2025年線性代數(shù)通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)測試試卷考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分考核對(duì)象：通信工程、電子信息類相關(guān)專業(yè)學(xué)生及從業(yè)者題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。2.若向量組線性無關(guān)，則其中任意向量都不能由其他向量線性表示。3.在通信系統(tǒng)中，信號(hào)通過矩陣變換可以實(shí)現(xiàn)多通道并行傳輸。4.行列式為零的矩陣一定是奇異矩陣。5.特征值不為零的矩陣是可逆矩陣。6.奇異矩陣的特征值中必包含零。7.線性方程組Ax=b有解的充要條件是矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩。8.正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣。9.在信號(hào)處理中，傅里葉變換可以看作是一種特殊的矩陣變換。10.線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組唯一。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)不是矩陣的初等行變換？A.交換兩行B.某一行乘以非零常數(shù)C.某一行加上另一行的倍數(shù)D.將某一行全置零2.矩陣A的秩為3，則其4階子式一定為多少？A.0B.3C.任意值D.無法確定3.若向量組{v?,v?,v?}線性無關(guān)，則向量組{v?+v?,v?+v?,v?+v?}是否線性無關(guān)？A.線性無關(guān)B.線性相關(guān)C.無法確定D.一定相關(guān)4.矩陣A的特征值為λ?,λ?,λ?，則矩陣A2的特征值為？A.λ?2,λ?2,λ?2B.λ?+λ?+λ?,λ?λ?,λ?λ?C.λ?λ?λ?,λ?+λ?,λ?+λ?D.λ?+λ?+λ?,λ?λ?λ?,λ?2+λ?2+λ?25.下列哪個(gè)矩陣是正交矩陣？A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,1],[1,-1]]C.[[0,1],[-1,0]]D.[[1,2],[3,4]]6.線性方程組Ax=b無解，則矩陣A的秩與增廣矩陣的秩關(guān)系為？A.相等B.A的秩小于增廣矩陣的秩C.A的秩大于增廣矩陣的秩D.無法確定7.若矩陣A可逆，則其伴隨矩陣A的秩為？A.1B.2C.n-1D.n8.矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣記為A?，則(A?)?等于？A.AB.A?C.-AD.A29.在通信系統(tǒng)中，信號(hào)通過矩陣變換實(shí)現(xiàn)編碼，若矩陣A為編碼矩陣，則解碼矩陣為？A.AB.A?C.A?1D.A10.若向量組{v?,v?,v?}的秩為2，則向量組中線性無關(guān)的向量最多有多少個(gè)？A.1B.2C.3D.無法確定三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些是矩陣可逆的充要條件？A.矩陣的行列式不為零B.矩陣的秩等于其階數(shù)C.矩陣的特征值均為非零D.矩陣的行向量線性無關(guān)2.線性方程組Ax=b有唯一解的條件是？A.矩陣A可逆B.矩陣A的秩等于nC.增廣矩陣的秩等于nD.向量b可由向量組{A的列向量}線性表示3.正交矩陣的性質(zhì)包括？A.A?A=IB.A的行列式為±1C.A的特征值絕對(duì)值為1D.A的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣4.在通信系統(tǒng)中，矩陣變換可用于？A.信號(hào)編碼B.信道均衡C.多路復(fù)用D.數(shù)據(jù)加密5.矩陣的秩與其子式的關(guān)系包括？A.秩等于最大非零子式的階數(shù)B.秩小于等于矩陣的階數(shù)C.秩等于所有子式的最大階數(shù)D.秩等于非零子式的個(gè)數(shù)6.特征值與矩陣對(duì)角化的關(guān)系包括？A.對(duì)角化矩陣的特征值與原矩陣相同B.對(duì)角化矩陣的秩與原矩陣相同C.對(duì)角化矩陣的行列式與原矩陣相同D.對(duì)角化矩陣的跡與原矩陣相同7.線性無關(guān)向量組的性質(zhì)包括？A.其中任意向量都不能由其他向量線性表示B.向量組的極大線性無關(guān)組唯一C.向量組的秩等于向量個(gè)數(shù)D.向量組中存在零向量8.矩陣的初等行變換用途包括？A.求矩陣的秩B.解線性方程組C.求矩陣的逆D.求矩陣的特征值9.在通信系統(tǒng)中，矩陣變換可用于？A.信號(hào)調(diào)制B.信道編碼C.多用戶檢測D.數(shù)據(jù)壓縮10.線性方程組Ax=b無解的條件包括？A.矩陣A的秩小于增廣矩陣的秩B.向量b不在矩陣A的列空間中C.矩陣A不可逆D.增廣矩陣的秩大于矩陣A的秩四、案例分析（每題6分，共18分）案例1：某通信系統(tǒng)使用3×3矩陣A對(duì)信號(hào)進(jìn)行編碼，矩陣A為：A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]若接收端接收到信號(hào)向量b為[1,2,3]?，假設(shè)信號(hào)未受噪聲干擾，請(qǐng)判斷該信號(hào)是否能被正確解碼。若能，求原始信號(hào)向量x。案例2：某通信系統(tǒng)使用正交矩陣Q進(jìn)行信號(hào)正交分解，矩陣Q為：Q=[[0.6,0.8],[-0.8,0.6]]若發(fā)送信號(hào)向量x為[3,4]?，求其正交分解后的分量，并驗(yàn)證Q?Q=I。案例3：某通信系統(tǒng)使用矩陣A進(jìn)行信號(hào)編碼，矩陣A為：A=[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,0]]若發(fā)送信號(hào)向量x為[1,1,1]?，求接收端接收到的信號(hào)向量b，并判斷該系統(tǒng)是否可逆。五、論述題（每題11分，共22分）論述1：論述矩陣變換在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用，包括但不限于信號(hào)編碼、信道均衡、多路復(fù)用等方面，并舉例說明如何通過矩陣變換實(shí)現(xiàn)這些功能。論述2：論述線性方程組在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用，包括但不限于信道估計(jì)、信號(hào)恢復(fù)、多用戶檢測等方面，并舉例說明如何通過線性方程組解決實(shí)際問題。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√二、單選題1.D2.A3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.C10.B三、多選題1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABC8.ABC9.ABC10.ABD四、案例分析案例1：解：首先計(jì)算矩陣A的秩，通過行變換：[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]→[[1,2,3],[0,-3,-6],[0,0,0]]秩為2，而增廣矩陣為：[[1,2,3,1],[4,5,6,2],[7,8,9,3]]→[[1,2,3,1],[0,-3,-6,-2],[0,0,0,0]]秩仍為2，因此方程組有解。解方程組：x?+2x?+3x?=1-3x?-6x?=-2解得：x?=0,x?=1/3,x?=1-2x?-3x?=2/3原始信號(hào)向量x為[2/3,0,1/3]?。案例2：解：正交矩陣Q的逆等于其轉(zhuǎn)置，即Q?Q=I。計(jì)算Q?Q：[[0.6,-0.8],[0.8,0.6]][[0.6,0.8],[-0.8,0.6]]=[[1,0],[0,1]]=I正交分解：y=Q?x=[[0.6,-0.8],[0.8,0.6]][[3],[4]]=[[-1.2],[5.4]]驗(yàn)證：Qy=[[0.6,0.8],[-0.8,0.6]][[-1.2],[5.4]]=[[3],[4]]=x案例3：解：計(jì)算接收信號(hào)b：b=Ax=[[1,0,1],[0,1,1],[1,1,0]][[1],[1],[1]]=[[2],[2],[2]]計(jì)算矩陣A的行列式：|A|=1(1×0-1×1)-2(0×0-1×1)+3(0×1-1×1)=-1+2-3=-2≠0因此A可逆。五、論述題論述1：矩陣變換在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用廣泛，例如：-信號(hào)編碼：通過矩陣變換將信號(hào)映射到高維空間，提高抗干擾能力。如QR分解可