/吳江中學2025-2026學年度第一學期自主學習訓練高三數學卷一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】直接解出集合，再求交集即可.【詳解】，，則.故選：D.2.已知，且，其中是虛數單位，則等于（）A.5 B. C. D.1【正確答案】B【分析】利用復數乘法法則進行計算，得到，再使用模長公式求解.【詳解】由得：，即，解得，從而.故選：B3.等比數列的前項和為，若，，則公比的值為（）A. B.1 C.或1 D.或1【正確答案】C【分析】由已知可得、，即可求公比.【詳解】由題設知：，又，故，∴，而，即，解得：為或1.故選：C4.若雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A.1 B.2 C.8 D.16【正確答案】A【分析】根據方程寫出雙曲線的漸近線方程，可得關于的方程，求解即可．【詳解】雙曲線，則，其漸近線方程為，依題意，解得．故選：A．5.已知圓錐的側面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為（）A.15° B. C. D.【正確答案】C【分析】設相應長度，根據圓錐的側面積和軸截面面積列式可得，再結合線面夾角運算求解.【詳解】設圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.6.2023年的五一勞動節(jié)是疫情后的第一個小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費旅游，除常見的五個旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，若每個部門從六個旅游地中選擇一個旅游地，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有（）A.1800 B.1080 C.720 D.360【正確答案】B【分析】分恰有個部門所選的旅游地相同、四個部門所選的旅游地全不相同兩類，再應用分步計數及排列、組合數求至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數.【詳解】①恰有個部門所選的旅游地相同，第一步，先將選相同的個部門取出，有種；第二步，從個旅游地中選出個排序，有種，根據分步計數原理可得，方法有種；②四個部門所選的旅游地都不相同的方法有種，根據分類加法計數原理得，則甲、乙、丙、丁四個部門至少有三個部門所選旅游地全不相同的方法種數共有種．故選：B7.已知為拋物線上一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設，由取得最小值，則最大，最小求解.【詳解】如圖所示：因為，，設，則，當時，取得最小值，此時最大，最小，且，故C正確.故選：C8.已知函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數.若，則（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【正確答案】B【分析】根據函數奇偶性推出函數關于直線對稱和關于點對稱，則得到其周期，再計算其一個周期內的和，最后代入計算即可.【詳解】為偶函數，則，則關于對稱，為奇函數，則，即，則關于點對稱，則由函數關于對稱有，則，則，相減有，為周期函數，且周期為4，因為，，則，由題意可得，，則，，則，則，故選：B.二、多選題.本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在長方體中，，，動點在棱上，則（）A.B.C.三棱錐的體積是定值D.若，則長為1【正確答案】BCD【分析】對于A,由平行的傳遞性知A錯誤；對于B，建立空間直角坐標系，求出向量的坐標，由，可得解；對于C，三棱錐的體積，故C正確；對于D，由，解得，故D正確.【詳解】如圖：對于A，，與不平行，故A錯誤；對于B，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，故故B正確；對于C,點到平面的距離為，三棱錐的體積故C正確；對于D，，解得，所以長為1，故D正確.故選：BCD10.已知函數，則（）A. B.在單調遞增C.有最小值 D.的最大值為【正確答案】ABD【分析】利用導數，函數的變化趨勢等方法對選項逐一判斷即可．【詳解】已知函數，對于A選項：，正確；對于B選項：當時，，所以，所以在單調遞增，正確；對于C選項：當時，，故沒有最小值，不正確；對于D選項：最小正周期為，是偶函數，定義域為．故只需研究即可．由B選項知：在單調遞增，在上單調遞減，的最大值為，正確．故選：ABD．11.數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數學形象美?對稱美?和諧美的結合產物.關于曲線，則下列結論正確的是（）A.曲線關于原點成中心對稱圖形B.曲線關于軸，軸成軸對稱圖形C.曲線上任意兩點之間的距離都不超過2D.曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于【正確答案】ABD【分析】分類討論去絕對值，可得曲線方程，從而可得曲線圖像，最后可對命題進行判斷.【詳解】當時，曲線方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓在第一象限的部分；當時，曲線方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓在第二象限的部分；當時，曲線方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓在第三象限的部分；當時，曲線方程可化為，表示以為圓心，為半徑的圓在第四象限的部分；當時或；當時或；圖像上還有，，，，這5個點.曲線圖像如圖所示:對于A，將代入曲線方程有，整理得，所以曲線關于原點成中心對稱圖形，故A正確；對于B，將代入曲線方程有，整理得，所以曲線關于軸成軸對稱圖形，將代入曲線方程有，整理得，所以曲線關于軸成軸對稱圖形，故B正確；對于C，如圖，每個小圓半徑，曲線上任意兩點距離范圍為，即兩點距離范圍為，故C錯誤；對于D，曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個半圓和一個正方形組成，設它的面積為，，故D正確.故選：ABD三、填空題.本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若展開式中的系數為，則_________.【正確答案】【分析】由題意可得，結合二項式展開式的通項公式建立方程，求解即可.【詳解】由題意可得，，展開式的通項公式為，所以含的項的系數為，則，即，解得.故答案為.13.在平面直角坐標系中，、、，當時.寫出的一個值為___________.【正確答案】（滿足或的其中一值）【分析】利用平面向量數量的坐標運算結合兩角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.【詳解】由題意可得，，所以，，同理可得，則，所以，或，解得或，故（滿足或的其中一值）.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，且.又以雙曲線的頂點為圓心，半徑為的圓恰好經過雙曲線虛軸的端點，則雙曲線的離心率為________.【正確答案】2【分析】根據給定條件，結合雙曲線定義及余弦定理、圓的定義求出即可.【詳解】令，依題意，，解得，顯然，，，而，于是，在中，由余弦定理，得，解得，即，所以雙曲線的離心率為.故2方法點睛：雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，若角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角；（2）求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）通過三角恒等變換構造正弦函數求角；（2）結合面積公式與余弦定理，利用完全平方公式配方法求邊長和，進而得周長.【小問1詳解】對變形，得，即.因，故，所以，解得.【小問2詳解】由，，得.由余弦定理，代入，，得，即.則，故.因此，△ABC周長為.16.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值與樣本成績的平均數、中位數；（2）若落在的平均成績是57，方差是2，落在的平均成績?yōu)?9，方差是5，求這兩組成績的總平均數和總方差.參考公式：其中為總樣本平均數.【正確答案】（1），平均數74，中位數為75（2）總平均數，總方差【分析】（1）利用頻率之和為結合頻率分布直方圖列式求出，根據平均數、中位數的計算公式計算即可；（2）先利用頻率分布直方圖求出和的市民人數，再根據平均數和方差公式計算求解即可.【小問1詳解】由頻率之和為結合頻率分布直方圖可得，解得，樣本成績的平均數約為．由于區(qū)間，，的頻率分別為．因為，的頻率為，故中位數位于內，設中位數為x，則，解得x＝75.小問2詳解】由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數為，成績在的市民人數為，所以總平均數，總方差.17.如圖，在四棱錐中，側棱矩形，且，過棱的中點，作交于點，連接（1）證明：；（2）若，平面與平面所成二面角的大小為，求的值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證平面，得，再證平面，得，然后證明平面，得證；（2）以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系，由空間向量法求二面角得的長，然后利用棱錐體積公式計算．【小問1詳解】證明：因為平面，平面，所以，由底面為矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因為，點是的中點，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得證．【小問2詳解】如圖，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標系．因，設，（），則，，點是的中點，所以，由，所以是平面的一個法向量；由（1）知，，所以是平面的一個法向量．因為平面與平面所成二面角的大小為，則，解得（負值舍去）．所以，．18.已知橢圓的焦距為2，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓上點處的切線方程是.在直線上任取一點引橢圓的兩條切線，切點分別是、①求證：直線恒過定點；②是否存在實數，使得，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）①證明見解析；②存在【分析】（1）根據橢圓的長軸長為，離心率為，由求解；（2）①設，，，由，，且，經過點，得到求解；②設實數存在，則，分直線斜率不存在，斜率，斜率，利用弦長公式求解.【小問1詳解】由題意可知，所以，所以，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】①設，，，由題設可知：，，又因為，經過點，所以，所以，均在直線上，即，由，解得，所以直線過定點.②設實數存在，因為，所以，當直線斜率不存在時，此時直線的方程為，由，解得，所以，故.當直線斜率時，不滿足題意：當直線斜率時，設直線的方程為，則，故，所以，聯立可得，顯然，所以，，所以.綜上可知，存在滿足條件.方法點睛：本題第二問，首先利用弦長公式得到，然后巧用，化簡得到，結合韋達定理而得解.19.數列的前n項組成集合，從集合中任取個數，其所有可能的k個數的乘積的和為（若只取一個數，規(guī)定乘積為此數本身），例如：對于數列，當時，時，；（1）若集合，求當時，的值；（2）若集合，證明：時集合的與時集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關系式，其中；（3）對于（2）中集合．定義，求（用n表示）．【正確答案】（1），，；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用的定義可得的值；（2）時，集合的中乘積由兩部分構成，一部分是乘積中含，另一部分不含，從而可得之間的關系；（3）可先證明所有非空子集中各元素的乘積和為，從而可得．【小問1詳解】時，，∴，，．【小問2詳解】時，集合的中各