/湖北省武漢大學附屬中學2025?2026學年高一上學期12月月考數學試卷一、單選題1．集合，，則（）A． B． C． D．2．已知命題“，是增函數”，則p的否定為（

）A．，是減函數B．，是減函數C．，不是增函數D．，不是增函數3．半徑為2的扇形，其周長為12，則該扇形圓心角的弧度數為（

）A．8 B．6 C．5 D．44．已知，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖為函數的圖象，則的圖象是（

）A． B．C． D．6．美國生物學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時該植物的高為1米，經過一年，該植物的高為2米，要讓該植物的高度超過3.8米，至少需要（

）年．A．2 B．3 C．4 D．57．已知且，函數，若函數的圖象上有且僅有兩個點關于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．設定義域為的單調函數，對于任意的，都有，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題中正確的是（

）A．的最小值為2B．函數的值域為C．已知為定義在R上的奇函數，且當時，，則時，D．若冪函數在上是增函數，則10．下列命題正確的有（

）A．若方程有兩個根，一個大于1另一個小于1，則實數的取值范圍為B．設，若且，則C．設，命題是命題的充分不必要條件D．若集合和至少有一個集合不是空集，則實數的取值范圍是或11．已知定義在上的函數滿足：，則（

）A．是奇函數B．若，則C．若，則為增函數D．若，則為增函數三、填空題12．函數的零點在區(qū)間內，則正整數.13．若關于的不等式的解集為，則不等式的解集為.14．已知實數滿足，則的最小值是．四、解答題15．計算下列各題：（1）；（2）已知，求的值．16．已知冪函數是定義在上的偶函數．（1）求的解析式，并根據定義證明在上單調遞增．（2）對恒有意義，求實數的取值范圍．17．某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一顆梨樹的產量（單位：百千克）與肥料費用（單位：百元）滿足如下關系：投入的肥料費用不超過6百元時，；投入的肥料費用超過6百元且不超過10百元時，．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費等）百元．已知這種梨的市場售價為18百元／百千克，且市場需求始終供不應求．記該棵梨樹獲得的利潤為（單位：百元）．（1）求利潤的函數解析式；（2）當投入的肥料費用為多少時，該梨樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？18．已知二次函數滿足，且該函數的圖象經過點，在軸上截得的線段長為4，設.(1)求的解析式；(2)求函數在區(qū)間上的最小值；(3)設函數，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.19．已知函數的定義域均為．定義：①若存在個互不相同的實數，，使得，則稱與關于“維交換”；②若對任意，恒有，則稱與關于“任意交換”．（1）判斷函數與是否關于“1維交換”，并說明理由；（2）設，若存在函數，使得與關于“任意交換”，求的值；（3）設，若與關于“3維交換”，求實數的值．

答案1．【正確答案】C【詳解】，，兩集合的公共元素只有0，所以,故選C2．【正確答案】D【詳解】“，是增函數”的否定是“，不是增函數”.故選D3．【正確答案】D【詳解】不妨設扇形的弧長為，所對的圓心角的弧度數為，則有，即，解得，所以該扇形圓心角的弧度數為4.故選D.4．【正確答案】B【詳解】，，，，從而，，可得，，則且，，與聯(lián)解，可得，因此.故選B.5．【正確答案】D【詳解】當時，則，由函數圖象，時，，所以的圖象經過點，結合選項可排除A,B,C.故選D.6．【正確答案】C【詳解】依題意可得，則，解得，∴，因為在定義域上單調遞減，且，又在上單調遞減，所以在上單調遞增，而，即，∴該植物的高度超過3.8米，至少需要4年.故選C.7．【正確答案】D【詳解】關于軸對稱后得.所以函數的圖象上有且僅有兩個點關于軸對稱，可以轉化為的圖象與的圖象有且僅有一個交點.若，則的圖象與的圖象有且只有一個交點；若，當的圖象與的圖象有且只有一個交點時，須滿足，所以.綜上，的取值范圍是.故選D.8．【正確答案】D【詳解】∵為定義在上的單調函數；∴存在唯一的實數，使得；∴；∴；解得，或（舍去）；∴；又∵對于任意的，都有，故；∴；∴．故選D．9．【正確答案】CD【詳解】對于A，由于，∴，當且僅當，即時等號成立，但無實根，故等號取不到，故A錯誤；對于B,由于，∴，又，故函數的值域為，B錯誤；對于C，當時，則，，由于，故時，，C正確；對于D，冪函數在上是增函數，則解得，故D正確.故選CD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，依題意，函數有兩個零點，，因兩根中一個大于1另一個小于1，則有或，解得，即實數的取值范圍為，故A正確；對于B，令，則.由可得則.因為，則，即，故B正確：對于C，①若，則，故有；若，顯然有；若，則，且，則得，故有，故當時，都可推出；②若，當時，如果，不等式顯然成立，此時有；如果，則可得，從而，即，故有；當時，，此時有，即，故.故當時，都可以推出.綜上，可知是的充要條件，故C不正確：對于D，假設兩個方程無實根（即A，B均是空集），則有，解得.則當或時，兩個方程至少有一個方程有實根，即兩個集合至少有一個不是空集.故實數的取值范圍為或，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】對A：定義域為，關于原點對稱；對原式，令，可得，解得；對原式，令，可得，即，故是奇函數，A正確；對B：對原式，令，可得，又，則；由A可知，為奇函數，故，故B正確；對C：由A知，，又，對，當時，；當時，；故在時，不是單調增函數，故C錯誤；對D：在上任取，令，則，由題可知，又，故，即，，故在上單調遞增，也即在上單調遞增，故D正確；故選ABD.12．【正確答案】2【詳解】因為函數在上均為增函數，所以函數在上為增函數，因為，則，由零點存在定理可知，函數的零點所在的區(qū)間是，所以．13．【正確答案】【詳解】由不等式的解集為，可知1和2是方程的根.根據韋達定理，，，解得，.將、代入不等式，得,即.用穿根法分析：根為，，，.區(qū)間：整體為正，滿足；區(qū)間：整體為負，不滿足；區(qū)間：整體為正，滿足；區(qū)間：整體為負，不滿足；區(qū)間：整體為正，滿足.故解集為.14．【正確答案】【詳解】由，得，即，令函數，則原等式化為，而函數在上遞增，因此，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是.15．【正確答案】（1）8（2）5【詳解】（1）；（2）由，得，則，所以．16．【正確答案】（1）；見詳解（2）【詳解】（1）因為是冪函數，所以，解得或，當時，可得，此時定義域不為，故排除，當時，可得，由二次函數性質得是偶函數，任取，且使，可得，則，得到在上單調遞增.（2）由題意得，若有意義，則在上恒成立，可得恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由基本不等式得，即，當且僅當時取等，此時解得，得到.17．【正確答案】（1）（2）當投入的肥料費用為2百元時，該梨樹獲得的利潤最大，最大利潤是52百元【詳解】（1）由題意，，即；（2）當時，，，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，取得最大值52；當時，，所以當時，取得最大值，最大值為，所以當投入的肥料費用為2百元時，該梨樹獲得的利潤最大，最大利潤是52百元．18．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)【詳解】（1）因為，則的圖象關于直線對稱，且在軸上截得的線段長為，的圖象與軸的交點分別為，所以設，該函數的圖象經過點，所以，解得，所以.（2）因為，其對稱軸方程為，當，即時，，當，即時，，當，即時，，綜上所述，當時，，當時，，當時，.（3）若對于任意，總存在，使得成立，等價于，函數，因為，所以，所以當時，取得最小值為，當時，，所以，不成立；當時，，所以，解得或，所以；當時，，所以，解得，所以；綜上所述，的取值范圍是.【方法總結】函數中恒成立問題的方法如下:(1)若，恒成立，則只需.(2)若，恒成立，則只需.(3)若，恒成立，則只需.(4)若，恒成立，則只需.(5)若，恒成立，則只需.(6)若，恒成立，則只需.(7)若，恒成立，則只需.(8)若，恒成立，則只需.19．【正確答案】（1）與關于“維交換”；見詳解（2）（3）【詳解】（1）函數與關于“維交換”，理由如下：顯然，，令，即，解得，得到與關于“維交換”.（2）依題意，對任意，恒有成立，而，由題意可得，對于，一定不含x的奇次項，得到，而，解得，即的值為，（3）令，依題意，函數在上有個零點，顯然，即是函數的零點，當時，若，則，，，即函數在時無零點，若，則在上單調遞增，，，函數在時只