/浙江省金華市卓越聯(lián)盟2025?2026學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)和在直線的異側(cè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，，則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．?dāng)?shù)學(xué)家萊莫恩（Lemoine）在1867年發(fā)現(xiàn)并證明：過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)、、作它外接圓的切線分別和邊、、所在的直線相交于點(diǎn)、、，則三點(diǎn)、、，在同一直線上．這條直線稱為該三角形的“萊莫恩（Lemoine）線”．在平面直角坐標(biāo)系中若某三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則該三角形的萊莫恩（Lemoine）線方程為（

）A． B．C． D．7．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B． C． D．8．已知為圓：的弦，點(diǎn)，若直線，直線的斜率之積為，則的面積（

）A．有最小值 B．有最大值1C．有最小值 D．有最大值二、多選題9．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．若平面的法向量，，則、、、四點(diǎn)共面B．若平面的法向量，，則與平面所成的角為C．若平面的法向量，，則點(diǎn)到平面的距離是D．若，，且是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是10．已知數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，且，，.若的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)可能正確的是（

）A． B．為最大項(xiàng)C． D．?dāng)?shù)列，，的公差為6411．橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知，是橢圓，的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的一條切線，切點(diǎn)為，，在直線上的投影分別為，，則（

）A． B．C．最大值為 D．三、填空題12．已知過(guò)橢圓，的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2，則．13．已知直線：，則直線與圓：相交的最短弦長(zhǎng)為．14．已知橢圓：，，若任意以為圓心的圓和橢圓至多有兩個(gè)交點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍為．四、解答題15．已知頂點(diǎn)，，．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）求的角平分線與邊的交點(diǎn)坐標(biāo)．16．如圖，在平行六面體中，，，，，求：（1）試用表示，再求的長(zhǎng)度；（2）求直線與直線所成角的余弦值．17．已知等腰梯形如圖1所示，其中，，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面平面，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)位置），是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所得圖形如圖2所示．（1）若，求的值；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)、、、均在球的球面上，是否存在點(diǎn)使得在平面上，若存在求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上第一象限的點(diǎn)，且到的距離比到直線的距離小1，直線與交于、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）證明以為直徑的圓過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若，證明：．19．已知數(shù)列中，首項(xiàng)，.（1）求證是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和；（3）令，的前項(xiàng)和為，求證：，．

答案1．【正確答案】A【詳解】已知點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)同點(diǎn)的關(guān)系是橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)相反，因此點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選A.2．【正確答案】C【詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選C3．【正確答案】B【詳解】點(diǎn)和在直線的異側(cè)，，解得.故選B.4．【正確答案】A【詳解】由，得，因此，而，所以.故選A5．【正確答案】A【詳解】由可得，整理為，因?yàn)?，故，?shù)列為遞減數(shù)列，因此條件“”可以推出結(jié)論“數(shù)列為遞減數(shù)列”，故充分性成立；而數(shù)列為遞減數(shù)列，只需即可，無(wú)需，因此“數(shù)列為遞減數(shù)列”無(wú)法推出條件“”，故必要性不成立.因此“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選A.6．【正確答案】C【詳解】設(shè)的外接圓方程為：，代入點(diǎn)，得，解得，故的外接圓方程為：，即，故外接圓的圓心坐標(biāo)為，故外接圓在處的切線為，又，令，得，故；外接圓在處的切線為，又，令，得，故.故直線，整理得：，即該三角形的萊莫恩（Lemoine）線方程為.故選C.7．【正確答案】B【詳解】由題可得，，若，則，同理可得均為0，顯然不成立，故.將兩邊同除，得，即，又因?yàn)?，故是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，因此，..故選B.8．【正確答案】D【詳解】由題易知，直線的斜率必存在，故可設(shè)直線，.聯(lián)立直線與圓，，得，，得.若，則，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，顯然不符題意，故.由韋達(dá)定理，可得..因此有，解得，即，因此直線過(guò)定點(diǎn)，故重設(shè)直線，因?yàn)橹本€與圓相交，故圓心到直線的距離，解得.弦長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離，故.令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的面積有最大值.故選D.9．【正確答案】ABC【詳解】對(duì)于A：，平面或平面，又因?yàn)槠矫妫势矫?，因此、、、四點(diǎn)共面，故A正確；對(duì)于B：設(shè)與平面所成的角為，則，因此，即與平面所成的角為，故B正確；對(duì)于C：點(diǎn)到平面的距離，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭氢g角，故，解得，但當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是平角，不滿足鈍角，故D錯(cuò)誤.故選ABC.10．【正確答案】AC【詳解】設(shè)后三項(xiàng)的公差為，因?yàn)椋瑒t，，由，得，由前三項(xiàng)成等比數(shù)列，公比，所以，結(jié)合，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，兩種情況的最大項(xiàng)分別是112和180，均不是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，公差為16或，均不是64，故D錯(cuò)誤．故選AC．11．【正確答案】ABD【詳解】由題意，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于，連接交于，則，由于為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則為三角形中位線，則且，同理可得，，則A選項(xiàng)正確；由等角定理以及圖象可得，B選項(xiàng)正確；則，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，的最大值不小于，則最大值為，當(dāng)時(shí)，的最大值小于，則最大值小于，故C錯(cuò)誤；由基本不等式可得，則，取中點(diǎn)，連接，則為直角梯形的中位線，則，且，，，則，故D正確；故選ABD.12．【正確答案】【詳解】過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦即為通徑，橢圓的通徑長(zhǎng)為，由題可知，解得.13．【正確答案】4【詳解】可化為，因此易知直線過(guò)定點(diǎn).，點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線截圓的弦長(zhǎng)最短時(shí)，，，此時(shí)弦長(zhǎng)為.14．【正確答案】【詳解】由題意有：設(shè)圓的方程為：，由，所以，令，又，所以為開口向上的一元二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即，所以，所以，所以存在滿足，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性知，此時(shí)圓和橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，最多有一個(gè)解，即至多有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)圓和橢圓至多有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，則，所以；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，最多有一個(gè)解，即至多有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)圓和橢圓至多有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，故，綜上，.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線的斜率為，直線的方程為，整理得；（2）由題意，所在的直線方程：，所在的直線方程：，所在的直線方程：，設(shè)所求交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則有，整理得，解得或（舍去），所以，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.16．【正確答案】（1），；（2）.【詳解】（1）由于幾何體是平行六面體，則，，所以；（2）設(shè)直線與直線所成角為，則，，又因?yàn)?，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為.17．【正確答案】（1）（2）存在，【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以平面，所以，若，則平面，所以，所以，所以，.（2）法一：如圖以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)球的坐標(biāo)為，則，解得，所以球心.設(shè)，則，要使得球心在平面上，則、、、四點(diǎn)共面，可得，則，則，解得，所以.法二：如圖以為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，則、、、，，.由（1）可知，平面，因此易知，又因?yàn)?，平面，故平面，?由（1）可知，平面，故，故.因?yàn)?，，可得球心在中點(diǎn)，即球心.設(shè)，則，要使得球心在平面上，則、、、四點(diǎn)共面，則到平面的距離為0設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，故，所以，又因?yàn)?，則，解得，所以.18．【正確答案】（1）（2）見(jiàn)詳解，（3）見(jiàn)詳解【詳解】（1）由題意，到的距離與到直線的距離相等，所以準(zhǔn)線，即，解得，所以拋物線的方程為.（2）證明：聯(lián)立，可得，，設(shè)、，則，，以為直徑的圓的方程為，且，，則，，代入圓方程得，該圓方程過(guò)原點(diǎn)，坐標(biāo)為.（3）證明：由對(duì)稱性不妨設(shè)在第一象限，則有，，，、則，所以，即，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，由，可知，又因?yàn)?，則可得