專題20概率與統(tǒng)計(jì)解答題全歸納（含決策性、賽制及馬爾科夫鏈等問題）

目錄

01析·考情精解

02破·題型攻堅(jiān)

考點(diǎn)概率與統(tǒng)計(jì)解答題全歸納

真題動(dòng)向

知識(shí)點(diǎn)1根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2樣本相關(guān)系數(shù)

知識(shí)點(diǎn)3回歸分析

知識(shí)點(diǎn)4獨(dú)立性檢驗(yàn)

必備知識(shí)知識(shí)點(diǎn)5離散型隨機(jī)變量分布列均值，方差

知識(shí)點(diǎn)6二項(xiàng)分布

知識(shí)點(diǎn)7超幾何分布

知識(shí)點(diǎn)8正態(tài)分布

題型01統(tǒng)計(jì)估計(jì)與概率

題型02統(tǒng)計(jì)圖表與概率

題型03殘差與決定系數(shù)

命題預(yù)測(cè)題型04回歸分析

題型05獨(dú)立性檢驗(yàn)

題型06二項(xiàng)分布與超幾何分布

題型07正態(tài)分布

題型08概率中的決策問題

題型09概率中的賽制問題

題型10馬爾科夫鏈

題型以中檔解答題為主，分值為14分左右。整體難度中檔，是得分的關(guān)鍵板塊之一。

1.高頻基礎(chǔ)考點(diǎn)：樣本空間、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算，頻率與概率的區(qū)別，互斥事件、對(duì)立事

件的辨析及簡(jiǎn)單概率計(jì)算。

命題軌

2.核心基礎(chǔ)考點(diǎn)：概率模型，古典概型，條件概率、全概率公式考查頻率較高，還會(huì)涉及相互

跡透視獨(dú)立事件的概率計(jì)算。

試題多以校園活動(dòng)、生活安全、保險(xiǎn)、競(jìng)賽等實(shí)際場(chǎng)景為背景，考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率

模型的能力。。

考點(diǎn)2025年2024年2023年

考點(diǎn)頻

上海卷T19，14分

次總結(jié)概率統(tǒng)計(jì)上海卷T17，14分上海卷T19，14分

預(yù)計(jì)在2026年高考中，解答題中利用排列、組合考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差、

2026命

二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等問題，有時(shí)亦考查回歸方程、統(tǒng)計(jì)案例的相關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)閱讀理解與信息

題預(yù)測(cè)處理能力.

考點(diǎn)概率與統(tǒng)計(jì)解答題全歸納

1．（2025·上?！じ呖颊骖}）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)獲得了男子4100米混合泳接力金牌．以下是歷屆奧

運(yùn)會(huì)男子4100米混合泳接力項(xiàng)目冠軍成績(jī)記錄（單位：秒），數(shù)據(jù)按照升序排列．

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

(1)求這組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)；

(2)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求恰有2個(gè)數(shù)據(jù)在211以上的概率；

(3)若比賽成績(jī)y關(guān)于年份x的回歸方程為y0.311xb?，年份x的平均數(shù)為2006，預(yù)測(cè)2028年冠軍隊(duì)的

成績(jī)（精確到0.01秒）．

2．（2024·上?！じ呖颊骖}）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生

中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

n(adbc)2

（附：2,其中nabcd，P23.8410.05．）

abcdacbd

3．（2023.上?！じ呖颊骖}）21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海2023年6月7日在上海舉行，下表為某汽車模型公司

共有25個(gè)汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：

紅色外觀藍(lán)色外觀

米色內(nèi)飾812

棕色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B取到模型有棕色

內(nèi)飾，求PB,PB|A，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨(dú)立；

(2)為回饋客戶，該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并規(guī)定，在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性抽取兩個(gè)汽車模型。

為了得到獎(jiǎng)品類型，現(xiàn)作出如下假設(shè)：

假設(shè)1：每人抽取的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果：①兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)飾均為同色；②兩個(gè)模型的外觀和內(nèi)

飾均為不同色；③兩個(gè)模型的外觀同色但內(nèi)飾不同色，或內(nèi)飾同色但外觀不同色。

假設(shè)2：該抽獎(jiǎng)設(shè)置三類獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金金額分別為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元，三等獎(jiǎng)150元。

假設(shè)3：每種抽取的結(jié)果都對(duì)應(yīng)一類獎(jiǎng)。出現(xiàn)某種結(jié)果的概率越小，獎(jiǎng)金金額越高。

請(qǐng)判斷以上三種結(jié)果分別對(duì)應(yīng)幾等獎(jiǎng)。設(shè)中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)是X，寫出X的分布，并求X的數(shù)學(xué)期望。

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

（1）平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘

積之和近似代替．

（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．

（3）眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)．

（1）樣本相關(guān)系數(shù)：設(shè)由變量x和y獲得的兩組數(shù)據(jù)分別為xi和yi（i=1，2，…，n），其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表

所示：

變量xx1x2x3x4x5x6…xn

變量yy1y2y3y4y5y6…yn

兩組數(shù)據(jù)xi和yi的線性相關(guān)系數(shù)是度量?jī)蓚€(gè)變量x與y之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，

n

xixyiy

其計(jì)算公式為ri1，

n2n2

xixyiy

i1i1

1n1n

其中，xxi，yyi，它們分別是這兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．

ni1ni1

（2）相關(guān)系數(shù)r與相關(guān)程度

（1）當(dāng)r0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；

當(dāng)r0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系；

（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1]；

當(dāng)r越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)r越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

^

（1）殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，

觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)稱為殘差；

（2）殘差圖：利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)或身高數(shù)據(jù)，或

體重的估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖；

（3）殘差圖法：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較適合，這樣的帶狀區(qū)域的

寬帶越窄，說明模型擬合精度越高；

一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析，借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)

行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策；

n

2

（4）殘差平方和：yiy?i稱為殘差平方和，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；

i1

n

2

(yiy?i)

22i122

（5）決定系數(shù)R比較，R1n，R越大，表示殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，R越

2

(yiy)

i1

小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.

n(adbc)2

（1）2計(jì)算公式:2，其中nabcd.

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

（2）臨界值的定義：對(duì)于任何小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)x，使得Px成立，我們稱x

為的臨界值，概率值越小，臨界值x越大.

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)：H0:PY1X0PY1X1，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).

基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則是：

2

當(dāng)x時(shí)，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；

2

當(dāng)x時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.

這種利用2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱

獨(dú)立性檢驗(yàn).

（4）2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

0.10.050.010.0050.001

x2.7063.8416.6357.87910.828

（5）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法

①根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；

②提出零假設(shè)：假設(shè)兩個(gè)變量相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋。

2

n(adbc)2

③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計(jì)算公式2求出的值；

(ab)(cd)(ac)(bd)

④當(dāng)2時(shí)，我們就推斷不成立，即兩個(gè)變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；

xH0

當(dāng)2時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為兩個(gè)變量相互獨(dú)立。

xH0

n

（）

1E(X)x1p1x2p2xnpnxnpn

i1

222

（2）D(X)(x1E(X))p1(xiE(X))pi(xnE(X))pn

1、定義

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，不

發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是kknk（，，，，）

q1pAkPXkCnpqk012…n

于是得到X的分布列

X01…k…n

p00n11n1kknknn0

CnpqCnpq…Cnpq…Cnpq

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式

n00n11n1kknknn0各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從

qpCnpqCnpqCnpqCnpqX

參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．

注意：①由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n1時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)

分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．

②本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．

3、二項(xiàng)分布的期望、方差

若X～B(n,p)，則E(X)np，D(X)np(1p)．

1、定義

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為

CkCnk

MNM，，其中，，且*，

P(Xk)nk0，1，2，…，mmminMnnN，MN，n，M，NN

CN

稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．

X01…m

0n01n1mnm

CMCNMCMCNMCMCNM

Pnn…n

CNCNCN

2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)

（1）適用范圍：

①考察對(duì)象分兩類；

②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；

③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)Y的概率分布．

（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．

1、定義

b

隨機(jī)變量X落在區(qū)間(a，b]的概率為P(aXb)(x)dx，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)(a，0)和點(diǎn)(b，0)的

a,

兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是X落在區(qū)間(a，b]的概率

的近似值．

b

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服

a,

從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作N(，2)．如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)

分布，則記為XN(，2)．

其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總

體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．

2、3原則

a

2

若XN(，)，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a0，P(aXa)(x)dx為下圖中陰影部分的面積，

a,

對(duì)于固定的和a而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，X落在區(qū)間(a,a]的概率越大，

即X集中在周圍的概率越大

特別地，有P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；

P(3X3)0.9974．

由P(3X3)0.9974，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(3，3)之內(nèi)．而在此區(qū)間以外

取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用

中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(，2)的隨機(jī)變量X只取(3，3)之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3原則．

1．小明有自覺體鍛的習(xí)慣，某運(yùn)動(dòng)軟件記錄了其每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)（單位：min），小明從最近90天的記錄

中隨機(jī)選取了10天的記錄，具體數(shù)據(jù)如下：68、34、70、45、74、126、108、66、36、72．

(1)求這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)：

(2)運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不超過60min為不達(dá)標(biāo)，估算從90天記錄中隨機(jī)抽取1天，該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的概率：

(3)從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)得到一組新的數(shù)據(jù)，求前后兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率．

2．一家水果店的店長(zhǎng)為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去20天蘋果的日銷售量（單位：kg），按

從小到大的排序結(jié)果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，

104，107，117．

(1)求該水果店過去20天蘋果日銷售量的平均數(shù)；

(2)若以過去20天蘋果的日銷售量的第80百分位數(shù)作為下個(gè)月每日蘋果的平均進(jìn)貨量，試確定下個(gè)月每日

蘋果的平均進(jìn)貨量；

(3)若從過去20天中隨機(jī)抽取3天，分別求“3天中每天的蘋果銷售量均超過90kg”與“3天中恰有2天的蘋果

銷售量超過90kg”的概率．

3．小閔同學(xué)某一天進(jìn)行了10次100米短跑集訓(xùn)，其中上午進(jìn)行了6次，下午進(jìn)行了4次；如下是他上午

集訓(xùn)6次的成績(jī)（單位：s）：13.7、13.9、14.9、15.3、12.9、13.3.

(1)求這6次成績(jī)的中位數(shù)；

(2)參考這一天上午集訓(xùn)的數(shù)據(jù)，用經(jīng)驗(yàn)概率估計(jì)概率，求該同學(xué)訓(xùn)練100米短跑3次至少有一次用時(shí)小于

13s的概率；

(3)若該同學(xué)下午4次的集訓(xùn)原始成績(jī)記錄丟失，但記得這4次的平均成績(jī)是14.25s，方差是0.75，求他這

一天10次訓(xùn)練成績(jī)的平均值和方差.

4．為培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感，某校開展了為期一學(xué)期的“溫暖社區(qū)，青春奉獻(xiàn)”志愿服務(wù)活動(dòng)．活動(dòng)結(jié)束后，

學(xué)校從甲、乙兩個(gè)班級(jí)中統(tǒng)計(jì)了部分學(xué)生的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如圖所

示（十位數(shù)字作為“莖”，個(gè)位數(shù)字作為“葉”）．已知甲組有9名學(xué)生的數(shù)據(jù)，乙組有10名學(xué)生的數(shù)據(jù)．

(1)分別寫出甲、乙兩組學(xué)生服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的第70百分位數(shù)；

(2)從甲、乙兩組學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過30小時(shí)的概率；

2

(3)記甲組志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為s0；在甲組中增加一名學(xué)生A得到“新甲組”，若A的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為27，

22

則記“新甲組”志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為s1；若A的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)為20，則記“新甲組”志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的方差為s2；

2、2、2

通過計(jì)算比較s0s1s2的大小（結(jié)果精確到0.1），并從數(shù)學(xué)角度解釋這一現(xiàn)象．

5．某區(qū)2025年3月31日至4月13日的天氣預(yù)報(bào)如圖所示．

(1)從3月31日至4月13日某天開始，連續(xù)統(tǒng)計(jì)三天，求這三天中至少有兩天是陣雨的概率；

(2)根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，該區(qū)4月14日的最低氣溫是9C，溫差是指一段時(shí)間內(nèi)最高溫度與最低溫度之間的差值，

例如3月31日的最高溫度為17C，最低溫度為9C，當(dāng)天的溫差為8C記4月1日至4日這4天溫差的

4

方差為s2，4月11日至14日這4天溫差的方差為s2，若s2s2，求4月14日天氣預(yù)報(bào)的最高氣溫；

12231

(3)從3月31日至4月13日中隨機(jī)抽取兩天，用X表示一天溫差不高于9C的天數(shù)，求X的分布列及期望．

6．某校高三年級(jí)學(xué)生參加了一次時(shí)政知識(shí)競(jìng)賽，為了了解本次競(jìng)賽的成績(jī)情況，從所有答卷中隨機(jī)抽取100

份作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將樣本的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50、50,60、

L、90,100得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求實(shí)數(shù)m的值；若年級(jí)準(zhǔn)備選取80分及以上的學(xué)生進(jìn)入下一輪競(jìng)賽，已知該校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，

估計(jì)該校高三年級(jí)參加下一輪競(jìng)賽的人數(shù)；

L

(2)王老師抽取了10名參加競(jìng)賽的學(xué)生，他們的分?jǐn)?shù)為：x1、x2、x3、、x10．已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)x91，

標(biāo)準(zhǔn)差s5，若剔除其中的96和86這2個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與方差．

7．王老師將全班40名學(xué)生的高一數(shù)學(xué)期中考試（滿分100分）成績(jī)分成5組，繪制成如圖所示的頻率分

布直方圖，現(xiàn)將[50,60)記作第一組，[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分別記作第二、三、四、五組．已

知第一組、第二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．

(1)估計(jì)此次考試成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；

(2)王老師將測(cè)試成績(jī)?cè)赱80,90)和[90,100]內(nèi)的試卷進(jìn)行分析，再?gòu)闹羞x2人的試卷進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示，求

被選中進(jìn)行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測(cè)試成績(jī)至少1個(gè)在[90,100]內(nèi)的概率；

(3)已知第二組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為83和70，

據(jù)此計(jì)算第二組和第四組所有學(xué)生成績(jī)的方差．

8．（2025·云南麗江·三模）某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了4次試

驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：

零件的個(gè)數(shù)x

2345

（個(gè)）

加工的時(shí)間y

2.5344.5

（小時(shí)）

n

xiyinxy

?i1?

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式bn，a?ybx

22

xinx

i1

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程y?b?xa?；

(2)求各樣本的殘差；

(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要的時(shí)間.

9．某汽車研發(fā)公司的工程師為了解一款新型汽車在不同行駛速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的變化規(guī)

律，進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，記錄不同速度下的油耗數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：

66

2

并計(jì)算得xiyi3025，xi45100．

i1i1

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）；

(2)根據(jù)線性回歸方程，繪制殘差圖，并分析線性回歸方程的擬合效果（若殘差的平方和小于0.775，則說明

擬合效果良好，否則擬合效果較差）．

nn

xixyiyxiyinxy

?i1i1?

附：bnn，ybxa?．

222

xixxinx

i1i1

10．某公司為了解年研發(fā)資金x（單位：億元）對(duì)年產(chǎn)值y（單位：億元）的影響，對(duì)公司近8年的年研發(fā)

資金xi和年產(chǎn)值yi（iN，1i8）的數(shù)據(jù)對(duì)比分析中，選用了兩個(gè)回歸模型，并利用最小二乘法求得相

應(yīng)的y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

①y?13.05x48.4；②y?0.76x2c?．

(1)求c?的值；

(2)已知①中的殘差平方和S13610，②中的殘差平方和S2658，請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)

驗(yàn)回歸方程，并利用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)年研發(fā)資金為20億元時(shí)的年產(chǎn)值．

8888

22

參考數(shù)據(jù)：xi64，yi448，xi684，yiy32900．

i1i1i1i1

n2

yiyi

2i1

參考公式；刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R1n．

2

yiy

i1

11．（2025·湖南·三模）中國(guó)的非遺項(xiàng)目豐富多樣，涵蓋廣泛，體現(xiàn)了中華民族的智慧和獨(dú)特的文化魅力．春

節(jié)期間某地為充分宣揚(yáng)該地非遺物質(zhì)文化，加大非遺傳承人的技藝展示．該地市場(chǎng)開發(fā)與發(fā)展機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了

非遺傳承人的技藝展示量與市場(chǎng)消費(fèi)收入的6組數(shù)據(jù)如下表：

技藝展示量x（單位：個(gè)）212324272932

市場(chǎng)消費(fèi)收入y（單位：萬元）61120275777

(1)若用線性回歸理論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，求市場(chǎng)消費(fèi)收入y關(guān)于技藝展示量x的回歸方程ybxa（精確到0.1）；

(2)若用非線性回歸模型求得市場(chǎng)消費(fèi)收入y關(guān)于技藝展示量x的回歸方程為y0.06e0.2303x，且決定系數(shù)

R20.9522，與（1）中的線性回歸模型相比，應(yīng)用決定系數(shù)R2說明哪種模型的擬合效果更好．

x,yx,y

附：一組數(shù)據(jù)11，22，…，xn,yn，其回歸直線ybxa的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為

nn2

xixyi,yyiyi

bi1，；決定系數(shù)R21i1

n2aybxn2

xixyiy

i1i1

66262

參考數(shù)據(jù)：xixyiy557，xix84，yiy3930，

i1i1i1

62

線性回歸模型的殘差平方和為yiyi236.64（其中xi，yi分別為非遺傳承人的技藝展示量和市場(chǎng)消

i1

費(fèi)收入，i1,2,3,4,5,6）．

12．為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量y（單位：克每

立方米）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x（單位：米）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．（表

119

中ui,uui）．

xi9i1

99999

222

xyu(xix)(uiu)(yiy)(xix)(yiy)(uiu)(yiy)

i1i1i1i1i1

697.900.212400.1414.1226.131.40

d

(1)利用相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷yabx與yc哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量y關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距

x

離x的回歸方程類型；

(2)根據(jù)（1）的結(jié)果建立y關(guān)于x的回歸方程，并估計(jì)樣本對(duì)原點(diǎn)的距離x=20米時(shí)，平均金屬含量是多少？

13．某科研活動(dòng)共進(jìn)行了5次試驗(yàn)，其數(shù)據(jù)如表所示：

特征量第1次第2次第3次第4次第5次

xx12x25x38x49x511

yy112y210y38y48y57

(1)求成對(duì)數(shù)據(jù)xi,yii1,2,3,4,5的相關(guān)系數(shù)；

(2)求特征量y關(guān)于x的回歸方程，并據(jù)此估算特征量x10時(shí)y的值；

(3)設(shè)特征量x作為隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N,2，其中為5次試驗(yàn)中x的平均數(shù)，2為5次試驗(yàn)中

x的方差．求P3.84x13.32．（本題所有答數(shù)精確到0.01．）

14．某生物小組為了研究溫度對(duì)某種酶的活性的影響進(jìn)行了一組實(shí)驗(yàn)，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)整理得到如下的

折線圖：

666

參考數(shù)據(jù)：，xxyy85，2

yi52.5iiyiy5.5.

i1i1i1

(1)由圖可以看出，這種酶的活性指標(biāo)值y與溫度x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為30℃時(shí)，這種酶的活性指標(biāo)值.（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）

15．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時(shí)間不低于10小時(shí)的為合格品，工程師選擇某臺(tái)生

產(chǎn)電池的機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下的22

列聯(lián)表：

產(chǎn)品合格不合格合計(jì)

調(diào)試前451560

調(diào)試后35540

合計(jì)8020100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)顯著性水平0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；

(2)現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再?gòu)倪@8件產(chǎn)

品中隨機(jī)抽取3件做對(duì)比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為X，求X的分布和期望；

(3)用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機(jī)抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為Y，

求使事件“Yk”的概率最大時(shí)k的取值．

2

nadbc

參考公式及數(shù)據(jù)：2，其中nabcd．

abcdacbd

2

P00.050.0250.010.0050.001

03.8415.0246.6357.87910.828

16．某地同城閃送為了提高服務(wù)質(zhì)量，進(jìn)行了服務(wù)改進(jìn)，并對(duì)服務(wù)進(jìn)行評(píng)分.已知服務(wù)改進(jìn)前某天共有1000

個(gè)訂單，其好評(píng)率為85%；服務(wù)改進(jìn)后某天共有1500個(gè)訂單，其中好評(píng)訂單為1350個(gè).

(1)已知某100個(gè)好評(píng)訂單評(píng)分的極差為2，數(shù)據(jù)如下（其中x10，n是正整數(shù)）

服務(wù)評(píng)分x8.599.510

訂單數(shù)量n3213114

求這100個(gè)好評(píng)訂單的第40百分位數(shù).

(2)根據(jù)服務(wù)改進(jìn)前后的這兩天的訂單數(shù)據(jù)完成下列22列聯(lián)表，并依據(jù)0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷訂單

獲得好評(píng)與服務(wù)改進(jìn)是否有關(guān).

好評(píng)訂單非好評(píng)訂單合計(jì)

服務(wù)改進(jìn)前1000

服務(wù)改進(jìn)后13501500

合計(jì)

2

nadbc

附：2，P23.8410.05.

abcdacbd

17．某中學(xué)為探究“周末使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)是否影響學(xué)業(yè)成績(jī)”，隨機(jī)調(diào)查100名學(xué)生，得到部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

學(xué)業(yè)成績(jī)使用手機(jī)2小時(shí)使用手機(jī)2小時(shí)

良好m20

不良好n40

記事件A“學(xué)業(yè)成績(jī)良好且使用手機(jī)2小時(shí)”，事件B“學(xué)業(yè)成績(jī)不良好且使用手機(jī)2小時(shí)”，已知事件

A的頻率是事件B的頻率的3倍.

(1)求表中的m，n的值；

(2)記使用手機(jī)2小時(shí)的學(xué)生中學(xué)業(yè)成績(jī)良好的概率為P，求P的估計(jì)值；

(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，請(qǐng)畫出22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“周末使用手機(jī)時(shí)長(zhǎng)”與“學(xué)業(yè)成績(jī)”有

關(guān)？請(qǐng)說明理由.

2

nadbc

參考數(shù)據(jù)：2，其中nabcd.

abcdacbd

0.100.050.010.0050.001

x2.7063.8416.6357.87910.828

18．2025年11月9日至11月21日，第15屆全運(yùn)會(huì)在廣東，香港，澳門成功舉辦，某運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館內(nèi)共有志

愿者36名，其中男生12名，女生24名，這些志愿者中會(huì)說日語和會(huì)說韓語的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

男生志愿者女生志愿者

會(huì)說日語812

會(huì)說韓語mn

其中m,n均為正整數(shù)，6m8．

(1)從這36名志愿者中隨機(jī)抽取兩名作為某活動(dòng)主持人，求：抽取的兩名志愿者中至少有一名會(huì)說日語的概

率；

(2)從這些志愿者中隨機(jī)抽取一名去接待外賓，用A表示事件“抽到的志愿者是男生”，用B表示事件“抽到的

志愿者會(huì)說韓語”；試給出所有符合條件的m,n的值，使得事件A與B相互獨(dú)立，并說明理由．

19．圖為某平臺(tái)向100名觀眾征集某電影的評(píng)分結(jié)果的頻率分布直方圖．

(1)求m的值；

(2)估計(jì)這100名觀眾評(píng)分的平均數(shù)；

(3)從評(píng)分在60,70和70,80的觀眾中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人進(jìn)行問卷調(diào)查，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)

抽取3人進(jìn)行訪談，求被抽到的3人中評(píng)分在60,70的人數(shù)X的分布、期望和方差．

20．已知一個(gè)不透明的盒中有n個(gè)小球（小球除編號(hào)不同外其余均相同），這n個(gè)小球的編號(hào)分別為1，2，

3，…，（n3，nN*）．現(xiàn)進(jìn)行如下摸球活動(dòng)：

(1)若n5，從盒中一次性摸取2個(gè)小球，求這2個(gè)小球編號(hào)不相鄰的概率；

(2)如果摸球前約定“固定重疊原則”：即隨機(jī)摸取盒中k個(gè)小球（0kn，kN*），記錄編號(hào)后放回，再

重復(fù)以上操作一次，記這兩次操作中被重復(fù)摸取的小球數(shù)為X．

（?。┤鬾6，k2，求概率P(X1)；

（ⅱ）求使概率P(Xm)取得最大值時(shí)m的值．

21．隨著智能手表的普及，越來越多的學(xué)生使用其功能，為了了解學(xué)生使用智能手表功能的情況，現(xiàn)從某

校隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，對(duì)使用A，B，C，D四種功能的情況統(tǒng)計(jì)如下:

功能種數(shù)性別0種1種2種3種4種

男1852422810

女1258482210

在上述樣本所有使用3種功能的人中，統(tǒng)計(jì)使用A,B,C,D的人次如下:

功能ABCD

人次37403538

假設(shè)不同學(xué)生使用智能手表功能的情況相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

(1)從該校隨機(jī)選取一人，若已知該學(xué)生至少使用兩種功能，估計(jì)該學(xué)生恰好使用三種功能的概率；

(2)從該校使用三種功能的學(xué)生中，隨機(jī)選出3人，記使用B功能的人數(shù)為X人，求X的分布列和期望；

(3)從該校男、女生中各隨機(jī)選一人，記他們使用功能的種數(shù)分別為Y,Z，試比較Y,Z期望的估計(jì)值

EY,EZ的大小(結(jié)論不要求證明).

22．A校抽取66名高一年級(jí)學(xué)生測(cè)量身高，因某種原因原始數(shù)據(jù)遺失.已知該樣本是按照分層隨機(jī)抽樣的方

法抽取的，其中男生34名，身高平均數(shù)為173cm；女生32名，身高平均數(shù)為161cm.該66名學(xué)生身高的方

差為60，其頻率分布直方圖如下：

(1)求該66名學(xué)生中身高在169.5,172.5（單位：cm）內(nèi)的人數(shù)；

(2)試用已知數(shù)據(jù)估計(jì)A校高一年級(jí)全體學(xué)生身高的平均數(shù)；（結(jié)果精確到0.1cm）

(3)若一組數(shù)據(jù)落在x2s,x2s（x是平均數(shù)，s是標(biāo)準(zhǔn)差）內(nèi)的頻率不小于92%，則稱這組數(shù)據(jù)滿足“常

態(tài)”.試判斷這66個(gè)身高數(shù)據(jù)是否滿足“常態(tài)”，并說明理由.

23．某公司生產(chǎn)的糖果每包標(biāo)識(shí)“凈含量500g”，但公司承認(rèn)實(shí)際的凈含量存在誤差.已知每包糖果的實(shí)際凈

含量（單位：g）服從正態(tài)分布N500,2.52.

(1)隨機(jī)抽取一包該公司生產(chǎn)的糖果，求其凈含量誤差超過5g的概率（精確到0.001）；

(2)隨機(jī)抽取3包該公司生產(chǎn)的糖果，記其中凈含量小于497.5g的包數(shù)為X.求X的分布和期望（精確到

0.001）.

參考數(shù)據(jù)：10.8413，20.9772，30.9987，其中yx為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

24．某校體育鍛煉時(shí)間準(zhǔn)備提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．為了解該校學(xué)生是否同意“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有

籃球”，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，數(shù)據(jù)如表：

男生女生合計(jì)

同意7050120

不同意305080

合計(jì)100100200

(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?

(2)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩供學(xué)生選擇．若甲、乙兩學(xué)生從三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種（他們的選擇相互獨(dú)立）．若

2

在甲學(xué)生選擇足球的前提下，兩人的選擇不同的概率為．記事件A為“甲學(xué)生選擇足球”，事件B為“甲、

3

乙兩名學(xué)生的選擇不同”，判斷事件A,B是否獨(dú)立，并說明理由．

(3)經(jīng)觀察，該校學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X～N185,169，由往年經(jīng)驗(yàn)，訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開始時(shí)

增加10個(gè)，該校有1000名學(xué)生，預(yù)估經(jīng)過訓(xùn)練后每分鐘跳182個(gè)以上人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．

2

nadbc

參考公式和數(shù)據(jù)：2，其中nabcd；

abcdacbd

2

Pxx00.0230.0100.005

x05.0246.6357.879

若XN,2，則PX0.6827，PX20.9545，PX30.9973．

25．為響應(yīng)國(guó)家促進(jìn)消費(fèi)的政策，某大型商場(chǎng)舉辦了“消費(fèi)滿減樂翻天”的優(yōu)惠活動(dòng)，顧客消費(fèi)滿800元（含

800元）可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）

方案1：從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球（形狀、大小完全相同）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地依次摸出3個(gè)球．每摸

出1次紅球，立減150元，若3次都摸到紅球，則額外再減200元（即總共減650元）；

方案2：從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球（形狀、大小完全相同）的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地依次摸出3個(gè)球．中獎(jiǎng)

規(guī)則為：若摸出3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球，則打5折；其余情況無優(yōu)惠．

(1)顧客A選擇抽獎(jiǎng)方案2，已知他第一次摸出紅球，求他能夠享受優(yōu)惠的概率；

(2)顧客B恰好消費(fèi)了800元，

①若他選擇抽獎(jiǎng)方案1，求他實(shí)付金額的分布列和期望（結(jié)果精確到0.01）；

②試從實(shí)付金額的期望值分析顧客B選擇何種抽獎(jiǎng)方案更合理．

26．由于X病毒正在傳染蔓延，對(duì)人的身體健康造成危害，某校擬對(duì)學(xué)生被感染X病毒的情況進(jìn)行摸底調(diào)

查，首先從兩個(gè)班共100名學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，并對(duì)這20人進(jìn)行逐個(gè)抽血化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果如下：

1,9,5,6,2,3,8,5,3,4,2,6,10,5,5,2,1,7,6,6.已知指數(shù)不超過8表示血液中不含X病毒；指數(shù)超過8表示血液中

含X病毒且該生已感染X病毒.

(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含X病毒的概率；

(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學(xué)校想從還未抽血化驗(yàn)的1000人中，把已感染X病毒的學(xué)生全找出.

方案A：逐個(gè)抽血化驗(yàn)；

方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)混合血液

含X病毒，再分別對(duì)該組的40人的另一份血樣逐份化驗(yàn)；

方案C：將方案B中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案B相同.

如果用樣本頻率估計(jì)總體頻率，且每次化驗(yàn)需要不少的費(fèi)用.試通過計(jì)算回答：選用哪一種方案更合算？（可

供參考數(shù)據(jù)：0.9400.014,0.9410.013,0.940.656,0.950.5905）

27．根據(jù)相關(guān)研究報(bào)告顯示，預(yù)計(jì)2025年電商交易額突破18億元，網(wǎng)購(gòu)用戶規(guī)模接近9億．下表為某網(wǎng)店

統(tǒng)計(jì)的近5個(gè)月的利潤(rùn)y（單位：萬元），其中x為月份代號(hào)．

月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月

月份代號(hào)x12345

利潤(rùn)y／萬

86.35.13.22.4

元

(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r（r精確到0.01），判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的

關(guān)系；若可用，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)2025年5月該網(wǎng)店利潤(rùn)；若不可用，請(qǐng)說明理由；

(2)該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種抽獎(jiǎng)方案．方案一：一次性購(gòu)物金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)

1

的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折，其余情況不打

4

折．方案二：從裝有8個(gè)形狀大小、完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，白球1個(gè)，黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一

次性摸出2個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸出1個(gè)紅球和1一個(gè)白球打六折，摸出2個(gè)黑球打八折，其余情況不打

折．某顧客計(jì)劃在此網(wǎng)店購(gòu)買1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．

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參考：b?i1，?，ri1

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