八下數學第四章因式分解章末小結概念方法應用類比思想整體思想數形結合轉化思想歸納思想因式分解提公因式法公式法因式分解一、因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫作因式分解.與整式乘法的關系：因式分解與整式乘法互為逆變形.注意(1)因式分解的對象是多項式，結果是幾個整式乘積的形式；(2)本章僅限于在有理數范圍內因式分解；(3)因式分解是恒等變形.1.甲、乙兩名同學分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，因式分解的結果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，因式分解的結果為(x+1)(x+9)，則a+b=

.解析：甲看錯了b，但a是正確的，∵(x+2)(x+4)=x2+6x+8，∴a=6.乙看錯了a，但b是正確的，∵(x+1)(x+9)=x2+10x+9，∴b=9，∴a+b=15.152.如圖所示，由一個邊長為a的小正方形與兩個長、寬分別為a，b的小長方形拼接成一個大長方形，則利用整個圖形可表示出一些有關多項式因式分解的等式，請你寫出任意一個表示因式分解的等式：

.a2+2ab=a(a+2b)3.20232+2023能被2024整除嗎?解：∵20232+2023=2023×(2023+1)=2023×2024,∴20232+2023能被2024整除.

二、提公因式法1.公因式：多項式各項都含有的相同因式叫作這個多項式各項的公因式.確定公因式的方法：一定“系數”，二定“字母”，三定“指數”.多項式中各項的公因式是各項系數的最大公因數與各項都含有的相同字母的最低次冪的乘積.二、提公因式法2.提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.步驟：(1)確定公因式；(2)提出公因式；(3)確定另一個因式；(4)寫成乘積的形式.二、提公因式法提公因式法因式分解的注意事項：公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.因式分解常用到以下幾個恒等變形：①b-a=-(a-b)；②(a-b)2=(b-a)2；③(b-a)3=-(a-b)3.1.

把下列各式因式分解：(1)6x3y2+12x2y3-6x2y2；(2)-2a2b+4ab2-6ab.解：(1)6x3y2+12x2y3-6x2y2

=6x2y2(x+2y-1)；(2)-2a2b+4ab2-6ab=-2ab(a-2b+3).2.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，則M等于(

)A.y－xB.x－yC.3a(x－y)2D.－3a(x－y)C3.計算：(1)39×37-13×34；(2)求2x(a-2)-y(2-a)的值，其中a=0.5，x=1.5，y=-2；(3)已知a-b=5，ab=6，求3a2b-6ab2+18b+6的值.解：(1)39×37-13×34=39×37-13×3×33

=39×(37-27)=390.(2)2x(a-2)-y(2-a)=2x(a-2)+y(a-2)=(a-2)(2x+y).當a=0.5，x=1.5，y=-2時，原式=(0.5-2)×(2×1.5-2)=-1.5.3.計算：(1)39×37-13×34；(2)求2x(a-2)-y(2-a)的值，其中a=0.5，x=1.5，y=-2；(3)已知a-b=5，ab=6，求3a2b-6ab2+18b+6的值.(3)當a-b=5，ab=6時，原式=ab(3a-6b)+18b+6=6(3a-6b)+18b+6=18a-36b+18b+6=18a-18b+6=18(a-b)+6=18×5+6=96.三、公式法公式法的定義：根據因式分解與整式乘法的關系，我們可以利用乘法公式把某些多項式因式分解，這種因式分解的方法叫作公式法.三、公式法平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積.用字母表示：a2-b2=(a+b)(a-b).三、公式法完全平方公式兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.用字母表示：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2注意：公式中的a，b既可以是單項式，也可以是多項式.三、公式法因式分解的步驟一提：有公因式的先提公因式；二套：套用公式，兩項式考慮平方差公式，三項式考慮完全平方公式(不能直接套公式時，可適當變形整理)；三查：檢查乘積中的每一個多項式的因式是否分解徹底.

(2)(3x+2y)2-(2x+3y)2=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)=(5x+5y)(x-y)=5(x+y)(x-y).

2.把下列各式因式分解：(1)

4(2a+b)2-4(2a+b)+1；(2)y2+2y+1-x2.解：(1)4(2a+b)2-4(2a+b)+1=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+(1)2=(4a+2b-1)2；(2)y2+2y+1-x2=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).

4.(1)若x-2y=-3，則代數式4y2-12y+9-x2的值為

；(2)已知a=2024x+2023，b=2024x+2024，c=2024x+2025，那么a2+b2+c2-ab-bc-ac的值等于

.035.已知△ABC的三邊長a，b，c滿足等式a2-2bc=c2-2ab，則△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.銳角三角形解析：∵a2-2bc=c2-2ab，∴a2-c2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0，∴(a-c)(a+c+2b)=0.∵a，b，c是△ABC的三邊長，∴a+c+2b>0，∴a-c=0，即a=c.A6.將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法.如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)因式分解：x2-y2-x-y；(2)因式分解：x3+x2y-xy2-y3.(1)因式分解：x2-y2-x-y；(2)因式分解：x3+x2y-xy2-y3.解：(1)原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)；(2)原式=(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)2(x-y).

7.如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”.如：4=22-02，12=42-