第第頁(yè)廣東省廣州市大同中學(xué)2024-2025學(xué)年高三三模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題.每小題5分.共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)全集U=R,A=?2,?1,0,1,2A．1,2 B．?1,0,1 C．?2,?1,0 D．?2,?1,0,1【答案】D【解析】【解答】解：由題意可知，?U所以A∩?故選：D.【分析】根據(jù)已知條件先求得?UB，進(jìn)而求得2．已知i是虛數(shù)單位．復(fù)數(shù)z=21+iA．(1,?1) B．(?1,1) C．(?1,?1) D．(1,1)【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知，z=2(1?所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,?1).故選：A.【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出z，進(jìn)而即可求得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).3．對(duì)于非零向量a，b，“a+b=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【解答】若a+b=0，則若a//b，則即“a+b=故答案為：A．

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，進(jìn)而判斷出“a+b=4．已知點(diǎn)M(1,2)為拋物線E:y2=2px上一點(diǎn)．則點(diǎn)MA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知，2p=4，解得p=2，所以點(diǎn)M到拋物線E的焦點(diǎn)的距離為1+p故選：B.【分析】將點(diǎn)M坐標(biāo)代入方程中即可求得p的值，進(jìn)而拋物線的定義求解即可.5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是?5,0，5,0，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是49，則點(diǎn)MA．x225?C．y225?【答案】A【解析】【解答】解：依題意，設(shè)點(diǎn)M(x,y)，

由kAM可得4x2?9y2=100,(x≠±5)，故答案為：A.【分析】設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由題意結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式列出方程，從而化簡(jiǎn)整理得出點(diǎn)M的軌跡方程.6．現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【解析】【解答】解：記五名志愿者為a,b,c,d,e，假設(shè)a連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有A4同理：b,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有5×12=60種.故選：B.【分析】假設(shè)其中1人兩天都參加公益活動(dòng)，求出剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)的不同安排方式，再利用分類加法原理即可得解.7．已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1CA．32 B．3 C．23【答案】C【解析】【解答】解：∵A1B1=1，AB=2，

設(shè)正四棱臺(tái)ABCD?A1B則正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C連接AC,A1C1，分別取AC,A∵OO1⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴過(guò)A1作A1E∥OO1交AC于E，

則A∴∠A1AE為A∵AE=AO?A1O∴tan∠即AA1與底面ABCD所成角的正切值為故答案為：C.

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的體積求出正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)，分別取AC,A1C1的中點(diǎn)O,O1，過(guò)A18．設(shè)函數(shù)fx=xlnx?a+bA．1 B．2 C．5 D．2【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閒x若a+b≤0，則對(duì)任意的x>0，x?a?b>0，則當(dāng)0<x<1時(shí)，fx若0<a+b<1時(shí)，當(dāng)a+b<x<1時(shí)，x?a?b>0，lnx<0，此時(shí)，f若a+b>1，則當(dāng)1<x<a+b時(shí)，x?a?b<0，lnx>0，此時(shí)，f所以，a+b=1，此時(shí)，fx=x?1當(dāng)0<x<1時(shí)，x?1<0，lnx<0，此時(shí)，f當(dāng)x>1時(shí)，x?1>0，lnx>0，此時(shí)，f所以，對(duì)任意的x>0，fx由基本不等式可得5a當(dāng)且僅當(dāng)a=ba+b=1時(shí)，即當(dāng)a=b=故5a+5故選：D.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷得到a+b=1，得到fx=x?1lnx，得到對(duì)任意的x>0二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．為了解某類植物生長(zhǎng)1年之后的高度．隨機(jī)抽取了n株此類植物．測(cè)得它們生長(zhǎng)1年之后的高度（單位：cm）．將收集到的數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖．已知隨機(jī)抽取的植物生長(zhǎng)1年之后高度低于60cm的有20A．n=100B．此次檢測(cè)植物生長(zhǎng)高度在[70,90)之間的有50株C．估計(jì)該類植物生長(zhǎng)1年后．高度的眾數(shù)為80D．估計(jì)該類植物生長(zhǎng)1年后．高度的第85百分位數(shù)為90【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、植物生長(zhǎng)1年之后高度低于60cm的頻率為(0.005+0.005+0.010)×10=0.20，所以n×0.20=20，解得n=100B、此次檢測(cè)植物生長(zhǎng)高度在70,90之間的頻率為(0.020+0.030)×10=0.50，所以此次檢測(cè)植物生長(zhǎng)高度在70,90之間的有0.50×100=50株.故選項(xiàng)B正確；C、由圖可知這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為80+902D、由頻率分布直方圖可得該類植物生長(zhǎng)1年后．高度不低于90cm的植株的頻率為0.015×10=0.15，所以高度低于90cm的植株的頻率為所以估計(jì)該類植物生長(zhǎng)1年后．高度的第85百分位數(shù)為90cm故選：ABD.【分析】先求高度低于60cm的頻率，再由頻率，頻數(shù)，樣本容量的關(guān)系求得樣本容量n可判斷選項(xiàng)A；先求出高度在70,9010．已知函數(shù)fxA．fx的最小正周期為B．y=fx的圖象關(guān)于直線x=C．不等式fx>1D．若A,B,C為△ABC的內(nèi)角，且fA=fB，則【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由題意可得f(x)=2(3A、f(x)的周期T=2B、當(dāng)x=7π12時(shí)，2x?π6C、因?yàn)閒(x)>1，所以2sin(2x?π所以π6+2kπ所以不等式f(x)>1的解集為kπD、因?yàn)閒A=fB，所以sin(2A?π6)=sin(2B?π6所以A=B或A+B=2π3，即A=B故選：ACD．【分析】輔助角公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(2x?π6)，利用三角函數(shù)的周期公式判斷選項(xiàng)A；運(yùn)用正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性即可判斷選項(xiàng)B；將不等式f(x)>1化簡(jiǎn)為sin(2x?π6)>12，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出x的取值范圍，即可判斷出選項(xiàng)C；當(dāng)f11．已知橢圓E的方程為x2A．橢圓E關(guān)于x軸對(duì)稱 B．直線y=x+1被橢圓E截得弦長(zhǎng)為2C．橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22 D．橢圓E的離心率為【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、在橢圓E上任取一點(diǎn)Px,y，則x則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Qx,?y，因?yàn)閤故橢圓E不關(guān)于x軸對(duì)稱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、設(shè)直線y=x+1交橢圓E于點(diǎn)Ax1,聯(lián)立y=x+1x2+y2+xy=1，消y整理得所以1+12?x1?xC、在橢圓E上任取一點(diǎn)Px,y，則x設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)My,x，因?yàn)閥2+x2同理可知，橢圓E關(guān)于直線y=?x對(duì)稱，聯(lián)立y=xx2+y2所以直線y=x截橢圓y2+x聯(lián)立y=?xx2+y2所以，直線y=?x截橢圓y2+x因?yàn)?2>263D、由選項(xiàng)C可知2a=222b=263所以，橢圓E的離心率為e=1?故選：BCD.【分析】若橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)(x，y)的對(duì)稱點(diǎn)(x，-y)也在橢圓上，代入方程計(jì)算即可判斷選項(xiàng)A；聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合弦長(zhǎng)公式1+k2x1-三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn．且S13=6【答案】6【解析】【解答】解：由題意可知，S13=13a1+78d=13(a故答案為：613【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列式即可求得a1+6d=613．已知sin(α+β)=23,【答案】13【解析】【解答】解：sin(α+β)=sinsin(α?β)=sin①②相除得sinαcosβ+sinβcosαsinα故答案為：137【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得sin(α+β)=sinsin(α?β)=sinαcosβ?sinβ14．已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=4【答案】17【解析】【解答】解：因?yàn)閤2所以2=x所以2x?1相當(dāng)于圓x2+y2=4上的任一點(diǎn)P如圖所示，因?yàn)镻A+PB所以2x?12+故答案為：17.【分析】根據(jù)題意，先將2(x?1)2+y2轉(zhuǎn)化為(x?4)2+四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15．記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知3sin（1）求A；（2）若a=2，2bsinC=c【答案】（1）解：由3sinA?cosA=2，得由于A∈0,π?A?（2）解：由題中條件和正弦定理得出2b又因?yàn)锽，C∈0,π，則sinBsinC≠0，

則C=πsinC=由正弦定理得asin解得b=263故△ABC的周長(zhǎng)為2+2【解析】【分析】（1）利用輔助角公式計(jì)算得出sinA?（2）利用已知條件結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算得出角B的值，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算出角C的正弦值，再根據(jù)正弦定理計(jì)算出三角形的邊長(zhǎng)，從而得出三角形△ABC的周長(zhǎng).（1）由3sinA?cosA=2得，由于A∈0,π?A?（2）由題設(shè)條件和正弦定理2b又B，C∈0,π，則sinBsinC≠0于是C=πsinC=由正弦定理得asin解得b=263故△ABC的周長(zhǎng)為2+216．如圖所示，在等腰直角△ABC中，AB=BC，點(diǎn)E?F分別為AB,AC的中點(diǎn)，將△AEF沿EF翻折到△DEF位置.（1）證明：BC⊥平面BDE（2）若AB=BC=4，DB=EB，求平面DEF與平面DEC夾角的余弦值.【答案】（1）證明：在等腰直角△ABC中，AB=BC，得∠ABC=90°，即BC⊥AB，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，所以將△AEF沿EF翻折到△DEF位置后，EF⊥ED,EF⊥EB，所以BC⊥DE又因?yàn)锳B，DE?平面BDE,DE∩EB=E，所以BC⊥平面BDE．（2）解：因?yàn)锽C⊥面BDE，BC?平面ABC．所以平面ABC⊥平面BDE，因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，所以AE=BE=DE，

又因?yàn)镈B=EB．所以△BDE為等邊三角形，設(shè)EB的中點(diǎn)為O，連接DO，所以DO⊥EB，

又平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE=EB，DO?平面BDE，

所以DO⊥平面ABC．過(guò)O作OM⊥AB交AC于M．如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，所以D0,0,所以ED=設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m=則m?ED=y1+3z1設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量為n=x2令z1=-3，則所以cosm所以平面DEF與平面DEC夾角的余弦值為419【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可知BC⊥AB，而由三角形的中位線性質(zhì)可得EF∥BC，進(jìn)而可得EF⊥AB，根據(jù)折疊圖形的性質(zhì)可得BC⊥DE，利用線面垂直的判定定理即可證得BC⊥平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DEF與平面DEC的法向量，進(jìn)而根據(jù)空間向量的夾角公式，即可求得平面DEF與平面DEC夾角的余弦值.（1）等腰直角△ABC中，AB=BC，得∠ABC=90°．所以CB⊥AB．點(diǎn)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，EF∥BC，所以將△AEF沿EF翻折到△DEF位置后，EF⊥ED,EF⊥EB．又ED?平面BDE,EB?平面BDE,DE∩EB=E．所以EF⊥平面BDE．又EF∥BC，得BC⊥平面（2）由（1）知BC⊥面BDE．又BC?平面ABC．所以平面ABC⊥平面BDE，由E為AB中點(diǎn)．故AE=BE=DE．又因?yàn)镈B=EB．所以△BDE為等邊三角形，設(shè)EB的中點(diǎn)為O．連接DO．則DO⊥EB．又平面ABC⊥平面BDE，平面ABC∩平面BDE=EB，DO?平面BDE．所以DO⊥平面ABC．過(guò)O作OM⊥AB交AC于M．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)锳B=BC=4．得D0,0,所以ED=設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m=則m?ED=設(shè)平面DEC的一個(gè)法向量為n=x2取n=所以cosm故平面DEF與平面DEC夾角的余弦值為41917．已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線fx在0,f（2）討論函數(shù)fx（3）若fx存在極大值，且極大值不大于?3?ln2【答案】（1）解：當(dāng)a=4時(shí)，fx=lnx+1?4x?16，

而f0=ln1?16=?16，

所以曲線fx在0,f??????（2）解：解：因?yàn)閤+1>0，解得x>-1，

所以fx=lnx+1?ax?a2所以當(dāng)a≤0時(shí)，f'x=1x+1當(dāng)a>0時(shí)，令f'x>0，即1x+1?a>0，可得?1<x<?1+1a所以fx在(?1,?1+1a綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，fx在(?1,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，fx在（3）解：由（2）可知當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)無(wú)極值，

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)fx在x=?1+極大值為f(?1+1a)=ln(1a令g(a)=a2?a+因?yàn)?a2?a+1=2(a?14)因?yàn)間(2)=22?2+ln2?2?所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞【解析】【分析】（1）根據(jù)a的值先求得函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求得f'0，f0，利用點(diǎn)斜式方程即可求得曲線（2）先求得函數(shù)的定義域，進(jìn)而求導(dǎo)，分a≤0和a>0進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）根據(jù)(2)中對(duì)函數(shù)單調(diào)性的討論情況，即可求得極大值，進(jìn)而根據(jù)已知條件列出不等式a2?a+lna?2?ln2≥0，構(gòu)造函數(shù)，令（1）當(dāng)a=4時(shí)，fx=ln則f0=ln1?16=?16，f'（2）由fx=lnx+1?ax?a2當(dāng)a≤0時(shí)，f'x=1x+1當(dāng)a>0時(shí)，令f'x>0，即1x+1?a>0所以?1<x<?1+1a，由f'所以fx在(?1,?1+1a綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，fx在(?1,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，fx在（3）由（2）可知當(dāng)a≤0時(shí)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)函數(shù)在x=?1+1可得f(?1+1a)≤?3?ln2令g(a)=a2?a+因?yàn)?a2?a+1=2(a?14)因?yàn)間(2)=22?2+ln2?2?所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞18．第十五屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在廣東、香港、澳門三地舉辦．為了普及全運(yùn)知識(shí)．某中學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識(shí)闖關(guān)比賽．比賽分為初賽與復(fù)賽．初賽勝利后才能進(jìn)入復(fù)賽．初賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽．每次只派一個(gè)人．且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失?。倥上乱粋€(gè)人重新闖關(guān)：三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利．無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加初賽．他們各自闖關(guān)成功的概率分別為p1,p（1）若計(jì)劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)．p1（2）已知1>p方案一：依次派出甲乙丙：方案二：依次派出丙乙甲設(shè)方案一和方案二派出人員數(shù)目分別為隨機(jī)變量X,Y．求E(X),E(Y)．并比較它們的大?。唬?）初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽．復(fù)賽規(guī)定：?jiǎn)稳藚①悾總€(gè)人回答三道題．全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng)：答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)：答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng)：全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽．該學(xué)生在復(fù)賽中前兩道題答對(duì)的概率均為a．第三道題答對(duì)的概率為b．若該學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)的概率為18，設(shè)該學(xué)生獲得二等獎(jiǎng)的概率為p．求p【答案】（1）解：設(shè)事件A表示該小組獲勝．則PA所以該小組初賽勝利的概率為2324（2）解：X的所有可能取值為1，2，3．所以PX=1所以EY的所有可能取值為1，2，3．所以PY=1所以EY所以E=因?yàn)?>p1>p2（3）解：由題意可得18=a所以p=a令p=fa所以f'a=2a?14所以當(dāng)0<a<12時(shí)，f'a<0；當(dāng)12<a<1時(shí)．f'a所以fa所以p的最小值為38【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）分別兩種方案派出人員數(shù)目的所有可能取值和相應(yīng)概率，再用期望公式求出對(duì)應(yīng)的期望，進(jìn)而用作差法比較其大小即可；（3）由獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合題意可得b=18a2，進(jìn)而可得p=a2+14a（1）設(shè)事件A表示該小組獲勝．則PA所以該小組初賽勝利的概率為2324（2）X的可能取值為1，2，3．則PX=1此時(shí)EY的可能取值為1，2，3．則PY