/福建省福州恒一高級中學2025?2026學年高三上學期12月資優(yōu)生階段檢測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則集合中所有元素之和為（

）A．0 B．2 C． D．2．設為復數(shù)的共軛復數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的定義域為，且，則可以是（

）A． B． C． D．4．若點繞著坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角到達點，則（

）A． B．0 C． D．5．已知為坐標原點，直線與圓交于，兩點，若為的中點，則的最大值為（

）A． B． C．11 D．126．為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，，，，在上，，關于點對稱，，關于直線對稱，則四邊形的周長為（

）A．2 B．4 C．6 D．87．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知四邊形中，，，．現(xiàn)將沿邊翻折，使點翻折到點，若平面平面，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)滿足，，，下列說法不正確的是（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象關于點對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是10．在正方體中，點在線段上運動，則下列判斷中正確的是（

）A．平面B．平面C．三棱錐的體積不變D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是11．過曲線外的一點作曲線的切線，若這樣的切線有且只有一條，則，滿足的關系可以是（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知向量，，則．13．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與交于，兩點，與相交于點，為中點．若，則的準線方程為．14．對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的“數(shù)列”．如果數(shù)列為函數(shù)的“數(shù)列”，，且，則．四、解答題15．在四邊形中，，，，平分，與相交于點．（1）若，求的面積；（2）若，求的面積．16．如圖，棱錐中，平面平面，和都是等邊三角形，四邊形是等腰梯形，．（1）證明：平面；（2）若，求；（3）當變化時，平面與平面的夾角的余弦值是否為定值，若是，求出該余弦值，若不是，說明理由．17．已知數(shù)列滿足：，．（1）求，并判斷是否恒成立；（2）設，證明：是等差數(shù)列；（3）數(shù)列的前項和為，求．18．已知雙曲線的中心點為，其中為左?右焦點，，為左?右頂點，且離心率為上一動點.（1）求證：；（2）設直線的斜率分別為，求證：為定值；（3）若雙曲線的頂點為和，且的最大內(nèi)角為，求點的坐標.19．已知函數(shù)，．（1）若為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若，求最大值的取值范圍；（3）若，求實數(shù)的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【詳解】由解得：，由解得，所以，，，即，區(qū)間關于原點對稱，所以集合中所有元素之和為0．故選A．2．【正確答案】D【詳解】由方程得，對于A：顯然不對，A錯誤；對于B：若，則；若，則；B錯誤；對于C：法1，若，，則；若，，則；C錯誤；法2，是實系數(shù)二次方程的兩根，所以，C錯誤；對于D：法1，若，，則；若，，則；D正確；法2，是實系數(shù)二次方程的兩根，所以，D正確；故選D．3．【正確答案】B【詳解】由知，為偶函數(shù)，由知，則，即，的周期為2，由知，為的一個對稱中心．對于A：，所以是奇函數(shù)，A錯誤；對于B：，是偶函數(shù)；，周期為；，，即，為的一個對稱中心，B正確；對于C：，是周期為的奇函數(shù)，C錯誤；對于D：，是周期為的偶函數(shù)，D錯誤；故選B．4．【正確答案】C【詳解】設，則，由三角函數(shù)的定義可知，故：，，由二倍角公式可得：．故選C．5．【正確答案】A【詳解】由題意可得圓心為，半徑為2，直線過定點．因為為的中點，所以，點(或點)即點，故點在以為直徑的圓上（去掉點），而，且圓的半徑為1，故圓的方程為，由圖知，，即的最大值為．故選A．6．【正確答案】D【詳解】連接，,因為，關于點對稱，所以,由于，關于直線對稱，則為的中垂線，則,,所以四邊形的周長為,由橢圓的定義可得：,所以，即四邊形的周長為故選D7．【正確答案】B【詳解】當，時，由得，，令，則．令，，則，故在上單調(diào)遞增．因為，，所以存在唯一的，使得，即，即，所以，所以當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增，所以，故，．故選B8．【正確答案】B【詳解】在中，設其外接圓的半徑為，可得，所以，在中，設其外接圓的半徑為，可得，所以，可得兩個小圓的半徑相等，且都是，且互相垂直的兩個小圓交弦，設和的外接圓的圓心分別為，外接球的半徑為，取的中點，連接，可得，在直角中，可得,所以外接球的表面積是．故選B.9．【正確答案】ABC【詳解】因為，所以，因為，所以，，因為，，所以，，又，所以，所以．當時，，選項A錯誤．當時，，選項B錯誤．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，選項C錯誤．當時，，，，函數(shù)在上的圖象如下：由圖可知，當時，函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，選項D正確．故選ABC．10．【正確答案】BCD【詳解】對于選項A：在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，同理可證，因為平面，平面，則平面，因為平面，平面，則平面，因為，且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故A錯誤；對于選項B：由選項A可知：，且平面，平面，則平面，在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，則平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對于選項C：因為平面，且點在線段上運動，可知點到平面的距離為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積不變，故C正確；對于選項D：不妨設正方體的邊長為2，因為是邊長為的等邊三角形，則，設點到平面的距離為，則，解得，設直線與平面所成角為，則，當點與點重合時，取最小值，此時取最大值；當點與點重合時，取最大值，此時取最小值；且正弦值具有連續(xù)性，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是，故D正確；故選BCD.11．【正確答案】AD【詳解】，設切點為，則切線方程為：，因為切線經(jīng)過點，將點代入得，化簡得，故方程有一個根．令，，轉(zhuǎn)化為直線與曲線只有一個交點，，當時，；當時，．故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，．根據(jù)直線與只有一個交點，則有或．故選AD．12．【正確答案】【詳解】，，．13．【正確答案】【詳解】過，作準線的垂線，垂足為，，過作的垂線，垂足為，與軸相交于．因為為中點，所以，所以，設，，，又，所以，．由三角形的相似，可得，即，故，的準線方程為．14．【正確答案】【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，，所以，所以，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）在中，，，，，故，；在中，，，，，；在中，，，由余弦定理得：，，解得，．，．（2）在中，，，，，．由正弦定理，得：，，解得，．16．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）余弦值都為定值【詳解】（1）因為，所以，且平面，平面，所以平面.（2）把平面與平面展開成平面圖形，使得在的位置，則菱形，，在邊，上，如圖．取中點，中點，連接，，以為原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，設，，則，，則，，，，可得，，因為直線與垂直，則，解得（舍）或，可知，，所以.（3）設二面角的平面角為，則為鈍角．可得，，設平面的法向量，則，取，，可得，又因為平面的法向量，可得，且為鈍角，可得，所以平面與平面的夾角的余弦值為所以當變化時，平面與平面的夾角的余弦值是否為定值17．【正確答案】（1），不恒成立（2）見詳解（3）【詳解】（1）因為，所以，，；

又，，故不恒成立．（2）當，，；

當，，；

兩式相加，可得，故，由，可得是等差數(shù)列．（3）當時，，又，

所以，則在偶數(shù)項的和中，每對，均滿足此條件．

又由（2）可得，

則

18．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3），，，【詳解】（1）由雙曲線的離心率，可知，即，所以雙曲線，設，，，，，所以；（2）設，，，即，所以為定值；（3）根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設點在右支第一象限上，雙曲線方程為，則的最大內(nèi)角為最大，此時，則，設直線，聯(lián)立雙曲線方程，，得，得或（舍），時，，即，根據(jù)對稱性可知，點在第二象限的坐標為，點在第三象限的坐標為，點在第四象限的坐標為，所以滿足條件的點坐標為，，，.19．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1），

因為為增函數(shù)，故，即，

又因為，所以，

所以（2）若時，因為在單調(diào)遞減，所以存在唯一使得，即

又因為，故，．當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減；

所以最大值為．令，

則，所以在單調(diào)遞增，

故的取值范圍為，故最大值的取值范圍（3）由，得．設，，則，

，