3.1典型的試驗信號3.1.1階躍輸入信號階躍輸入信號表示輸入量的一個瞬間突變過程，它的數(shù)學(xué)表達式為式中，Ｒ０為一常量。若Ｒ０＝１，則稱為單位階躍輸入信號，代表前后兩種狀態(tài)突變。如圖３－１（ａ）所示，它的拉氏變換為１／ｓ。3.1.2斜坡輸入信號下一頁返回

3.1典型的試驗信號

斜坡輸入信號表示由零值開始隨時間ｔ作線性增長的信號，它的數(shù)學(xué)表達式為由于這種函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為常量ｖ０，故斜坡函數(shù)又稱為等速度輸入函數(shù)。若ｖ０＝１，則稱為單位斜坡輸入函數(shù)，代表勻速信號。如圖３－１（ｂ）所示，它的拉氏變換為１／ｓ２。3.1.3等加速度信號等加速度是一種拋物線函數(shù)，它的數(shù)學(xué)表達式為上一頁下一頁返回

3.1典型的試驗信號

這種信號的特點是函數(shù)值隨時間以等加速度不斷增長，當ａ０＝１時，則稱為單位等加速度信號。如圖３－１（ｃ）所示，它的拉氏變換為１／ｓ３。3.1.4脈沖信號脈沖信號可視為一個持續(xù)時間極短的信號，它的數(shù)學(xué)表達式為上一頁下一頁返回

3.1典型的試驗信號

如果令Ｈ＝１，ε→０，則稱為單位理想脈沖信號，并用δ（ｔ）表示，顯然，δ（ｔ）所描述的脈沖信號實際上是無法獲得的。在工程實踐中，當ε遠小于被控對象的時間常數(shù)時，這種單位窄脈沖信號就可近似地當作δ（ｔ）函數(shù)，它的拉氏變換為１，如圖３－２所示。3.1.5正弦信號這是一種人們很熟悉的信號，正弦信號主要用于求取系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，據(jù)此分析和設(shè)計系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)表達式為上一頁下一頁返回

3.1典型的試驗信號

式中，Ａ為正弦函數(shù)的振幅；ω為正弦函數(shù)的角頻率。在分析控制系統(tǒng)時，究竟選用哪一個輸入信號作為系統(tǒng)的試驗信號，應(yīng)視所研究系統(tǒng)的實際輸入信號而定。上一頁返回3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標3.2.1動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)都由動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。１．動態(tài)過程動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇情況，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個可以實際運行的系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度和阻尼情況等信息，這些信息用動態(tài)性能描述。下一頁返回

3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標

２．穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間ｔ趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。穩(wěn)態(tài)過程表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，反映控制精度，用穩(wěn)態(tài)性能描述。由此可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。3.2.2動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，因此只有當動態(tài)過程收斂時，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義。１．動態(tài)性能上一頁下一頁返回

3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標

一般認為階躍輸入對系統(tǒng)而言是比較嚴峻的工作狀態(tài)，若系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的輸入作用下，其動態(tài)性能也應(yīng)是令人滿意的。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間ｔ的變化狀況的指標，稱為動態(tài)性能指標。為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。對大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實際情況的。對于圖３－３所示單位階躍響應(yīng)ｃ（ｔ），其動態(tài)性能指標通常有如下幾種。上一頁下一頁返回

3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標

（１）上升時間ｔｒ：對具有振蕩的系統(tǒng)，指響應(yīng)從零值第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間；對于單調(diào)上升的系統(tǒng)，指響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值的１０％上升到穩(wěn)態(tài)值的９０％所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。（２）峰值時間：指響應(yīng)超過其終值到達第一個峰值所需的時間。（３）調(diào)節(jié)時間：指響應(yīng)到達并保持在終值或內(nèi)所需的最短時間。（４）最大超調(diào)量：指響應(yīng)的最大偏離量ｃ（ｔｐ）與終值之差與終值比的百分數(shù)，即上一頁下一頁返回

3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標

若ｃ（ｔｐ）＜，則響應(yīng)無超調(diào)。最大超調(diào)量亦稱為超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。上述四個動態(tài)性能指標，基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程的特征。通常，用ｔｒ或ｔｐ評價系統(tǒng)的動態(tài)過程初始階段的響應(yīng)速度；用Ｍｐ評價系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性；而ｔｓ是同時反映動態(tài)過程響應(yīng)速度和動態(tài)過程平穩(wěn)性的綜合性指標。

3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標

２．穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進行測定或計算。若時間趨于無窮，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。上一頁返回3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。圖３－４（ａ）所示的ＲＣ電路，其結(jié)構(gòu)圖如圖３－４（ｂ）所示，其微分方程為式中，ｃ（ｔ）為電路輸出電壓；ｒ（ｔ）為電路輸入電壓；Ｔ＝ＲＣ為時間常數(shù)。當初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為下一頁返回3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)式中，Ｔ為時間常數(shù)。下面分別就不同的典型試驗信號，分析系統(tǒng)的時域響應(yīng)。3.3.1單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入，于是對上式取反拉氏變換，得上一頁下一頁返回

3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

比較以上兩式，可知Ｒ（ｓ）的極點是形成系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。由式（３－８）可知，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條初始值為零，以指數(shù)規(guī)律上升到終值１的曲線，因而，系統(tǒng)階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為零。當ｔ＝Ｔ時，ｃ（ｔ）＝０.６３２；而當ｔ＝２Ｔ、３Ｔ和４Ｔ時，ｃ（ｔ）的數(shù)值分別等于終值的86.5％、９５％和98.5％，如圖３－５所示。根據(jù)這一特點，可用實驗的方法測定一階系統(tǒng)的如圖３－５一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)時間常數(shù)Ｔ，或測定所測系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。上一頁下一頁返回

3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

由于時間常數(shù)Ｔ反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小，其響應(yīng)過程越快；反之，慣性越大，響應(yīng)越慢。3.3.2單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入，則求得系統(tǒng)的輸出為對上式取反拉氏變換，得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為上一頁下一頁返回

3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

式中，（ｔ－Ｔ）為穩(wěn)態(tài)分量；Ｔｅ－ｔＴ為瞬態(tài)分量。式（３－９）表明，在穩(wěn)態(tài)時，一階系統(tǒng)能夠跟蹤斜坡輸入信號的變化。不難看出，在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸入、輸出信號的變化率完全相等；但由于系統(tǒng)存在慣性，當ｃ（ｔ）從０上升到１時，對應(yīng)的輸出信號在數(shù)值上要滯后于輸入信號一個常量Ｔ，這就是穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生的原因。顯然，減小時間常數(shù)Ｔ不僅可以加快系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度，而且還能減小系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差。圖３－６所示為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)。上一頁下一頁返回

3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

3.3.3單位脈沖響應(yīng)當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，,于是這時系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)，其表達式為一階系統(tǒng)對上述典型試驗信號的響應(yīng)歸納于表３－１中?？梢钥闯鼍€性定常系統(tǒng)的一個重要性質(zhì)：上一頁下一頁返回

3.3一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

一個輸入信號導(dǎo)數(shù)的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個輸入信號積分的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的積分?；谏鲜鲂再|(zhì)，對線性定常系統(tǒng)只需要討論一種典型信號的響應(yīng)，就可推知于其他。因此，在以后對二階和高階系統(tǒng)的討論中，主要研究系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。上一頁返回3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)凡以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制系統(tǒng)中，不僅二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍，而且不少高階系統(tǒng)的特性在一定條件下也可用二階系統(tǒng)來表征。因此，著重研究二階系統(tǒng)的分析和計算方法，具有較大的實際意義。3.4.1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型圖３－７所示的ＲＬＣ振蕩電路是一個二階系統(tǒng)，其運動方程為二階常微分方程下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

描述二階系統(tǒng)動態(tài)特性的運動方程的標準形式為式中，ｃ（ｔ）表示系統(tǒng)的輸出量；ｒ（ｔ）表示系統(tǒng)的輸入量；Ｔ稱為二階系統(tǒng)的時間常數(shù)；ζ稱作系統(tǒng)的阻尼系數(shù)。為了使研究的結(jié)果具有普遍的意義，可將式（３－１１）寫成如下標準形式上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

式中，稱作系統(tǒng)的無阻尼自然頻率（或無阻尼自由振蕩頻率）。二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為相應(yīng)的系統(tǒng)框圖如圖３－８所示。上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

二階系統(tǒng)的特征方程為其兩個根（閉環(huán)極點）為顯然，二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)取決于ζ和ωｎ這兩個參數(shù)。隨著ζ值的不同，其特征根和相應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)也有很大的差異。下面討論不同的ζ值時二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

１．欠阻尼（０＜ζ＜１）當０＜ζ＜１時，系統(tǒng)的特征根為一對共軛復(fù)根式中，則系統(tǒng)輸出的拉氏變換為上一頁下一頁返回3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)其拉氏反變換為式（３－１４）等號右方第一項為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量；第二項為響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這是一個幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，其振蕩頻率為ωｄ。當ζ＝０時，系統(tǒng)具有一對共軛虛根ｓ１，２＝±ｊωｎ，對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

式（３－１５）表明系統(tǒng)在無阻尼時，其瞬態(tài)響應(yīng)呈等幅振蕩，振蕩的頻率為ωｎ。２．臨界阻尼（ζ＝１）當ζ＝１時，系統(tǒng)具有兩個相等的實根，即ｓ１，２＝－ωｎ。此時系統(tǒng)輸出的拉氏變換為于是得式（３－１６）對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)是一條單調(diào)上升、按指數(shù)規(guī)律衰減的曲線。上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

３．過阻尼（ζ＞１）當ζ＞１時，系統(tǒng)有兩個相異的負實根，即對應(yīng)系統(tǒng)的輸出為式中，上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

上式表明，響應(yīng)特性包含著兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項，其代數(shù)和絕不會超過穩(wěn)態(tài)值１，因而過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是非振蕩的。以上三種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如圖３－９所示，其橫坐標為無因次時間ωｎｔ。由圖３－９可見：二階系統(tǒng)隨著阻尼比ζ的不同，其階躍響應(yīng)有較大的差異，但它們響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量都是１，在階躍輸入信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差都為零，即在穩(wěn)態(tài)時，它的輸出總等于其階躍輸入。3.4.2欠阻尼二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

在控制工程中，除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時間。因此，二階控制系統(tǒng)的設(shè)計，一般取ζ＝０.４～0.８，其各項動態(tài)性能指標中，上升時間ｔｒ、峰值時間ｔｐ和最大超調(diào)量Ｍｐ可用ζ和ωｎ準確表示，而調(diào)節(jié)時間ｔｓ很難用ζ和ωｎ準確描述，即不得不采用工程上的近似計算方法。１．上升時間ｔｒ由式（３－１４）知ｃ（ｔ）首次達到穩(wěn)態(tài)值１時，有上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

由對應(yīng)的相位角，可求得式中，。２．峰值時間ｔｐ將式（３－１４）對ｔ求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)等于零，即上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

上一頁下一頁返回整理得由于，于是上列三角方程的解為ωｄｔｐ＝０，π，２π，３π，…。根據(jù)峰值時間定義，應(yīng)取ωｄｔｐ＝π，于是峰值時間

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

由于,故上式可寫為按最大超調(diào)量定義式（３－６），并考慮到ｃ（∞）＝１，求得上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

調(diào)節(jié)時間ｔｓ根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當ｔ≥ｔｓ時，，即顯然，寫出調(diào)節(jié)時間的表達式是很困難的。對于欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)式（３－１４），指數(shù)曲線是對稱于ｃ（∞）＝１的一對包絡(luò)線，整個響應(yīng)曲線總是包含在這一對包絡(luò)線之內(nèi)，如圖３－１０所示。由圖３－１０可見，實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快。上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間，認為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束，即ｔｓ≈ｔｓ′。當ｔ＝ｔｓ′≈ｔｓ時，有故當ζ較小時，近似取，所以上一頁下一頁返回3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)當Δ％＝２％時，有當Δ％＝５％時，有上一頁下一頁返回

3.4二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

綜上所述，二階系統(tǒng)的固有頻率ωｎ和阻尼比ζ與系統(tǒng)動態(tài)過程的性能有著密切的關(guān)系。要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能，必須選取合適的固有頻率ωｎ和阻尼比ζ。增大阻尼比ζ可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，即減小最大超調(diào)量Ｍｐ，但是增大了上升時間ｔｒ和峰值時間ｔｐ。如果阻尼比ζ過小，則系統(tǒng)的平穩(wěn)性又會不符合要求。所以，要根據(jù)所允許的最大超調(diào)量Ｍｐ來選擇阻尼比ζ。阻尼比ζ一般選擇在０.４～０.８，然后再調(diào)整固有頻率ωｎ的值以改變動態(tài)響應(yīng)時間。當阻尼比ζ一定時，固有頻率ωｎ越大，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好，即上升時間ｔｒ、峰值時間ｔｐ和調(diào)整時間ｔｓ越小。上一頁返回3.5高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為如果式（３－２２）的分子與分母均可分解為因式，則可改寫為式中，ｚ１、ｚ２、…、ｚｍ為閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點；ｐ１、ｐ２、…、ｐｎ為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。假如系統(tǒng)所有的零、極點互不相同，且其極點有實數(shù)極點和共軛復(fù)數(shù)極點，零點均為實數(shù)零點，則當輸入信號為單位階躍函數(shù)時，由式（３－２３）得下一頁返回

3.5高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

式中，ｍ為傳遞函數(shù)零點總數(shù)；ｎ＝ｑ＋２ｒ，ｑ為實極點的個數(shù)，ｒ為復(fù)數(shù)極點的對數(shù)。將式（３－２４）用部分分式展開為運用待定系數(shù)法可確定Ａ０，Ａｊ（ｊ＝１，２，…，ｑ），Ｂｋ，Ｃｋ（ｋ＝１，２，…，ｒ），則時域響應(yīng)為上一頁下一頁返回

3.5高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

由式（３－２５）可知：（１）高階系統(tǒng)時域響應(yīng)的瞬態(tài)分量通常由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量合成。其中控制信號極點所對應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，傳遞函數(shù)極點所對應(yīng)的拉氏反變換為系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。（２）系統(tǒng)瞬態(tài)分量的形式由閉環(huán)極點的性質(zhì)所決定，而系統(tǒng)調(diào)整時間的長短與閉環(huán)極點負實部絕對值的大小有關(guān)。如果閉環(huán)極點遠離虛軸，則相應(yīng)的瞬態(tài)分量就衰減得快，系統(tǒng)的調(diào)整時間也就較短。上一頁下一頁返回

3.5高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

而閉環(huán)零點只影響系統(tǒng)瞬態(tài)分量幅值的大小和符號。（３）如果閉環(huán)傳遞函數(shù)中有一極點－ｐｋ距坐標原點很遠，則有式中，ｐｋ、ｐｉ和ｚｊ均為正值；ｉ＝１，２，…，ｎ；ｊ＝１，２，…，ｍ，且ｉ≠ｋ。則當ｎ＞ｍ時，極點－ｐｋ所對應(yīng)的瞬態(tài)分量的幅值很小，因而由它產(chǎn)生的瞬態(tài)分量可略去不計。如果閉環(huán)傳遞函數(shù)中某一極點－ｐｋ與某一零點－ｚｒ十分靠近，則有上一頁下一頁返回3.5高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)式中，ｉ＝１，２，…，ｎ；ｊ＝１，２，…，ｍ，且ｉ≠ｋ，ｊ≠ｒ，則極點－ｐｋ所對應(yīng)的瞬態(tài)分量的幅值很小，因而它在系統(tǒng)響應(yīng)中所占的百分比很小，可忽略不計。（４）如果所有閉環(huán)的極點均具有負實部，隨著時間的推移，式中所有的瞬態(tài)分量將不斷地衰減，最后該式的右方只剩下由控制信號的極點所確定的穩(wěn)態(tài)分量Ａ０項。它表示在過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的被控制量僅與其控制量有關(guān)。閉環(huán)極點均位于ｓ左半平面的系統(tǒng)，稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件，有關(guān)這方面的內(nèi)容將在后面做詳細的闡述。上一頁下一頁返回

3.5高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

（５）如果系統(tǒng)中有一個極點（或一對復(fù)數(shù)極點）距虛軸最近，且其附近沒有閉環(huán)零點；而其他閉環(huán)極點與虛軸的距離都比該極點與虛軸距離大５倍以上，則此系統(tǒng)的響應(yīng)可近似地視為由這個（或這對）極點所產(chǎn)生。這是因為這種極點所決定的瞬態(tài)分量不僅持續(xù)時間最長，而且其初始幅值也大，充分體現(xiàn)了它在系統(tǒng)響應(yīng)中的主導(dǎo)作用，故稱其為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點通常為一對復(fù)數(shù)極點。在設(shè)計高階系統(tǒng)時，人們常利用主導(dǎo)極點這個概念來選擇系統(tǒng)的參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對主導(dǎo)極點，從而把一個高階系統(tǒng)近似地用一對主導(dǎo)極點所描述的二階系統(tǒng)去表征。上一頁返回3.6用MATLAB求控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.6.1用ＭＡＴＬＡＢ求控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)求系統(tǒng)階躍響應(yīng)的ＭＡＴＬＡＢ指令有ｓｔｅｐ（ｎｕｍ，ｄｅｎ），在ＭＡＴＬＡＢ程序中，先定義ｎｕｍ，ｄｅｎ數(shù)組，并調(diào)用ｓｔｅｐ指令，即可生成單位階躍輸入信號下的階躍響應(yīng)曲線圖。雖然指令中沒有時間ｔ出現(xiàn)，但時間向量會自動地予以確定，曲線圖中的ｘ軸、ｙ軸坐標也是自動標注的。下一頁返回

3.6用MATLAB求控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

3.6.2用ＭＡＴＬＡＢ求控制系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的ＭＡＴＬＡＢ指令有ｉｍｐｕｌｓｅ（ｎｕｍ，ｄｅｎ）用指令ｉｍｐｕｌｓｅ（ｎｕｍ，ｄｅｎ）求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)時，屏幕上會顯示相應(yīng)的圖形曲線。后兩個指令為用戶在給出時間ｔ的條件下使用，向量ｔ表示脈沖響應(yīng)進行計算的時間。上一頁下一頁返回3.6用MATLAB求控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.6.3用ＭＡＴＬＡＢ求控制系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)ＭＡＴＬＡＢ沒有直接調(diào)用求系統(tǒng)斜坡響應(yīng)的功能指令。在求取斜坡響應(yīng)時，通常利用階躍響應(yīng)的指令?；趩挝浑A躍信號的拉氏變換為１／ｓ，而單位斜坡信號的拉氏變換為１／ｓ２。因此，當求系統(tǒng)Ｇ（ｓ）的單位斜坡響應(yīng)時，可先用ｓ除Ｇ（ｓ），得到一個新的系統(tǒng)Ｇ（ｓ）／ｓ。然后再用階躍指令就能求出系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)。上一頁返回3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.7.1穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性是指自動控制系統(tǒng)在受到擾動作用使平衡狀態(tài)被破壞后，經(jīng)過調(diào)節(jié)，能重新達到平衡狀態(tài)的性能。當系統(tǒng)受到擾動后（如負載轉(zhuǎn)矩變化、電網(wǎng)電壓變化等），偏離了原來的平衡狀態(tài)，若這種偏離不斷擴大，即使擾動消失，系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài)，這種系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若通過系統(tǒng)自身的調(diào)節(jié)作用，使偏差逐漸減小，系統(tǒng)又逐漸恢復(fù)到平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)便是穩(wěn)定的。對于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定可定義如下：對于控制系統(tǒng)來說，在初始條件影響下，系統(tǒng)產(chǎn)生過渡過程隨時間增長而逐漸衰減，并最后趨于零，則此系統(tǒng)定義為穩(wěn)定。下一頁返回

3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

如果此過程是發(fā)散的（單調(diào)發(fā)散或振蕩發(fā)散），則此系統(tǒng)定義為不穩(wěn)定。3.7.2穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達式為將分子、分母分解因式，又可表示為上一頁下一頁返回

3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

式中，Ｋ為常數(shù)。傳遞函數(shù)分子多項式的根稱為傳遞函數(shù)的零點，傳遞函數(shù)分母多項式方程稱為傳遞函數(shù)的特征方程。特征方程的根簡稱特征根，也叫傳遞函數(shù)的極點。一般零點、極點可為實數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，若為復(fù)數(shù)，必共軛成對出現(xiàn)。如果系統(tǒng)閉環(huán)極點都具有負實部，則系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量都會衰減為零，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的；只要系統(tǒng)有一個實部為正的極點，則該極點對應(yīng)的瞬態(tài)分量將隨時間的增大而發(fā)散，這種系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)存在純虛數(shù)極點，則該極點對應(yīng)的瞬態(tài)分量為等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。上一頁下一頁返回

3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

所以，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的極點（特征根）均具有負實部，即系統(tǒng)的全部極點（特征根）均位于ｓ平面的左半平面內(nèi)。3.7.3、勞斯（Ｒｏｕｔｈ）穩(wěn)定判據(jù)由系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，如果能解出特征方程的全部根，即可判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。然而，對于三階以上系統(tǒng)，求根是一項艱巨的任務(wù)，所以對于高階系統(tǒng)一般都采用間接方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。經(jīng)常應(yīng)用的間接方法有時域內(nèi)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)和頻域內(nèi)的乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是英國人勞斯于１８７７年提出的。這種判據(jù)是根據(jù)代數(shù)方程的各項系數(shù)，來確定方程具有負實部根數(shù)目的一種代數(shù)方法。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為上一頁下一頁返回

3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

將其系數(shù)排列成勞斯表：

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3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

表中，勞斯表共有（ｎ＋１）行，它的前兩行各元素是由特征方程的系數(shù)直接構(gòu)成的，從第三行開始的各元素是根據(jù)前兩行元素按照一定的計算方法得到的。為了簡化數(shù)據(jù)運算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項，這時并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。勞斯判據(jù)的內(nèi)容如下：（１）特征方程的根都位于ｓ平面左半部的充要條件是：特征方程式各項系數(shù)都為正值且不缺項；勞斯表中第一列元素都為正值。上一頁下一頁返回

3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

（２）勞斯表中第一列元素符號改變的次數(shù)等于特征方程位于ｓ右半平面根（正根）的數(shù)目。在應(yīng)用勞斯判據(jù)時，有可能會碰到以下兩種特殊情況：（１）勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有余項，這種情況的出現(xiàn)使勞斯表無法繼續(xù)往下排列。解決的辦法是以一個很小的正數(shù)ε來代替為零的這項，據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，則其變化的次數(shù)就等于該方程在ｓ右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。如果第一列ε上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定系統(tǒng)。上一頁下一頁返回

3.7線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

（２）勞斯表中出現(xiàn)全零行，則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等、符號相反的實根或共軛虛根。這種情況，可利用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行，完成勞斯表的排列。這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。上一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)在輸入信號作用下，在其輸出信號中將含有兩個分量：其中一個分量是暫態(tài)分量，它反映控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，對于穩(wěn)定系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時間推移而逐漸消失，將趨于零；另一分量稱為穩(wěn)態(tài)分量，它反映控制系統(tǒng)跟蹤控制信號或抑制擾動信號的能力和準確程度，它是控制系統(tǒng)的另一重要特性。例如，工業(yè)加熱爐的爐溫誤差超過限度就會影響產(chǎn)品質(zhì)量，軋鋼機的輥距誤差超過限度就軋不出合格的鋼材，導(dǎo)彈的跟蹤誤差若超過允許的限度就不能用于實戰(zhàn)。對于穩(wěn)定系統(tǒng)來說，穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)劣一般是根據(jù)系統(tǒng)反映某些典型輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差來評價的。對于一個實際的控制系統(tǒng)，由于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)、輸入作用類型不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量不可能在任。下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差何情況下都保持與輸入量一致，也不可能在任何形式擾動下都能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。因此，穩(wěn)態(tài)誤差始終存在于系統(tǒng)的工作過程之中，在設(shè)計控制系統(tǒng)時，系統(tǒng)首先保證穩(wěn)態(tài)誤差小于規(guī)定的容許數(shù)值。3.8.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義圖３－１９所示為控制系統(tǒng)框圖，其輸出量與輸入量通常為不同的物理量，因而系統(tǒng)的誤圖３－１９控制系統(tǒng)框圖差不能直接用它們的差值來表示，而是用輸入量與反饋量的差值來定義系統(tǒng)的誤差，即上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由圖３－１９得如果系統(tǒng)穩(wěn)定，且其穩(wěn)態(tài)誤差的終值存在，則可用終值定理求得式（３－２７）表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不僅與其開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)，而且也與其輸入信號的形式和大小有關(guān)。即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不同、輸入信號的形式和大小的差別，都會引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的變化。上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.8.2給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能通常是以階躍、斜坡和等加速度信號作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差來表征的。下面分別討論這三種不同輸入信號作用于不同結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。令系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，Ｋ為系統(tǒng)的開環(huán)增益；υ為系統(tǒng)中含有的積分環(huán)節(jié)數(shù)。對于υ＝０，１，２的系統(tǒng)，分別稱為０型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。由于Ⅱ型以上的系統(tǒng)實際上很難使之穩(wěn)定，所以這種類型的系統(tǒng)在控制工程中一般不會碰到。上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差１．階躍信號輸入已知ｒ（ｔ）＝Ｒ０，Ｒ０＝常量，由式（３－２７）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為式中，定義為系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。由式（３－２９）可知：０型系統(tǒng)，，上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)，上述結(jié)果表明，在階躍信號輸入作用下，只有０型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與階躍輸入的幅值Ｒ０成正比，與系統(tǒng)開環(huán)增益Ｋ近似地成反比。而Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)，從理論上說，它們的穩(wěn)態(tài)誤差均為零。２．斜坡信號輸入已知ｒ（ｔ）＝ｖ０ｔ，ｖ０＝常量，由式（３－２７）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差式中，定義為系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)。由式（３－３０）可知：０型系統(tǒng)，Ⅰ型系統(tǒng)，Ⅱ型系統(tǒng)，顯然０型系統(tǒng)的輸出不能跟蹤斜坡輸入信號，這是因為它的輸出量的速度總小于輸入信號的速度，致使兩者間的差距不斷增大。Ⅰ型系統(tǒng)雖能跟蹤斜坡輸入信號，但有穩(wěn)態(tài)誤差存在。上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出量與輸入信號雖以同一個速度在變化，但前者在位置上要落后于后者一個常量，這個常量就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖３－２０所示為Ⅰ型系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號的響應(yīng)。Ⅱ型系統(tǒng)由于其Ｋｖ＝∞，因而它跟蹤斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差ｅｓｓ＝０。這表明在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出量與輸入信號不僅速度相等，而且它們的位置也相同。３．等加速度信號輸入已知，ａ０＝常量，由式（３－２７）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為上一頁下一頁返回3.8控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差式中，由式（３－３１）可知：０型、Ⅰ型系統(tǒng)，Ｋａ＝０，ｅｓｓ＝∞Ⅱ型系統(tǒng)，Ｋａ＝Ｋ，ｅｓｓ＝ａ０／Ｋ上述結(jié)果表明，０型、Ⅰ型系統(tǒng)都不能跟蹤等加速度輸入信號，只有Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤，但有穩(wěn)態(tài)誤差存在，即在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出信號和輸入信號都