2026年數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析基礎題庫一、單選題（共5題，每題2分）1.某電商平臺通過用戶購買歷史數(shù)據(jù)進行個性化推薦，若需評估推薦算法的準確率，最適合使用的指標是？A.均方誤差（MSE）B.精確率（Precision）C.召回率（Recall）D.F1分數(shù)2.在處理某城市交通擁堵問題時，收集到的數(shù)據(jù)包含時間、地點、車流量等信息，該數(shù)據(jù)類型屬于？A.分類數(shù)據(jù)B.標量數(shù)據(jù)C.時間序列數(shù)據(jù)D.空間數(shù)據(jù)3.某制造企業(yè)通過回歸分析研究產(chǎn)量與原材料成本的關(guān)系，若發(fā)現(xiàn)模型殘差呈現(xiàn)明顯的系統(tǒng)性趨勢，可能的原因是？A.數(shù)據(jù)噪聲過大B.存在多重共線性C.模型遺漏了重要變量D.自變量與因變量線性關(guān)系強4.在聚類分析中，K-means算法對初始聚類中心的選擇敏感，若數(shù)據(jù)集規(guī)模較大，以下哪種方法可以提高收斂效率？A.隨機選擇K個樣本作為初始中心B.使用K-means++算法C.增加迭代次數(shù)D.降低聚類容忍度5.某銀行利用邏輯回歸模型預測客戶違約風險，若模型輸出概率為0.85，通常將其解釋為？A.客戶違約的可能性為85%B.模型對客戶行為的置信度為85%C.客戶屬于高風險類別的概率D.模型預測誤差為85%二、填空題（共5題，每題2分）1.在假設檢驗中，若原假設為H?，拒絕H?的依據(jù)是統(tǒng)計量觀察值落在了______區(qū)域。（答案：拒絕域）2.某城市空氣質(zhì)量監(jiān)測數(shù)據(jù)中，PM2.5濃度與氣象條件相關(guān)，若使用相關(guān)系數(shù)衡量二者關(guān)系，數(shù)值越接近______表示線性關(guān)系越強。（答案：±1）3.在數(shù)據(jù)預處理階段，若某樣本的年齡值填寫為“99歲”，但實際應為“29歲”，這種錯誤屬于______。（答案：異常值/錯誤值）4.決策樹模型中，選擇分裂節(jié)點的標準之一是______，用于衡量分裂前后信息熵的減少量。（答案：信息增益）5.在時間序列預測中，ARIMA模型需要估計的參數(shù)包括自回歸系數(shù)、差分次數(shù)以及______。（答案：移動平均系數(shù)）三、簡答題（共5題，每題4分）1.簡述在數(shù)據(jù)分析中，如何處理缺失值？并說明常見的缺失值類型及其處理方法。（答案要點：缺失值類型分為完全隨機、隨機非完全、非隨機非完全；處理方法包括刪除（列表刪除、行刪除）、插補（均值/中位數(shù)/眾數(shù)插補、多重插補）、模型估計等。）2.解釋什么是過擬合，并列舉至少三種避免過擬合的常見策略。（答案要點：過擬合指模型對訓練數(shù)據(jù)擬合過度，泛化能力差；策略包括增加數(shù)據(jù)量、正則化（Lasso/Lasso）、交叉驗證、簡化模型結(jié)構(gòu)等。）3.某電商企業(yè)希望根據(jù)用戶購買行為數(shù)據(jù)劃分用戶群體，若數(shù)據(jù)維度較高，如何選擇合適的聚類算法？并說明選擇依據(jù)。（答案要點：K-means適用于連續(xù)數(shù)據(jù)且需預定義聚類數(shù)量；層次聚類適用于樹狀結(jié)構(gòu)分析；DBSCAN對噪聲數(shù)據(jù)魯棒；選擇依據(jù)需考慮數(shù)據(jù)特征、聚類目標及計算效率。）4.描述邏輯回歸模型的應用場景，并說明其輸出結(jié)果的商業(yè)解釋方式。（答案要點：應用場景包括信用評分、醫(yī)療診斷、用戶流失預測等；輸出概率可轉(zhuǎn)化為風險等級，如概率＞0.7判為高風險，也可通過ROC曲線評估模型性能。）5.在處理某城市地鐵客流量數(shù)據(jù)時，若發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)存在季節(jié)性波動，如何建模分析？并簡述季節(jié)性因素的調(diào)整方法。（答案要點：可使用SARIMA模型；季節(jié)性調(diào)整方法包括差分（季節(jié)差分）、季節(jié)性指數(shù)分解等。）四、計算題（共5題，每題6分）1.某公司收集了10名員工的月銷售額（萬元）和廣告投入（萬元）數(shù)據(jù)如下表，試計算廣告投入與銷售額的相關(guān)系數(shù)，并判斷兩者是否存在線性關(guān)系（保留兩位小數(shù)）。|員工編號|銷售額（萬元）|廣告投入（萬元）||-|-|||1|12|3||2|15|4||3|8|2||4|19|5||5|11|3||6|16|4||7|9|2||8|20|6||9|14|5||10|10|3|（答案：相關(guān)系數(shù)r≈0.87，存在較強正相關(guān)關(guān)系。）2.某銀行需評估客戶信用風險，收集了200個樣本數(shù)據(jù)，其中因變量為是否違約（0/1），自變量包括收入、負債率、信用歷史評分。若使用邏輯回歸模型，寫出構(gòu)建模型的基本步驟，并說明如何解釋模型系數(shù)的經(jīng)濟學含義。（答案要點：步驟：1）數(shù)據(jù)清洗；2）特征工程；3）模型擬合；4）性能評估（如AUC）；系數(shù)解釋：如收入系數(shù)為正，表示收入越高違約概率越低。）3.某城市交通管理局收集了過去120天的早晚高峰車流量數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的周期性變化。若采用ARIMA模型進行預測，簡述模型定階的步驟，并說明如何檢驗模型的殘差序列是否為白噪聲。（答案要點：定階步驟：1）繪制時序圖觀察趨勢；2）差分處理直至平穩(wěn)；3）ACF/PACF圖確定p,d,q；殘差檢驗：使用Ljung-Box檢驗，若p值＞0.05則殘差為白噪聲。）4.某制造企業(yè)希望優(yōu)化生產(chǎn)流程，收集了100組數(shù)據(jù)，包含溫度、壓力、原料配比三個自變量和一個產(chǎn)品合格率（0-1）因變量。若使用決策樹進行分類，寫出劃分節(jié)點的準則，并說明如何避免過擬合。（答案要點：劃分準則：信息增益或基尼不純度；避免過擬合：剪枝、設置最大深度、交叉驗證。）5.某電商平臺分析用戶購買行為，發(fā)現(xiàn)用戶購買頻率與年齡、性別、購買時長相關(guān)。若使用K-means聚類，試說明如何確定最優(yōu)聚類數(shù)K，并解釋輪廓系數(shù)在聚類評估中的作用。（答案要點：確定K的方法：肘部法則、輪廓系數(shù)；輪廓系數(shù)：取值范圍[-1,1]，值越大聚類效果越好，反映樣本與其自身簇的緊密度及與其他簇的疏密度。）五、綜合應用題（共5題，每題10分）1.某城市出租車公司希望通過歷史數(shù)據(jù)預測早晚高峰時段的打車需求，數(shù)據(jù)包含日期、時間、天氣、是否節(jié)假日等信息。試設計一個數(shù)據(jù)預處理流程，并說明如何選擇合適的模型進行預測。（答案要點：預處理：1）缺失值填充；2）特征工程（如時間離散化、天氣編碼）；3）數(shù)據(jù)標準化；模型選擇：可使用GBDT+時間特征或LSTM捕捉時序依賴。）2.某醫(yī)院需分析患者復診行為，數(shù)據(jù)包含年齡、性別、病情嚴重程度、用藥依從性等。若使用分類模型預測復診可能性，試設計實驗方案，并說明如何評估模型的臨床價值。（答案要點：實驗方案：1）數(shù)據(jù)劃分（訓練/測試）；2）模型選擇（如邏輯回歸、隨機森林）；3）交叉驗證；臨床價值評估：計算敏感度、特異度，結(jié)合ROC曲線。）3.某零售企業(yè)希望根據(jù)用戶瀏覽數(shù)據(jù)推薦商品，數(shù)據(jù)包含用戶ID、商品ID、瀏覽時長、購買行為等。若使用協(xié)同過濾算法，試說明其基本原理，并解釋如何處理新用戶/新商品問題。（答案要點：原理：基于用戶或物品的相似度矩陣進行推薦；新用戶問題：使用熱門商品推薦或模型嵌入；新商品問題：冷啟動策略如隨機推薦或混合推薦。）4.某城市公交公司收集了100條線路的客流量、發(fā)車頻率、站點數(shù)量數(shù)據(jù)，希望優(yōu)化線路調(diào)度。若使用聚類分析識別線路類型，試說明如何選擇聚類指標，并解釋如何將聚類結(jié)果應用于調(diào)度優(yōu)化。（答案要點：聚類指標：使用輪廓系數(shù)或DBSCAN檢測密度；應用：根據(jù)聚類結(jié)果將線路分為高負載/中負載/低負載，對應不同調(diào)度策略。）5.某保險公司希望根據(jù)客戶理賠歷史預