選擇兩個(gè)大質(zhì)數(shù)p和qB.計(jì)算n=pqC.計(jì)算φ(n)=(p-1)(q-1)D.隨機(jī)選擇e，要求gcd(e,φ(n))=110.Hill密碼的密鑰空間大小與矩陣階數(shù)n的？A.線性相關(guān)B.指數(shù)相關(guān)C.對(duì)數(shù)相關(guān)D.不相關(guān)三、多選題（每題2分，共20分）1.矩陣可逆的充要條件包括？A.行列式不為零B.秩等于階數(shù)C.特征值非零D.存在逆矩陣2.AES加密模式包括？A.ECBB.CBCC.CTRD.GCM3.下列哪些密碼體制屬于對(duì)稱加密？A.RSAB.DESC.AESD.ECC4.線性方程組Ax=b無(wú)解的條件是？A.A為奇異矩陣B.r(A)≠r(AB)C.b不在A的列空間D.增廣矩陣有矛盾方程5.量子密碼學(xué)的優(yōu)勢(shì)包括？A.不可竊聽(tīng)性B.安全性無(wú)條件保障C.傳輸距離有限D(zhuǎn).可抵抗側(cè)信道攻擊6.矩陣特征向量的性質(zhì)包括？A.非零向量B.與特征值唯一對(duì)應(yīng)C.滿足Av=λvD.可正交7.RSA加密過(guò)程中，加密和解密公式為？A.C≡M^emodnB.M≡C^dmodnC.gcd(e,d)=1D.n=pq8.線性密碼分析攻擊的假設(shè)條件包括？A.已知部分明文和密文B.密鑰空間較小C.密文有重復(fù)模式D.密鑰未隨機(jī)化9.下列哪些操作屬于AES輪函數(shù)？A.SubBytesB.ShiftRowsC.MixColumnsD.AddRoundKey10.Hill密碼的局限性包括？A.對(duì)明文分組長(zhǎng)度敏感B.易受頻率分析攻擊C.密鑰空間較小D.對(duì)稱加密效率低四、案例分析（每題6分，共18分）案例1：RSA密鑰生成與加密假設(shè)選擇質(zhì)數(shù)p=61,q=53，計(jì)算RSA公鑰和私鑰，并用公鑰加密明文M=42。案例2：AES密鑰擴(kuò)展給定AES-128密鑰K=([[02,03,01,01],[01,01,02,03],[03,02,01,01],[01,03,02,01]])，描述密鑰擴(kuò)展過(guò)程中S盒替換的步驟。案例3：線性密碼分析已知Hill密碼使用2×2矩陣密鑰K=([[3,1],[1,2]])，密文C=([[14,20],[31,35]])，嘗試恢復(fù)明文M。---五、論述題（每題11分，共22分）1.論述矩陣特征值在密碼學(xué)中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。2.比較RSA與AES在安全性、效率和應(yīng)用場(chǎng)景上的差異。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.×（特征值相同可能不可對(duì)角化）4.×（S盒在輪函數(shù)中，密鑰擴(kuò)展僅涉及異或）5.√6.√7.×（實(shí)矩陣可能有復(fù)特征值）8.√9.√10.×（線性密碼分析需更多信息）二、單選題1.D（特征向量不必正交）2.A3.C4.A（det(A)=5-6=-1,λ^2-5λ+4=0）5.C6.B7.B8.A9.D（e需與φ(n)互質(zhì)）10.B（n階矩陣密鑰空間為n^4）三、多選題1.A,B,D2.A,B,C,D3.B,C4.B,C,D5.A,C,D6.A,B,C7.A,B,C,D8.A,B,C9.A,B,C,D10.A,B,C四、案例分析案例1p=61,q=53,n=61×53=3233,φ(n)=60×52=3120選擇e=17（gcd(17,3120)=1）,d=2753（17×2753=46801≡1mod3120）加密：C≡42^17mod3233=1360解密：M≡1360^2753mod3233=42案例2AES-128密鑰擴(kuò)展：初始密鑰K0=K,K1=K0⊕S(K0[0]),K2=K1⊕S(K1[0])...S盒替換：將每個(gè)字節(jié)按預(yù)定表替換（如02→04,03→06等）案例3解密：M=C×K^-1mod26K^-1=([[5,-1],[-1,3]])mod26M=([[14,20],[31,35]])×([[5,-1],[-1,3]])mod26=([[4,8],[15,19]])五、論述題1.矩陣特征值在密碼學(xué)中的應(yīng)用-RSA：特征值用于計(jì)算φ