/四川省合江縣馬街中學(xué)校2025?2026學(xué)年高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．已知，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若則（

）A． B． C． D．5．已知，且滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．7．某電視臺(tái)計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，則不同的播放方式有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種8．已知的定義域?yàn)椋?，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．某校在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間進(jìn)行了一場(chǎng)“不服來(lái)戰(zhàn)”對(duì)抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛(ài)好者組成乙組，兩組進(jìn)行對(duì)抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，則（

）A．乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為B．甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率C．甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為D．乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為11．在三棱錐中，平面平面，，則（

）A．三棱錐的體積為1B．點(diǎn)到直線AD的距離為C．二面角的正切值為2D．三棱錐外接球的球心到平面的距離為三、填空題12．計(jì)算：．13．函數(shù)（）的最大值是．14．過(guò)雙曲線：右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為A，直線與另一條漸近線交于點(diǎn)B．且點(diǎn)A，B位于x軸的異側(cè)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線C的離心率為．四、解答題15．某市統(tǒng)計(jì)了2024年4月的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），將其分為，，，的4組，畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示.若，稱當(dāng)天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)；若，稱當(dāng)天空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo).（1）求；（2）從4月的30天中任取2天，求至少有1天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的概率；（3）若2024年6月的30天中有8天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)，請(qǐng)完成下面2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)？月份空氣質(zhì)量合計(jì)達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)4月6月合計(jì)附：，0.10.050.012.7063.8416.63516．如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．17．如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上.（1）求的面積；（2）若，，求CE的長(zhǎng).18．已知橢圓（）的離心率為，其上焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，同時(shí)交拋物線于點(diǎn)（如圖1所示，點(diǎn)在橢圓與拋物線第一象限交點(diǎn)上方），試比較線段與長(zhǎng)度的大小，并說(shuō)明理由；(3)若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于點(diǎn)（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值．19．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)榛颍曰?，所?故選C.2．【正確答案】B【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，利用不等式的性質(zhì)易得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯(cuò)誤.故選B.3．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意可直接判斷充分性，舉例說(shuō)明必要性不成立即可.【詳解】若，則，即充分性成立；若，例如，滿足條件，但不成立，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的充分不必要條件.故選A.4．【正確答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題可得，所以.故選B.5．【正確答案】D【分析】根據(jù)進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】因?yàn)?，，所以在上的投影向量?故選D.6．【正確答案】C【詳解】展開(kāi)式中的第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.故選C.7．【正確答案】B【詳解】先從3個(gè)不同的公益廣告中選兩個(gè)安排到第一個(gè)和最后一個(gè)播放有種方法，然后將3個(gè)不同的商業(yè)廣告排成一列有種方法，3個(gè)不同的商業(yè)廣告之間有兩個(gè)空，選擇一個(gè)將剩下的一個(gè)公益廣告安排進(jìn)去即可，所以總共有：種方式.故選:B8．【正確答案】B【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函?shù)，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一個(gè)周期是，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函數(shù)可得：所以，所以.故選B.9．【正確答案】BCD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)公式可判定B、D.【詳解】對(duì)于A：由，得，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋?，解得或（舍去），則B正確；對(duì)于C：設(shè)（，且），則，所以，則C正確；對(duì)于D：由，得.設(shè)（，且），則，，從而，則D正確.故選BCD.10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A中，設(shè)“乙組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，設(shè)“甲組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，因?yàn)椋訠正確；對(duì)于C中，因?yàn)榧捉M同學(xué)每次命中的概率都為，設(shè)甲組同學(xué)命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為，所以，，，故，所以D正確.故選BCD.11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)A：如圖，取AB的中點(diǎn)，連接DG，CG，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，又因?yàn)椋?，所以平面，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)B、C：取AD的中點(diǎn)，連接BE，取AE的中點(diǎn)，連接FG，CF，因?yàn)镕，G分別為AE，AB中點(diǎn)，則，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫瑒t，則點(diǎn)到直線AD的距離為，則為二面角的平面角，，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)D：設(shè)，的外心分別為，，則，又平面平面，平面，所以平面，設(shè)三棱錐外接球的球心為，則平面，平面，所以四邊形為矩形，則，故三棱錐外接球的球心到平面的距離為，D正確.故選ACD.12．【正確答案】/0.5【詳解】，，，．13．【正確答案】1【詳解】化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，可得，由，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1．14．【正確答案】【詳解】解：如圖所示：設(shè)A在第一象限，由題意可知，其中為點(diǎn)到漸近線的距離，，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，過(guò)分別作于，于，又因?yàn)橛冢运倪呅螢檎叫?，所以，所以，又因?yàn)椋?，，所以，所以，所?15．【正確答案】（1）0.002（2）（3）不能【詳解】（1）依題意得，，解得．（2）由頻率分布直方圖知，4月份的空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的天數(shù)為：，則4月份的空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo)的天數(shù)為：，則任取2天，至少有1天空氣質(zhì)量達(dá)標(biāo)的概率為：．（3）列聯(lián)表如下：月份空氣質(zhì)量合計(jì)達(dá)標(biāo)不達(dá)標(biāo)4月1218306月82230合計(jì)204060零假設(shè)：空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份無(wú)關(guān)，則所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分理由推斷假設(shè)不成立，故不能認(rèn)為空氣質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)與月份有關(guān)聯(lián)．16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)椋?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）中，，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?；?）方法1：因?yàn)?所以,所以，則.方法2：在中，由余弦定理得，因?yàn)闉榫€段上靠近的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，在中，由余弦定理得，，所以.18．【正確答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得，利用差比較法求得.（3）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由（2）求得，，進(jìn)而求得四邊形面積的表達(dá)式，根據(jù)不等式的性質(zhì)求得面積的最小值.【詳解】（1）由題意得，即：，又，所以，由，得，所以橢圓的方程為.（2）由題意得過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，消去得：，則，，所以.拋物線的方程為：，聯(lián)立，消去得：，則，所以，所以，即.（3）設(shè)，，，，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則直線方程為，由（2）的過(guò)程可知：，由，以替換，可得，所以，因?yàn)?，所以，，；?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，所以；綜上所述：，所以四邊形面積的最小值為.19．【正確答案】（1）（2）見(jiàn)詳解（3）3個(gè)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞