/福建省福州第十五中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列各數(shù)是數(shù)列的項(xiàng)是（

）A．11 B．22 C．24 D．442．已知等差數(shù)列的公差為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則在軸上的截距為（

）A． B． C． D．4．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．5．已知為空間向量且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列中，，（n為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．7．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）.①三棱錐中，點(diǎn)到平面的距離為定值；②過點(diǎn)且平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為；③直線與平面所成角的正弦值的范圍為；以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與數(shù)列是同一數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則110是該數(shù)列的第11項(xiàng)10．在正四棱柱中，，是的中點(diǎn)，則（

）A．與所成角的余弦值為 B．與平面所成的角為C．對(duì)角線與平面所成的角為 D．四面體的體積是11．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，實(shí)軸長為4，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則（

）A．的焦距為 B．C．的面積為 D．的縱坐標(biāo)為三、填空題12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的值為.13．已知，是拋物線：上不同兩點(diǎn).若直線過點(diǎn)，則的最小值為.14．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，若是曲線C上任意一點(diǎn)，的最小值為.四、解答題15．（1）在等差數(shù)列中，若，，試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng)．（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式．16．已知直線：與軸交于點(diǎn)，原點(diǎn)為.（1）若直線過點(diǎn)，且與平行，求的一般方程；（2）若圓過點(diǎn)，兩點(diǎn)且與相切，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.17．雙曲線的左焦點(diǎn)為．（1）點(diǎn)P在雙曲線上，求的最小值（請(qǐng)寫出必要推導(dǎo)過程）；（2）過點(diǎn)作傾斜角為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，求．18．如圖，在四棱錐中，底面，，.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，且點(diǎn)P，B，C，D均在球O的球面上.（i）證明：點(diǎn)O在平面內(nèi)；（提示：可設(shè)坐標(biāo)，因?yàn)榫谇虻那蛎嫔?，所以，再結(jié)合代數(shù)法計(jì)算）（ii）求O到平面的距離.19．已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓：的離心率平方之和為.（1）求的方程；（2）已知，過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于點(diǎn)，.（?。┤?，分別在第一、四象限，求四邊形面積的取值范圍；（ⅱ）若直線，的傾斜角分別為，，且，求直線與直線的交點(diǎn)到直線的距離.

答案1．【正確答案】B【詳解】解得，故A錯(cuò)誤；解得，故B正確；解得，故C錯(cuò)誤；解得，故D錯(cuò)誤．故選:B．2．【正確答案】B【詳解】由題可知；故選B.3．【正確答案】B【詳解】由題知的斜率為，所以的方程為，令，得.故選B.4．【正確答案】D【詳解】拋物線中，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選D.5．【正確答案】B【詳解】由題在方向上的投影向量為.故選B6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，則有，得，故.故選A7．【正確答案】D【詳解】因?yàn)樵陔p曲線中，因?yàn)?，所以，則，在中，，，所以，即，所以，所以，則，所以雙曲線的漸近線方程為.故選D8．【正確答案】C【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，,設(shè)，則，即，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對(duì)于①，到平面的距離，①正確；對(duì)于②，連接，在中，，面，面，則面，同理面，而平面，因此平面平面，即過點(diǎn)且平行于面的平面被正方體截得的多邊形為正，其邊長為，面積為，②正確；對(duì)于③，設(shè)直線與平面所成角為，則，由，得，，所以直線與面所成角的正弦值的范圍為，③錯(cuò)誤.故選C9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，由數(shù)列概念，顯然不是同一數(shù)列，錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，即數(shù)列為遞減數(shù)列，B正確，對(duì)于C，由觀察法可知，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，解得，D正確，故選BD10．【正確答案】ABD【詳解】以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.對(duì)于A，，所以與所成角的余弦值為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)闉檎叫危?，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量，，所以與平面所成的角為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以對(duì)角線與平面所成的角不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以四面體的體積.故D正確.故選ABD11．【正確答案】BCD【詳解】A，依題意，知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，所以，由，得，所以焦距為，故A錯(cuò)誤；B，因?yàn)?，所以點(diǎn)為雙曲線上支的一點(diǎn)，故由雙曲線的定義，可得，則，故B正確；C，在中，，所以，故的面積為，故C正確；D，由的面積為，即，解得，結(jié)合點(diǎn)為雙曲線上支的一點(diǎn)，代入雙曲線的方程，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故D正確．故選BCD12．【正確答案】10【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.13．【正確答案】【詳解】設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).14．【正確答案】【詳解】曲線，當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為，當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為，當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為，當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程可化為，作出曲線如圖：到直線的距離，則即為，要求得的最小值，結(jié)合曲線的對(duì)稱性，只需考慮，時(shí)的情況；當(dāng)，時(shí)，曲線C的方程為，曲線為圓心為，半徑為的圓的一部分，而到直線的距離為，由圓的性質(zhì)得曲線C上一點(diǎn)到直線的距離最小為，故的最小值為.15．【正確答案】（1）91為數(shù)列中的第43項(xiàng)；（2）【詳解】（1）因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，解得，代入通?xiàng)公式為：，令，即，解得（為正整數(shù)），即91為數(shù)列中的第43項(xiàng)．（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入，得，與一致，∴的通項(xiàng)公式是．16．【正確答案】（1）；（2）或.【詳解】（1）把代入，得，所以直線的斜率，直線.因?yàn)椋缘男甭?，所以的方程為，?（2）法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由題意可得，解得或，所以圓的方程為或.

法二：因?yàn)閳A過原點(diǎn)，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，設(shè)圓的方程為（），由圓過點(diǎn)，得，由圓與相切，得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以圓的方程為或.17．【正確答案】（1）1（2）3【詳解】（1）由題可知，，設(shè)，則，即或，，又或，所以時(shí)，取得最小值1；（2）雙曲線的左焦點(diǎn)，又因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，則直線的方程為，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，得，設(shè)，則，則．18．【正確答案】（1）見詳解；（2）（i）見詳解；（ii）.【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，且平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）（i）以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，則，設(shè)，因?yàn)榫谇虻那蛎嫔?，所以，則，解得，即，所以點(diǎn)在上，即點(diǎn)在平面內(nèi).（ii）由，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以到平面的距離為.19．【正確答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）6【詳解】（1）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，得，解得，所以橢圓的離心率為；橢圓的離心率為，由橢圓與橢圓的離心率平方之和為得，