/山東省濰坊市諸城第一中學(xué)2025?2026學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．4 D．82．復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C．4 D．83．設(shè)，則（

）．A． B． C． D．4．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）．A．10 B．15 C．20 D．305．已知在三棱錐中，平面，為等腰直角三角形，且，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作平行于底面的截面，那么三棱臺(tái)的體積等于（

）．A． B． C． D．6．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．若點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，且是直線上一點(diǎn)，，則的最小值是（

）．A．2 B．1C． D．8．已知函數(shù)，對(duì)任意，存在，使，則的最小值為（

）．A．1 B．C． D．二、多選題9．關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，其中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．的值域是 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱10．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為線段（包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．三棱錐的體積為定值B．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，存在某個(gè)位置使得平面C．截面三角形面積的最大值為D．當(dāng)三棱錐為正三棱錐時(shí)，其內(nèi)切球半徑為11．已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．為非奇非偶函數(shù)B．C．D．三、填空題12．已知，，則.13．有形狀完全相同的4個(gè)白球和4個(gè)紅球，若一個(gè)袋中放有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，另一個(gè)袋中放有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，任選一個(gè)袋子取出一球，則恰好取出的是白球的概率為．14．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．（1）求角的大小；（2）求的取值范圍．16．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．17．已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，設(shè)的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為對(duì)恒成立，求的取值范圍．18．已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，為等腰直角三角形，且分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)．(1)證明：；(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成線面角的正弦值為．19．為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有無(wú)關(guān)聯(lián)；（2）從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，學(xué)校設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練.已知甲控制球時(shí)，傳給乙的概率為，傳給丙的概率為；乙控制球時(shí)，傳給甲和丙的概率均為；丙控制球時(shí)，傳給甲的概率為，傳給乙的概率為.若先由甲控制球，經(jīng)過3次傳球后，乙隊(duì)員控制球的次數(shù)為，求的分布列與期望.附：

答案1．【正確答案】D【詳解】，解得：，所以，其中，所以，所以．所以的子集個(gè)數(shù)是.故選D．2．【正確答案】A【詳解】，，所以，所以.故選A3．【正確答案】C【詳解】解：，故選C．4．【正確答案】B【詳解】根據(jù)組合可知，展開式中含項(xiàng)為：，所以含項(xiàng)的系數(shù)為15，故選B．5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槠矫?，且平面平面ABC，，，所以，，，，，，所以.故選B．6．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選C．7．【正確答案】C【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，，所以點(diǎn)G是的重心，設(shè)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則，B、G、D共線，如圖，又．因?yàn)锽、H、D三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，即的最小值是.故選C．8．【正確答案】D【分析】令，將都用表示，從而可將構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】由題意，令，則，，所以，，，令，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為.故選D．9．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于AB，函數(shù)的定義域?yàn)?，，都有，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，，即是的周期，由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為；在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，因此的值域是，C正確；對(duì)于D，由，得，此時(shí)，即，，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確.故選BCD10．【正確答案】AC【分析】對(duì)于A，證明平面，從而可得上所有點(diǎn)到平面的距離不變，即可判斷；對(duì)于B，假設(shè)平面BQC，從而可得，，即可判斷；對(duì)于C，要使截面三角形面積的最大，只要Q到BC的距離最大，過Q作于F，過F作于G，連接QG，求出的最大值即可；對(duì)于D，利用等體積法求解即可.【詳解】解：A.，而為定值．連接，因?yàn)榍遥运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以上所有點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的高不變，所以為定值，故A正確；B．若平面BQC，平面BQC，則，又，所以，不正確，故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)锽C為定值，所以只要Q到BC的距離最長(zhǎng)，過Q作于F，過F作于G，連接QG，因?yàn)椋?，又平面，所以平面，又平面，則，要使QG最長(zhǎng)，只需QF最長(zhǎng)，即Q點(diǎn)在時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)，故C正確，D．當(dāng)Q在A點(diǎn)時(shí)，為正三棱錐，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，由等體積法，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11．【正確答案】BCD【詳解】由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，故的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由已知有：恒成立，令時(shí)，①，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，令時(shí)，②，由①②解得：，，故B選項(xiàng)正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項(xiàng)知是奇函數(shù)，故，故，即，所以，所以是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，則，所以，故C選項(xiàng)正確；由已知有：在R上可導(dǎo)，對(duì)求導(dǎo)有：，即，令時(shí)，，則，因?yàn)?，所以．又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故是偶函數(shù)，所以，因?yàn)槭且粋€(gè)周期為4的周期函數(shù)，所以也是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，以下是證明過程：假設(shè)為周期為的函數(shù)，則，所以為周期為的函數(shù)，故，故D選項(xiàng)正確．故選BCD12．【正確答案】【詳解】將兩邊平方，得，即，由同號(hào)，可得為銳角，又，得，所以，故.所以.13．【正確答案】【詳解】解：設(shè)A表示選擇其中有3白球、2紅球的袋子，B表示取出白球，則，．14．【正確答案】【詳解】由題意：存在，使得不等式成立，即成立，即成立，令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以只需時(shí)，有成立，即成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以的最小值為e．所以a的取值范圍是．15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即，即，又，所以，因?yàn)?，所以；?），因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范圍為．16．【正確答案】（1）；（2）見詳解.【詳解】（1）因?yàn)?，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因?yàn)?，所以，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．17．【正確答案】（1），（2）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以（常?shù)），故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，故．因?yàn)?，所以．?）．所以，所以，兩式相減得，，所以．由，知在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)線面角的正弦等于線法角的余弦絕對(duì)值列式計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，且，．又∵三棱柱為直三棱柱，平面ABC．分別以向量，，的正方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，為中點(diǎn)，連接，則，，，，，，，．（2）解：設(shè)，則，．，，，BC，平面，平面，是平面的一個(gè)法向量且．∵直線DE與平面所成的線面角的正弦值為，，化簡(jiǎn)得：且，或，即或．19．【正確答案】（1）認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于（2）（3）分