/天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線x2=－4y的準(zhǔn)線方程為（）A．x＝1 B．x＝2 C．y＝1 D．y＝22．已知等差數(shù)列，，則公差d等于（

）A． B． C．3 D．-33．在等差數(shù)列中，，則（

）．A．3 B．4 C．6 D．84．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．5．設(shè)雙曲線的焦距為，若成等差數(shù)列，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．6．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是（

）A． B．C． D．7．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．等差數(shù)列中，已知，，則的前項(xiàng)和的最小值為A． B． C． D．9．高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差之差或高次差相等的數(shù)列，中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān).如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，則第10層小球的個(gè)數(shù)為（

）.A．45 B．55 C．65 D．7510．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知曲線是雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．12．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則等于.13．已知數(shù)列滿足，則等于．14．雙曲線的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且軸.若是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為.15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，且滿足，則的周長(zhǎng)為．三、解答題16．若數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明是等差數(shù)列.17．已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）傾斜角為的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于、兩點(diǎn)，求18．已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線EF與平面夾角的正弦值；（3）求點(diǎn)F到面PAC的距離19．已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切，直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.20．設(shè)橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若（為原點(diǎn)），求直線的方程；（Ⅲ）若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，，求證：為定值.

答案1．【正確答案】C【詳解】，，拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選C.2．【正確答案】B【詳解】由題意，等差數(shù)列，，可得等差數(shù)列的公差.故選B.3．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知.故選C.4．【正確答案】B【詳解】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由題意得：，所以，故雙曲線方程為.故選B5．【正確答案】A【詳解】成等差數(shù)列，，又，，即，，雙曲線的漸近線方程為.故選A.6．【正確答案】B【詳解】依題意，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，設(shè)這條弦的兩個(gè)端點(diǎn)，由得：，又，于是得弦AB所在直線斜率，方程為：，即，所以這條弦所在的直線方程是.故選B7．【正確答案】A【詳解】依題意，軸，，所以.故選A8．【正確答案】C【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即.又，∴的前項(xiàng)和的最小值為.故答案選C9．【正確答案】B【詳解】記第層有個(gè)球，則，結(jié)合高階等差數(shù)列的概念知，，，則第10層的小球個(gè)數(shù).故選B10．【正確答案】D【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得，即.故選D.11．【正確答案】【詳解】由曲線是雙曲線，得，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.12．【正確答案】3【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示：過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則有，由梯形的中位線有，由拋物線定義可知．13．【正確答案】7【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列為等差數(shù)列，由所以，即，由等差數(shù)列的性質(zhì)有：，所以.14．【正確答案】【詳解】由題意，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，將代入雙曲線的方程，得，又，所以，又是等腰直角三角形，所以，所以，即，又，即，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），即雙曲線C的離心率為.15．【正確答案】/【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，解得，所以雙曲線方程為，則，根據(jù)雙曲線的定義可知，，所以，解得，，所以的周長(zhǎng)為.16．【正確答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以.（2）由（1）知，則，所以，又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）由題可知，，所以橢圓方程為.（2）右焦點(diǎn)為，所以傾斜角為的直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，可得，，所以，所以.18．【正確答案】（1）見詳解；（2）；（3）.【詳解】（1）根據(jù)平面，平面，所以,又底面是正方形，則,可以建立如圖所示以A為原點(diǎn)，所在直線對(duì)應(yīng)軸的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，易知是平面的一個(gè)法向量，而，平面，所以平面；（2）由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，所以，令，即，設(shè)直線EF與平面夾角為，所以；（3）由（1）知，顯然是平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)F到面PAC的距離為.19．【正確答案】（1）或（2）或【詳解】（1）圓心到直線的距離，圓的半徑為2，所以圓的方程為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為，不相切.直線斜率存在，設(shè)直線，由，得或所以切線方程為，或.（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，由，解得.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，即直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則，解得：，故的方程是，即，綜上所述，直線的方程為或.20．【正確答案】（1）（2）或（3）詳見詳解【詳解】試題分析：（1）由題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1；（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，·＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韋達(dá)定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韋達(dá)定理計(jì)算，得到答案．試題解析：（1）橢圓的頂點(diǎn)為(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.（2）由題可知，直線l與橢圓必相交．①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(