2026年中考數(shù)學(xué)能力進(jìn)階提升試卷（附答案可下載）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置；2.所有答案均需寫在答題卡上，寫在試卷上無效；3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。能力提升說明：本試卷聚焦中考數(shù)學(xué)能力進(jìn)階需求，涵蓋邏輯推理、運(yùn)算求解、幾何探究、函數(shù)應(yīng)用、綜合建模五大核心能力，題型由基礎(chǔ)進(jìn)階至綜合拓展，解析中側(cè)重思路引導(dǎo)與能力遷移方法，助力突破能力瓶頸，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)進(jìn)階。一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。側(cè)重基礎(chǔ)能力進(jìn)階，考查邏輯辨析與精準(zhǔn)運(yùn)算）（運(yùn)算能力進(jìn)階）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+2b=5，3a-4b=3，則代數(shù)式a2-b2的值為（）

A.6B.8C.12D.16

（推理能力進(jìn)階）如圖，AB∥CD，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，下列結(jié)論正確的是（）

A.EG⊥FGB.∠EGF=60°C.∠BEF=∠EFGD.EG∥FG

（注：試卷印刷時(shí)配平行直線AB、CD，EF截線，EG、FG為角平分線）

（函數(shù)基礎(chǔ)能力進(jìn)階）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3)，且當(dāng)x增大時(shí)，y減小，則該函數(shù)圖象可能經(jīng)過的點(diǎn)是（）

A.(1,2)B.(3,4)C.(-1,5)D.(0,1)

（幾何辨析能力進(jìn)階）下列關(guān)于四邊形的說法，正確的是（）

A.對(duì)角線相等的菱形是正方形B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是矩形

C.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是菱形D.對(duì)角線互相平分的四邊形是正方形

（運(yùn)算能力進(jìn)階）分式方程(1/(x-2))+3=(x-1)/(2-x)的解為（）

A.x=2B.x=3C.x=4D.無解（幾何計(jì)算能力進(jìn)階）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，BC=6，則AC的長(zhǎng)為（）

A.8B.10C.12D.14

（注：試卷印刷時(shí)配Rt△ABC，∠C為直角，邊對(duì)應(yīng)角A、B、C）

（函數(shù)圖像分析能力進(jìn)階）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.abc<0B.4a+2b+c>0C.b2-4ac>0D.a+b+c<0

（注：試卷印刷時(shí)配開口向上、對(duì)稱軸在x=1左側(cè)、過(0,-2)的拋物線）

（圓的基礎(chǔ)能力進(jìn)階）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，若∠CAB=30°，BC=2，則⊙O的半徑為（）

A.2B.2√3C.4D.√3

（注：試卷印刷時(shí)配圓O，AB為直徑，點(diǎn)C在圓上，連接AC、BC）

（概率能力進(jìn)階）從-2、-1、0、1、2五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，作為關(guān)于x的方程x2+2x+k=0的k值，使方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）

A.2/5B.3/5C.4/5D.1

（幾何變換能力進(jìn)階）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(3,2)先向下平移2個(gè)單位，再關(guān)于y軸對(duì)稱得到點(diǎn)A'，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（）

A.(-3,0)B.(3,0)C.(-3,4)D.(3,4)

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。側(cè)重中檔能力進(jìn)階，考查綜合運(yùn)算與性質(zhì)應(yīng)用）（運(yùn)算能力進(jìn)階）因式分解：x?-10x2+9=______。（函數(shù)應(yīng)用能力進(jìn)階）已知反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4)，若點(diǎn)(m,n)也在該圖象上，且m>0，n>0，則mn的值為______，當(dāng)m>1時(shí)，n的取值范圍是______。（幾何計(jì)算能力進(jìn)階）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，則菱形的邊長(zhǎng)為______，菱形的高為______。

（注：試卷印刷時(shí)配菱形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O）

（綜合運(yùn)算能力進(jìn)階）若x=√3+1，y=√3-1，則代數(shù)式(x2-2xy+y2)/(x2-y2)的值為______。（圓的綜合能力進(jìn)階）如圖，⊙O的半徑為2，弦AB垂直于直徑CD于點(diǎn)E，若AE=√3，則弧AC的長(zhǎng)為______（結(jié)果保留π）。

（注：試卷印刷時(shí)配圓O，CD為直徑，AB⊥CD于E）

（動(dòng)態(tài)幾何能力進(jìn)階）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，當(dāng)點(diǎn)P從B向C移動(dòng)時(shí)，AP的最小值為______，最大值為______。三、解答題（本大題共9小題，共86分。側(cè)重高階能力進(jìn)階，考查綜合探究與建模應(yīng)用）（一）基礎(chǔ)能力進(jìn)階題（本大題共2小題，每小題8分，共16分?？疾檫\(yùn)算精準(zhǔn)度與基礎(chǔ)推理）計(jì)算：√27-|√3-3|+2cos30°-(1/2)?+(-2)2。先化簡(jiǎn)，再求值：[(x/(x+2))-(4/(x2+2x))]÷[(x-2)/(x+2)]，其中x滿足x2-x-2=0。（二）幾何推理能力進(jìn)階題（本大題1小題，10分。考查幾何證明與綜合計(jì)算）如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，連接CE。

（1）求證：△ABE≌△ECF；

（2）若AB=4，AD=6，求CF的長(zhǎng)及△CEF的面積。

（注：試卷印刷時(shí)配矩形ABCD，E為AD中點(diǎn)，CF⊥BE于F）

（三）函數(shù)應(yīng)用能力進(jìn)階題（本大題1小題，10分。考查函數(shù)建模與最值探究）某文具店銷售一種筆記本，進(jìn)價(jià)為每本10元，售價(jià)為每本x元（x>10），每天可賣出(100-2x)本，設(shè)每天的利潤(rùn)為w元。

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當(dāng)售價(jià)定為每本多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）若該文具店每天的利潤(rùn)不低于300元，求售價(jià)x的取值范圍。

（四）圓的綜合能力進(jìn)階題（本大題1小題，12分?？疾閳A的性質(zhì)與綜合推理）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且AD∥OC，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。

（1）求證：∠ACD=∠B；

（2）若AE=2，⊙O的半徑為3，求CE的長(zhǎng)及tan∠ACD的值；

（3）連接BD，求四邊形ACDB的面積。

（注：試卷印刷時(shí)配圓O，AB為直徑，CE為切線，AD∥OC）

（五）相似三角形能力進(jìn)階題（本大題1小題，10分?？疾橄嗨婆卸ㄅc綜合應(yīng)用）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。

（1）求證：△AFD∽△DFB；

（2）若AB=6，AC=8，求AF的長(zhǎng)；

（3）若AD=4，BD=2，求DF的長(zhǎng)。

（注：試卷印刷時(shí)配Rt△ABC，AD⊥BC，E為AC中點(diǎn)，ED延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于F）

（六）二次函數(shù)綜合能力進(jìn)階題（本大題1小題，12分。考查二次函數(shù)與幾何綜合）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)、B(0,4)，頂點(diǎn)為C，連接AC、BC。

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）連接AB，求直線AB的解析式及△ABC的面積；

（3）點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，求PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（七）動(dòng)態(tài)幾何探究能力進(jìn)階題（本大題1小題，14分?？疾閯?dòng)態(tài)探究與最值建模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，將△AMN沿MN折疊，得到△A'MN，連接A'C、A'B。

（1）求證：A'M=BM；

（2）當(dāng)AN=2時(shí)，求A'C的長(zhǎng)；

（3）在點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)過程中，線段A'C的長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）當(dāng)A'B⊥BC時(shí)，求AN的長(zhǎng)。

參考答案與能力進(jìn)階解析一、選擇題（每小題4分，共40分）1.C2.A3.C4.A5.D6.A7.B8.A9.B10.A二、填空題（每小題4分，共24分）11.(x2-1)(x2-9)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3)12.4，0<n<413.5，24/514.√3/315.2π/316.3，5三、解答題（共86分）（一）基礎(chǔ)能力進(jìn)階題（每小題8分，共16分）解：（能力進(jìn)階：精準(zhǔn)掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算公式，注意絕對(duì)值化簡(jiǎn)與符號(hào)處理）

原式=3√3-(3-√3)+2×(√3/2)-1+4（4分）

=3√3-3+√3+√3-1+4

=5√3（8分）

解：（能力進(jìn)階：先化簡(jiǎn)再求值，規(guī)避直接代入方程的繁瑣，注意分式有意義條件）

化簡(jiǎn)原式=[x2/(x(x+2))-4/(x(x+2))]×(x+2)/(x-2)（3分）

=(x2-4)/(x(x+2))×(x+2)/(x-2)=(x+2)(x-2)/(x(x+2))×(x+2)/(x-2)=(x+2)/x（6分）

由x2-x-2=0得x=2（舍去，使分式無意義）或x=-1，代入得(-1+2)/(-1)=-1（8分）

（二）幾何推理能力進(jìn)階題（10分）（1）證明：（能力進(jìn)階：找準(zhǔn)全等條件，結(jié)合矩形性質(zhì)與直角三角形性質(zhì)推理）

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=90°，AD∥BC（2分）

∴∠AEB=∠EBC，∵CF⊥BE，∴∠CFE=90°=∠A，又E是AD中點(diǎn)，AE=DE=3（3分）

AB=CD=4，BE=√(AB2+AE2)=5，∵∠AEB+∠FEC=90°，∠FEC+∠ECF=90°，∴∠AEB=∠ECF（4分）

∴△ABE≌△ECF（AAS）（5分）

（2）解：（能力進(jìn)階：利用全等性質(zhì)求線段長(zhǎng)度，結(jié)合面積公式計(jì)算）

由全等得CF=AE=3，EF=AB=4（7分）

△CEF的面積=1/2×CF×EF=1/2×3×4=6（10分）

（三）函數(shù)應(yīng)用能力進(jìn)階題（10分）（1）解：（能力進(jìn)階：利潤(rùn)模型構(gòu)建，注意自變量取值范圍的實(shí)際意義）

w=(x-10)(100-2x)=-2x2+120x-1000，取值范圍10<x<50（4分）

（2）解：（能力進(jìn)階：二次函數(shù)最值求解，結(jié)合頂點(diǎn)式快速計(jì)算）

w=-2(x-30)2+800，當(dāng)x=30時(shí)，w最大值=800（7分）

（3）解：（能力進(jìn)階：一元二次不等式求解，結(jié)合實(shí)際意義確定取值范圍）

-2x2+120x-1000≥300，解得25≤x≤35（10分）

（四）圓的綜合能力進(jìn)階題（12分）（1）證明：（能力進(jìn)階：結(jié)合切線性質(zhì)、平行線性質(zhì)與圓周角定理推理）

∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，∠OCE=90°（2分）

∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，又OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAC=∠OAC（3分）

∠ACD=∠ABD，∠ABD=∠B，∴∠ACD=∠B（4分）

（2）解：（能力進(jìn)階：利用勾股定理求切線長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)轉(zhuǎn)化角度）

設(shè)OE=x，OC=3，CE2=OE2-OC2=(x)2-9，又AE=2，OE=OA+AE=5，CE=√(25-9)=4（6分）

tan∠B=CE/BE=4/(5+3)=1/2，∴tan∠ACD=1/2（8分）

（3）解：（能力進(jìn)階：利用圓周角定理與面積公式計(jì)算四邊形面積）

AB=6，∠ACB=90°，AC=√(AB2-BC2)=√(36-24)=2√3，四邊形ACDB面積=2×△ABC面積=2×1/2×AC×BC=12√3（12分）

（五）相似三角形能力進(jìn)階題（10分）（1）證明：（能力進(jìn)階：結(jié)合直角三角形性質(zhì)與對(duì)頂角判定相似）

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ADB=90°=∠BAC，∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA（2分）

∴∠BAD=∠C，∵E是AC中點(diǎn)，DE=AE=CE，∴∠C=∠EDC=∠FDB（3分）

∠F=∠F，∴△AFD∽△DFB（4分）

（2）解：（能力進(jìn)階：利用相似比例與勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度）

BC=10，AD=24/5，BD=18/5，由相似得AF/DF=DF/BF=AD/BD=4/3（6分）

設(shè)AF=4k，BF=3k，AB=AF-BF=k=6，∴AF=24（8分）

（3）解：（能力進(jìn)階：利用相似性質(zhì)與勾股定理求線段長(zhǎng)度）

由相似得DF2=AF×BF，AD=4，BD=2，AB=√(16+4)=2√5，設(shè)AF=x，BF=2√5-x，DF2=x(2√5-x)，又AD2+AF2=DF2，解得DF=√5（10分）

（六）二次函數(shù)綜合能力進(jìn)階題（12分）（1）解：（能力進(jìn)階：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，結(jié)合頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)）

將A(-2,0)、B(0,4)代入得：{-4-2b+c=0；c=4}，解得b=0，c=4（2分）

解析式為y=-x2+4，頂點(diǎn)C(0,4)（修正：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)，拋物線開口向下）（4分）

（2）解：（能力進(jìn)階：用待定系數(shù)法求直線解析式，結(jié)合分割法求三角形面積）

直線AB解析式為y=2x+4，AC長(zhǎng)度=√[(0+2)2+(4-0)2]=2√5，點(diǎn)B到AC距離=√5（6分）

△ABC面積=1/2×2√5×√5=5（8分）

（3）解：（能力進(jìn)階：構(gòu)建PE的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)最值求解）

設(shè)P(m,-m2+4)，E(m,2m+4)，PE=-m2+4-(2m+4)=-m2-2m（10分）

當(dāng)m=-1時(shí)，PE最大值=1，此時(shí)P(-1,3)（12