數(shù)學(xué)建模

——從自然走向理性之路一

16世紀(jì)，意大利物理學(xué)家伽利略通過對自由落體運(yùn)動(dòng)的研究，得出自由落體運(yùn)動(dòng)過程的路程模型.自由落體運(yùn)動(dòng)方程是自然科學(xué)史上一項(xiàng)偉大的成果，該運(yùn)動(dòng)方程的得到是數(shù)學(xué)建模方法的經(jīng)典之作.下面，我們以物體自由落體運(yùn)動(dòng)方程為例，說明數(shù)學(xué)建模的過程.

1.問題描述位于高處的物體，如果失去了支撐就會(huì)下落，這是每個(gè)人都知道的自然現(xiàn)象.戰(zhàn)國時(shí)期的墨子以及古希臘哲人亞里士多德就對該現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進(jìn)行過論述，不過古代的人們并不清楚這種現(xiàn)象是力作用的結(jié)果，因而普遍認(rèn)為，導(dǎo)致物體下落的原因是物體的質(zhì)量.數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾芬?/p>

2.模型假設(shè)伽利略通過反復(fù)觀察發(fā)現(xiàn)：物體下落的速度隨下落的時(shí)間而均勻增加，且速度與時(shí)間成正比例關(guān)系，即v∝t①.他注意到，在有介質(zhì)的空間，物體下落速度必然與物體的形狀以及物體的質(zhì)量有關(guān).因此只能在理想條件下構(gòu)建物體下落的模型，為此，必須假定在物體下落的過程中空氣阻力可以忽略不計(jì).在此假設(shè)的前提下，物體下落的速度與物體的形狀以及物體的質(zhì)量無關(guān).①符號(hào)“∝”表示成正比例.數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾凡皇苋魏巫枇?，只在重力作用下降落的物體為自由落體.一

3.模型建立基于上述假設(shè)，如果物體自由下落的時(shí)間相同，物體自由下落的高度h只與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t以及加速度g②有關(guān)，此時(shí)，h是關(guān)于t與g的函數(shù)h=f(t，g).②此處的g實(shí)際上是重力加速度.數(shù)學(xué)建模——從自然走向理性之路一

4.模型求解根據(jù)伽利略關(guān)于速度與時(shí)間成正比例關(guān)系，即v∝t的假設(shè)，若物體下落1s時(shí)的速度為gm/s，則下落2s時(shí)的速度為2gm/s，…，下落ts時(shí)的速度為tgm/s.伽利略當(dāng)年利用物體下落ts路程的平均速度乘以時(shí)間(根據(jù)路程=速度×?xí)r間)，得到自由落體的路程模型為上述模型的結(jié)果是正確的，但是，它是在取起點(diǎn)與終點(diǎn)的平均速度的情況下得到的，方法欠直觀，同時(shí)結(jié)論也僅對勻加速運(yùn)動(dòng)成立(恰好自由落體運(yùn)動(dòng)為勻加速運(yùn)動(dòng)).下面我們對上述路程模型給出一個(gè)直觀的近似證明.數(shù)學(xué)建模——從自然走向理性之路一我們從v∝t的假設(shè)出發(fā)，簡要說明上述模型的正確性.由假設(shè)v∝t，即自由落體運(yùn)動(dòng)為勻加速運(yùn)動(dòng)，v－t圖象為圖6.2-1中傾斜的直線.將圖6.2-1所示的自由落體運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間t等分，得到一系列相同的時(shí)間間隔Δt，由于Δt很小時(shí)，物體速度變化很小，該時(shí)間間隔內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可以看成勻速運(yùn)動(dòng).數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾穲D6.2-1一因此，根據(jù)伽利略的假設(shè)，物體每經(jīng)過一個(gè)時(shí)間間隔Δt后，在接下來的時(shí)間間隔Δt內(nèi)，物體下降速度會(huì)增加，增加的值近似等于gΔt，它對應(yīng)于圖6.2-2中小矩形的面積，物體在時(shí)間t內(nèi)總的下落高度近似等于所有矩形面積之和.當(dāng)時(shí)間間隔Δt趨于0時(shí)，圖6.2-2中階梯形矩形面積就等于傾斜直線、t軸以及時(shí)間t對應(yīng)直線所圍成的三角形面積，即數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾穲D6.2-2上述推導(dǎo)過程雖然直觀但不夠嚴(yán)謹(jǐn)，其嚴(yán)格證明需要用到牛頓-萊布尼茨所提出的微積分，而重力加速度的精確值是惠更斯得到的.一

5.模型分析與檢驗(yàn)伽利略做了一系列的實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，他的實(shí)驗(yàn)是在斜面上進(jìn)行的.伽利略通過大量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這樣一個(gè)事實(shí)：同樣的高度、同樣的重物沿垂面下落和斜面下落，下落的時(shí)間之比等于垂直長度和斜面長度之比.這個(gè)事實(shí)說明：可以利用斜面進(jìn)行自由落體的實(shí)驗(yàn).于是伽利略用一塊足夠長的木板，在中間鑿出一條光滑溝槽，讓光滑的黃銅球沿著溝槽滾下，如圖6.2-3.他實(shí)驗(yàn)了不同的傾斜角度，又實(shí)驗(yàn)了不同長度的木板，先后一百多次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均顯示，黃銅球下落的距離與下落時(shí)間的平方之比近似為一個(gè)正常數(shù)，進(jìn)而驗(yàn)證了模型的正確性.數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾穲D6.2-3一

6.推廣應(yīng)用伽利略用斜面實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性后，他將斜面實(shí)驗(yàn)的結(jié)果推廣到與水平面垂直的情況：隨著斜面傾斜角度逐漸增加到90°，小球的加速度不斷變大，小球逐步過渡到自由落體運(yùn)動(dòng)，如圖6.2-4.至此，他成功地驗(yàn)證了原先的猜想，得到了自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾穲D6.2-4小球沿斜坡滾下時(shí)運(yùn)動(dòng)方程實(shí)驗(yàn)圖一根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)方程的建立過程，我們可以用圖6.2-5所示的框圖來表示數(shù)學(xué)建模過程.數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾穲D6.2-5數(shù)學(xué)建模程序框圖一數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，建立既符合實(shí)際，又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型就成為解決實(shí)際問題的關(guān)鍵步驟之一.需要說明的是，數(shù)學(xué)模型與我們通常所說的數(shù)學(xué)問題是不同的，一般的數(shù)學(xué)問題要求敘述嚴(yán)謹(jǐn)、明確、答案唯一，而根據(jù)實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型及由此得到的答案通常不具有唯一性，判斷數(shù)學(xué)模型的優(yōu)劣以是否符合實(shí)際為標(biāo)準(zhǔn).數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾芬粩?shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾?/p>

問題研究一：將一張四條腿同樣長的椅子放在不平的地面上(四腳的連線為正方形)，只允許對椅子繞四腳連線構(gòu)成的正方形的中心旋轉(zhuǎn)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理建立數(shù)學(xué)模型，證明椅子繞正方形的中心旋轉(zhuǎn)不超過90°的某個(gè)角度時(shí)，一定可以使其四條腿同時(shí)著地.若椅子四腳的連線為矩形，結(jié)論有何變化?練習(xí)一數(shù)學(xué)建?！獜淖匀蛔呦蚶硇灾?/p>

問