第二十一章

四邊形

21.3.3正方形第1課時正方形的性質(zhì)初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質(zhì)，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點)3.會應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計算問題.(難點)情境引入正方形是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個角都是直角.因此，正方形既是菱形，又是矩形，它具有的性質(zhì)有哪些呢？下面我們一起來學(xué)習(xí)正方形的有關(guān)知識.一、正方形的定義及性質(zhì)問題1

預(yù)習(xí)課本P75~P76思考：(1)矩形怎樣變化后就成了正方形呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？提示如圖，當(dāng)矩形的一組鄰邊相等時，就成了正方形.(2)菱形怎樣變化后就成了正方形呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？提示如圖，當(dāng)菱形的一個角是直角時，就成了正方形.知識梳理正方形定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.問題2

預(yù)習(xí)課本P75~P76思考：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì)，正方形都有.說出正方形的性質(zhì)并試著證明.提示

(1)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四條邊相等，四個角都是直角.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD(正方形的定義).又∵正方形是平行四邊形，∴正方形是矩形(矩形的定義)，正方形是菱形(菱形的定義).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.提示

(2)正方形的對角線相等且互相垂直平分.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形.對角線AC，BD相交于點O.求證：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.證明：∵正方形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.知識梳理正方形的性質(zhì)：(1)正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.(2)正方形的對角線相等且互相垂直平分.問題3

預(yù)習(xí)課本P75~P76思考：(1)請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片，折一折，觀察并思考：正方形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？(2)正方形、菱形、矩形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？與同學(xué)們討論一下，能列表或用框圖表示出來嗎？提示

正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸.提示

如圖所示.例1

正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是A.對角線互相垂直 B.對角線相等C.對邊相等

D.鄰邊相等√解析因為正方形的四條邊相等，對角相等，對角線相等、垂直且互相平分；菱形的四條邊相等，對角相等，對角線垂直且互相平分，所以正方形具有但是菱形不一定具有的性質(zhì)就是對角線相等.跟蹤訓(xùn)練1

矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是A.對角互補

B.對角線互相垂直C.對角線互相平分 D.四條邊相等√解析A項，菱形的對角不互補，故本選項錯誤；B項，矩形的對角線不互相垂直，故本選項錯誤；C項，平行四邊形的對角線互相平分，以上三個圖形都是平行四邊形，故本選項正確；D項，矩形的四條邊不相等，故本選項錯誤.例2

(課本P76例5)求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD相交于點O.證明

∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°，AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.求證：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在正方形ABCD中，△BEC是等邊三角形.求證：∠EAD=∠EDA=15°.證明∵△BEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=∠BAD=∠CDA=90°，∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.二、正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3

如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F.求證：AP=EF.證明如圖，連接PC，AC.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FCE=90°，AC垂直平分BD，∴AP=PC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC，∴四邊形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF.反思感悟在正方形的條件下證明兩條線段相等：通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形等來證明.跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊△ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為A.75°

B.60°

C.55°

D.45°

√(2)如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且BE=CF，求證：△ABE≌△BCF.

課堂小結(jié)1.一個正方形的對角線長為2

cm，則它的面積是A.2

cm2 B.4

cm2

C.6

cm2 D.8

cm2課堂練習(xí)√

2.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.

22.5°解析∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，又∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB=67.5°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.課堂練習(xí)3.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，四邊形ACEF是正方形，則EF的長為

.

3解析∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°.∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=3，∵四邊形ACEF是正方形，∴EF=AC=3.課堂練習(xí)4.如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE與BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正確的是

.(填序號)

①②④解析在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD-DF=CD-CE，即AF=DE，∵∠BAF=∠D=90°，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正確；課堂練習(xí)4.如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE與BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正確的是

.(填序號)

①②④解析∴∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAO=90°，∴∠ABF+∠BAO=90°，在△ABO中，∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=180°-90°=90°，∴AE⊥BF，故②正確；課堂練習(xí)4.如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=DF，AE與BF相交于點O，下列結(jié)論：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC中，正確的是

.(填序號)

①②④解析假設(shè)AO=OE，連接BE(圖略)，∵AE⊥BF(已證)，∴AB=BE(線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等)，∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，所以假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯誤；課堂練習(xí)4.如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點，且CE=