高級高三上期一診模擬考試數(shù)學(xué)注意事項：．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.．考生必須保持答題卡的整潔.第I卷選擇題（分）85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：B2.若，則“”的一個充分不必要條件可以是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以，即，當(dāng)時，取，則，所以“”是“”的一個充分不必要條件，故A正確；第1頁/共19頁對于B，即“”是“”的充要條件，故B錯誤；對于C，由，取，則，由，取，則，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于D，由，取，則，由，取，則，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯誤．故選：A．3.已知命題，總有，則為（）A.，使得B.，使得C.，總有D.，總有【答案】B【解析】【分析】直接寫出命題的否定即可.【詳解】因為，總有，則為，使得故選:B4等差數(shù)列滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，可得，第2頁/共19頁又由故選：B.5.二項式的展開式中第5項的系數(shù)為（）A.252B.252C.210D.210【答案】C【解析】【分析】求出展開式的通項，從而可得第5項的系數(shù)．【詳解】二項式展開式的通項公式，當(dāng)時，第5項系數(shù)為210．故選：C.6.有2位老師和4名學(xué)生排成一隊照相，老師既不能分開也不排在首尾，則不同的排法有（）.A.32種B.64種C.96種D.144種【答案】D【解析】【分析】特殊元素優(yōu)先排，先利用捆綁法把2位老師看成一個整體，有種排法，再給2位老師選5個位置中的中間3個，剩下4名學(xué)生在4個位置全排列，再由分步乘法計數(shù)原理即可算出不同的排法總數(shù).【詳解】2位老師不能分開，即將他們捆綁為一個整體，2位老師的順序可交換，有種排法，老師不排在首尾，由于將2位老師看成一個整體了，與4名學(xué)生一共是5個位置在排列，2位老師不能選首尾的2個的位置，只能選中間的3個位置中的一個，2位老師選定后，剩下4名學(xué)生在4個位置全排列，所以有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的排法一共有種.故選：D.7.層，前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留，故有此名.與黃鶴樓、岳陽樓、滕王閣齊名，是中國第3頁/共19頁古代四大名樓之一、下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計）從地面點看樓頂點的仰角為80米到達(dá)的仰角為，結(jié)果保留2位小數(shù)）A.80.56米B.81.46米C.84.32米D.80.56米【答案】B【解析】【分析】設(shè)，分別在與中利用正弦定理，列方程，解方程即可.【詳解】由已知設(shè)，則，，在中，由正弦定理得，即，又在中，由正弦定理得，即，則，則，故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.第4頁/共19頁【解析】【分析】先利用三角恒等變換將函數(shù)化成正弦型函數(shù)，結(jié)合給定區(qū)間求出的范圍，借助于的圖象，即可建立關(guān)于的不等式，求解即得.【詳解】由，設(shè)，由，可得，即，作出函數(shù)的圖象.函數(shù)在區(qū)間上恰有4個零點，由圖，則，解得.故選：C.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.的模長為B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限C.為純虛數(shù)D.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的一個解【答案】BCD【解析】AB第5頁/共19頁判斷C；解方程判斷D.【詳解】因為，所以，A錯誤；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第四象限，B正確；為純虛數(shù)，C正確；，得，即，則是方程的一個解，D正確.故選：BCD.10.下列說法正確的是（）A.相關(guān)系數(shù)為的兩個隨機變量比相關(guān)系數(shù)為的兩個隨機變量的線性相關(guān)性強B.一組數(shù)據(jù)5，7，9，，13，15，17，19，21，23的上四分位數(shù)為19C.若數(shù)據(jù)的均值為的均值為，則數(shù)據(jù)的方差為2D.已知隨機變量～，若，則【答案】BC【解析】ABC望及期望的性質(zhì)計算判斷D.【詳解】對于A﹐兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，一個是正相關(guān)，一個是負(fù)相關(guān)，，相關(guān)性一樣，A錯誤；對于B，由10×75%=7.5，得第75百分位數(shù)為第8個數(shù)，為19，B正確；對于C，的方差為，C正確；對于D，由，得，由，得，解得，D錯誤.故選：BC關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，有兩個零點B.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增第6頁/共19頁D.對任意兩個正實數(shù)，且，若，則【答案】AB【解析】ABC，直接求導(dǎo)判定其單調(diào)性、最值結(jié)合函數(shù)圖象即可判定正誤；對于D，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性證明即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，，顯然或，故A正確；對于B，當(dāng)時，，顯然時，，故B正確；對于C，易知，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，且時，，，所以要滿足題意，需，故C錯誤；對于D，由上及題設(shè)，易知，構(gòu)造，則，因為，所以，故，第7頁/共19頁即在上單調(diào)遞增，，即，則，而在上單調(diào)遞增，且，，所以，故，故D錯誤.故選：AB【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，結(jié)合零點存在性定理或者數(shù)形結(jié)合是解決零點問題的直接思路，構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的直接思路.第卷非選擇題（分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.計算的值為______.【答案】【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】原式.故答案為：813.______．【答案】【解析】【分析】由兩角和與差的正弦和余弦公式即可化簡求值.【詳解】第8頁/共19頁故.故答案為：.14.在中，，的角平分線交于，面積的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及正弦定理邊角轉(zhuǎn)化可得為直角，由等面積法得，結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】設(shè)在中，角所對的邊分別為.因為，所以，所以，由正弦定理可得，故，因為為的角平分線，所以.由得，整理得，即.第9頁/共19頁因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故面積的最小值為8.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)在處有極值1.（1）求實數(shù)a，b的值;（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】1）由題意，解出的值再檢驗即可；（2）直接求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符合與單調(diào)性關(guān)系即可得解.【小問1詳解】已知函數(shù)，則，由題意，解得，當(dāng)時，，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處有極小值，滿足題意，綜上所述，符合題意；【小問2詳解】第10頁/共19頁當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.16.已知內(nèi)角所對的邊分別為，的面積為.（1）求角的大小；（2）為邊上一點，，且，求.【答案】（1）（2）【解析】1）由余弦定理，再利用，結(jié)合已知條件的面積為，化簡可求角.（2）通過作求出，根據(jù)得到，再利用角的余弦定理得到，即可求.【小問1詳解】由余弦定理得，又，所以，即，，.【小問2詳解】如圖，過作交延長線于，第11頁/共19頁，且，，，在中，，即，，所以的值為.17.某校在2024年開展了兩次勞動基地除草耕地活動，首次活動有800名學(xué)生參加．活動結(jié)束后，經(jīng)評估發(fā)現(xiàn)有70%學(xué)生的勞動技能得到了提升．為進(jìn)一步增強勞動教育效果，學(xué)校汲取首次活動的經(jīng)驗并進(jìn)行改進(jìn)，第二次活動面向未參加第一次活動的學(xué)生開展．不僅增加了辨別雜草種類、合理使用農(nóng)具等具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，還特邀農(nóng)業(yè)專家進(jìn)行現(xiàn)場指導(dǎo)．已知第二次活動吸引了1200960名學(xué)生的勞動技能得到了提升．（1）補充完整下面的列聯(lián)表；勞動技能提升的學(xué)生人數(shù)勞動技能未提升的學(xué)生人數(shù)合計首次活動第二次活動合計（2動改進(jìn)有關(guān)？（320第12頁/共19頁提升的概率．附：，．0.100.050.012.7063.8416.635【答案】（1）列聯(lián)表見詳解（2）能（3）【解析】1）由已知條件即可完成列聯(lián)表；（2）由獨立性檢驗知識可以完成判斷；（3）依據(jù)組合的知識和古典概型公式即可求解.【小問1詳解】首次活動勞動技能提升的學(xué)生人數(shù)70%人；首次活動勞動技能未提升的學(xué)生人數(shù)人；第二次活動勞動技能提升的學(xué)生人數(shù)為人；第二次活動勞動技能未提升的學(xué)生人數(shù)人，勞動技能提升學(xué)生人數(shù)勞動技能未提升的學(xué)生人數(shù)合計首次活動560240800第二次活動9602401200合計【小問2詳解】零假設(shè)為該校第二次除草耕地活動中學(xué)生的勞動技能提升與活動改進(jìn)無關(guān)，第13頁/共19頁根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即該校第二次除草耕地活動中學(xué)生的勞動技能提升與活動改進(jìn)有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過.【小問3詳解】抽取的名學(xué)生中勞動技能得到提升的人數(shù)為名學(xué)生中勞動技能未得到提升的人數(shù)為人，記從這20名學(xué)生中隨機抽取3名進(jìn)行深度訪談，其中恰好有2名學(xué)生的勞動技能提升為事件，則.18.已知公差大于0的等差數(shù)列的前項和為，且是的等比中項．（1）求的通項公式及；（2）記為在區(qū)間內(nèi)項的個數(shù)，為數(shù)列的前項和．（i）若，求的最大值；（ii）設(shè)，證明：．【答案】（1）；（2i）5ii）證明見解析..【解析】1）應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式及等差中項的性質(zhì)、通項公式求基本量，進(jìn)而得到的通項公式及；（2i）根據(jù)已知得，即得，應(yīng)用等差、等比前n項和公式及分組求和得，再由能成立求的最大值；（iii第14頁/共19頁縮有，應(yīng)用錯位相減法求右側(cè)的前n項和，即可證.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，即①，，即②，將①代入②得，因為，解得，所以．【小問2詳解】（i）令，即，解得，所以，即的通項公式為所以．又，所以．由，得，因為，所以的最大值為5．（ii）由（i）知，則，所以．設(shè)①，則②，第15頁/共19頁所以．因為，所以．綜上，．19.對于函數(shù)，和，，設(shè)，若對任意的，，都有成立，則稱函數(shù)與“具有性質(zhì)”.（1）判斷函數(shù)，與是否“具有性質(zhì)”，并說明理由；（2）若函數(shù)與“具有性質(zhì)”，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個零點，，求證：；（3）已知函數(shù)，，，求證：函數(shù)與“具有性質(zhì)”.【答案】（1）具有性質(zhì)，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】1），，與“具有性質(zhì)”.（2）根據(jù)函數(shù)具有性質(zhì)得，令，，利用極值點偏移的方法可證，故可得原不等式成立；（3）令，，利用導(dǎo)數(shù)可證在前者為減第16頁/共19頁【小問1詳解】令，，所以，所以在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，所以，即，即，所以，所以函數(shù)，與“具有性質(zhì)”.【小問2詳解】證明：由函數(shù)在上有兩個零點，，得，又函數(shù)與“具有性質(zhì)”，則，即，即，令，，即.記，即，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.