/天津市武清區(qū)河西務(wù)中學(xué)2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．雙曲線的實(shí)軸長是()A．2 B． C．4 D．43．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．4．過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（

）A． B．C．或 D．或5．若雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．6．以下命題正確的是（

）A．直線l的方向向量為，直線m的方向向量，則l與m垂直B．直線l的方向向量，平面的法向量，則C．兩個(gè)不同平面的法向量分別為，，則D．平面經(jīng)過三點(diǎn)，向量是平面的法向量，則7．?dāng)?shù)列滿足，且，則的值為（

）A．2 B．1 C． D．8．若點(diǎn)在橢圓上，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，且，則的面積為（

）A． B．3 C．4 D．19．法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓：的蒙日?qǐng)A為：，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題10．已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)是，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.11．若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則.12．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為．13．若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面所成角的余弦值為．14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．15．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為.三、解答題16．已知圓心在直線上，且過點(diǎn)、．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過點(diǎn)的直線被所截得的弦長為4，求直線的方程．17．如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.18．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求的面積.19．如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與所成角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)到平面的距離，若不存在，請(qǐng)說明理由.20．已知橢圓E：的離心率為，且左、右頂點(diǎn)以及下頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P（與A、B不重合），線段AB的垂直平分線與AB交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，求直線l的斜率．

答案1．【正確答案】C【詳解】由直線，可得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，所以.故選C.2．【正確答案】C【詳解】試題分析：雙曲線方程變形為，所以，實(shí)軸長為考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)3．【正確答案】D【詳解】由得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選D.4．【正確答案】C【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選C5．【正確答案】A【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選A6．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以不垂直，所以l與m不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以或不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，向量是平面的法向量，所以，，即，解得，故D錯(cuò)誤.故選C.7．【正確答案】C【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，且，可得，可得數(shù)列是以三項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以.故選C.8．【正確答案】A【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，所以，又因?yàn)?，即，因?yàn)?，在，根?jù)余弦定理可得，即，又因?yàn)?，所以，所以，故選A9．【正確答案】D【詳解】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，，即，所以橢圓的離心率.故選D10．【正確答案】【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)是，所以，解得，所以拋物線方程為.11．【正確答案】【詳解】設(shè)，則直線的方程為由，得所以所以12．【正確答案】【詳解】直線變形為，令，解得，則，所以直線l恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑，則圓心C到P點(diǎn)的距離，分析可得，當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，圓心C到直線l的距離d最大，且為，此時(shí)有最小值，且.13．【正確答案】/【詳解】依題意，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，即直線與平面所成角的余弦值為.14．【正確答案】【詳解】令，，當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證，滿足題意，故.15．【正確答案】2【詳解】據(jù)題設(shè)分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.16．【正確答案】（1）；（2）或.【詳解】由點(diǎn)、可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線的垂直平分線的斜率為，可得直線的垂直平分線的方程為：即，由可得：，所以圓心為，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）設(shè)直線的方程為即，圓心到直線的距離，則可得，即，解得：或，所以直線的方程為或，即或17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【詳解】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，由P，O分別為DF和DB的中點(diǎn)，得，而平面APC，平面APC，所以平面APC.

（2）由直線平面ABCD，平面ABCD，得，由矩形ABCD，得，以A為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面BCF的法向量，則令，得，設(shè)平面APC的法向量為，則，令，得，所以平面ACP與平面BCF的夾角的余弦值為.（3）由（2）知，平面APC的法向量，而，所以點(diǎn)F到平面ACP的距離.18．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）由題設(shè)可得，，進(jìn)而寫出橢圓方程；（2）聯(lián)立橢圓與直線，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式及點(diǎn)線距離公式求，進(jìn)而求面積.【詳解】（1）由題設(shè)且，則，故，所以.（2）聯(lián)立直線與橢圓，可得，顯然，所以，，故，而到的距離，所以的面積為.19．【正確答案】（1）見詳解；（2）（3）【詳解】（1）依題意，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得,,,,,.依題意，,,從而,所以，即（2）依題意，,,設(shè)為平面ACF的法向量，則，不妨設(shè)可得，因?yàn)?設(shè)直線EC與平面ACF所成角為，則，所以直線EC與平面ACF所成角的正弦值為.（3）假設(shè)線段DE上存在一點(diǎn)，使得直線BG與AD所成角的余弦值為，則.依題意則，，解得.所有存在點(diǎn)滿足條件，所以可得,由（2）可知平面ACF的一個(gè)法